曾谨言量子力学课件第二章.ppt

1、 2.1 2.1 一维势场中粒子能量本征态的一一维势场中粒子能量本征态的一 般性质般性质 n2.2 2.2 方势方势n2.3 2.3 势势n2.4 2.4 一维谐振子一维谐振子1 1 一维势场中粒子能量本征态的一般一维势场中粒子能量本征态的一般性质性质 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrodinger Schrodinger 方程来处理一类简单的问题方程来处理一类简单的问题 一维定态问题（一维定态问题（一维无限深势阱，线性谐振子，势垒贯穿）。其好处主要有四：。其好处主要有四： （1 1）有助于具体理解已学过的基本原理；）有助于具体理解已学过的基本原

2、理； （2 2）有助于进一步阐明其他基本原理；）有助于进一步阐明其他基本原理； （3 3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；题中展现出来； （4 4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。 下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的特点。设粒子质量为共同的特点。设粒子质量为m m，沿，沿x x方向运动，势方向运动，势能为能为V V（x x），则），则Schrodinger

3、Schrodinger方程表示为：方程表示为： 对于定态，即具有一定能量对于定态，即具有一定能量E E的状态，波函的状态，波函数形式为数形式为)()()(2222xExxVdxdm（3）),()(2),(222txxVxmtxti（1）Etiextx)(),(（2）)()(*xVxV（4）定理1 设 是方程（3）的一个解，对应的能量本征值为E，则 也是方程（3）的一个解，对应的能量也是E。)(x)(*x证明)()(*xVxV)()()(2222xExxVdxdm取复共扼取复共扼)()()(2*222xExxVdxdm得证得证定理定理2 2 对应于能量的某个本征值对应于能量的某个本征值E E，总

4、可以找到，总可以找到方程（方程（3 3）的一组实解，凡是属于）的一组实解，凡是属于E E的任何解，均的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加可表示为这一组实解的线性叠加。证明)(x实解实解集合复解)(*x)()()(*xxx)()()(*xxix)(21 ),(21)(*iix得证定理定理3 3 设V（x）具有空间反射不变性，V（x）V（x）。如 是方程（3）的对应于能量本征值E的解，则 也是方程（3）的对应于能量本征值E的解。)(x)( x证明)()(,)(,222222xVxVdxdxdddxdxx)()()()(2222xExxVxdxdm得证空间反射算符空间反射算符P P定义为定义为)

5、()(rrPrr 按定理按定理3 3，如，如V V（x x）V(x)V(x)，则，则 与与 都是对应于同一能量都是对应于同一能量E E的量子态。的量子态。如果对应于某能如果对应于某能量量E E，方程（，方程（3 3）的解无简并，则解必有确定的宇称。）的解无简并，则解必有确定的宇称。)( x)(x11)()()()()()()(222CCxxCxCPxPxCxxP)()()(, 1)()()(, 1xxxPCxxxPC偶宇称偶宇称奇宇称奇宇称(, )( , )r tr t则则称称波函数没有确定的宇称。波函数没有确定的宇称。定理4 设V（x）V（x），则对应于任何一个能量本征值E，总可以找到方程（

6、3）的一组解（每一个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E的任何解，都可用它们来展开。证明)(x)( x)()()(xxxf)()()(xxxg)()(21)( ),()(21)(xgxfxxgxfx得证)()(xfxf)()(xgxg对于一维方势场，可证明下列定理：对于一维方势场，可证明下列定理：定理定理5 5 对于阶梯方位势 有限，则能量本征函数 及其导数必定是连续的（但如果 ，则定理不成立）。)(x)(12VV )(12VVaxVaxVxV , ,)(21)()(2)(222xxVEmxdxd在V（x）连续的 区域，)()(xx连续（11）证明证明在V（x）发生阶梯形跳跃处，)()(xx

7、V有限跃变)()(lim2)0()0(,lim020 xxVEdxmaadxaaaa得在在xa邻域对方程（邻域对方程（11）积分）积分)0()0(aa0)()(lim)()(0 xxVEdxxxVEaa有限，)()(xx连续得证得证)(1221无关与常数x定理6 对于一维粒子，设 和 均为方程（3）的属于同一能量本征值E的解，则)(1x)(2x0)(2121 xVEm0)(2222 xVEm证明01221 0)(1221)(1221无关与常数x1221对束缚态)14()15(21(14)(15)得证定理定理7 7 设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇点）中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。

8、1221证明2211212121lnln0)(lnCC得证得证12设 和 是方程（3）的属于能量E的两个束缚态解2112 2 方势方势l（一）无限深方势阱（一）无限深方势阱l（二）有限深方势阱（二）有限深方势阱l（三）束缚态与离散谱（三）束缚态与离散谱 l（四）方势垒的反射和透射（四）方势垒的反射和透射l（五）方势阱的反射、透射和共振（五）方势阱的反射、透射和共振2.2.12.2.1一维无限深势阱一维无限深势阱l求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： l（1 1）列出各势域的一维）列出各势域的一维S S方程方程 l（2 2）解方程）解方程 l（3 3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标

9、准条件定解 l（4 4）定归一化系数）定归一化系数000 xaxaxxV,)(0 a02222mEdxd在阱内（在阱内（0 xa0 xa），能量本征方程为），能量本征方程为mEk2令（2）)sin()(kxAx.3 , 2 , 1,0sin0)(00) 0 (nnkakaa.3 , 2 , 1,22222nmanEEn一维无限深方势一维无限深方势阱中粒子的能量阱中粒子的能量是量子化的。是量子化的。从物理考虑，粒从物理考虑，粒子不能透过无穷子不能透过无穷高的势壁。高的势壁。因因 及及 有限，由（有限，由（2 2） )(x0)(xxa（3）E)0( )sin()(axaxnAxnanaAdxx02

10、21)( , 0 0 0 )sin(2)(axxaxaxnaxn讨论：讨论：（a a）最低能级不为）最低能级不为0 0；（b b）节点；）节点；（c c）波函数在全空间连续，但微商在）波函数在全空间连续，但微商在x x0 0和和a a点点不连续。不连续。（10）2.2.2 2.2.2 有限深对称方势阱有限深对称方势阱2|2|, 0)(0axVaxxV0)(20222EVmdxd)(20EVm令2 ,2 ,axBeaxAeexxx在阱外（ ，经典禁区）2ax 02222mEdxdmEk2令ikxekxkx或cos,sin在阱内（ ，经典允许区）2ax 考虑势阱具有空间反射不变性，考虑势阱具有空间

11、反射不变性，)()(xVxVkxkxcossin或（a）偶宇称态)2( cosaxkx22)(ln)ln(cosaxxaxekx)2tan(kak2,2aka引入tan220222amV（b）奇宇称态)2( sinaxkx)2cot(kakcot220222amV 在对称方势阱情况下，无论 的值多少，至少存在一个束缚态（基态），其宇称为偶。 对奇宇称，只有 ，才可能出现最低的奇宇称能级。maV2222020aV2.2.3 2.2.3 束缚态与离散谱束缚态与离散谱 束缚能量本征态（EV0）的能量是离散的，它是束缚态边条件下求解能量本征方程的必然结果。)()()(xxVEmx 22 在经典允许区（

12、VE），波函数是e指数，而且由于两者符号相同，波函数总背离x轴弯曲。.)(,)(,)()(,)(,)(向上弯向下弯；xxxxxx0000 .)(,)(,)()(,)(,)(向下弯向上弯；xxxxxx0000 0 aV(x) V0I II IIIE2.2.4 2.2.4 方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射 axxaxVxV, 000)(0势垒穿透是粒子入射被势垒散射的势垒穿透是粒子入射被势垒散射的 一维运动问题。典型势垒是方势垒，一维运动问题。典型势垒是方势垒， 其定义如下：其定义如下：), 0(02222axxEmdxd考虑 ，在势垒外0VE axx , 0axSexexikxikxikx

13、0 Re)(mEk2因因区无由右向左传播的区无由右向左传播的平面波，故反射项平面波，故反射项0 0vmkexemijikxikxi)(2复共轭项入射粒子流密度为入射粒子流密度为vSjvRjtr22 反射流密度和透反射流密度和透射流密度分别为射流密度分别为反射系数和透反射系数和透射系数分别为射系数分别为22 SjjRjjitir透射系数反射系数)0(0)(20222axEVmdxd20)(2EVmaxBeAexxx0 ,)(ikaaaikaaaSeikBeAeSeBeAeBARikBAR)1 (1在势垒内部ax 012002222222222222222)1 (411 4)(44)(4ashVE

14、VEkashkkkachkashkkSTchkak iashkikSeika21 222此结果表明，即使此结果表明，即使 ，透射系数透射系数 一般不等于零。一般不等于零。0VE T(44)123)(xaxo 粒子的能量虽粒子的能量虽不不足以足以超越势垒超越势垒 , 但在势垒中似但在势垒中似乎有一个隧道乎有一个隧道, 能使少量能使少量粒子穿过而进入粒子穿过而进入 的区域的区域 , 所以人们形象地所以人们形象地称之为称之为隧道效应隧道效应 .ax 隧道效应的本质隧道效应的本质 : 来源于微观粒子的波粒二相性来源于微观粒子的波粒二相性 .经典经典量子量子隧道效应隧道效应2222222224)()(k

15、ashkashkR 一维方势垒一维方势垒以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到 的的IIIIII区域，另一部分则被势垒反射回来。区域，另一部分则被势垒反射回来。xa122 SR表明粒子数守恒表明粒子数守恒(45)例例1: 1: 入射粒子为电子。入射粒子为电子。设设 E=1eV, U0 = 2eV, a = 2 10-8 cm = 2， 算得算得 T 0.51。若若a=5 10-8cm = 5 则则 T 0.024，可见，可见 透射系数迅速减小。透射系数迅速减小。若若a=5 10-8cm = 5 ， 则则 T 0.024，可见，可见 透射系数迅速减小。透射系数迅

16、速减小。 质子与电子质量比质子与电子质量比 p/e 1840。 对于对于a = 2 则则 T 2 10-38。 可见透射系数明显的依赖于可见透射系数明显的依赖于 粒子的质量和势垒的宽度。粒子的质量和势垒的宽度。例例2: 2: 入射粒子为质子入射粒子为质子。 由例由例1、2看出，只有粒看出，只有粒子的质量和势垒宽度比较子的质量和势垒宽度比较小时，小时，隧道效应隧道效应才显著才显著 19621962年年,Josephson,Josephson预言了预言了JosephsonJosephson节。将两块超节。将两块超导体用一绝缘层隔开导体用一绝缘层隔开, ,如果绝缘层较厚如果绝缘层较厚, ,电流则不易

17、通电流则不易通过绝缘层。但如果绝缘层够薄，则超导体中的库珀电过绝缘层。但如果绝缘层够薄，则超导体中的库珀电子对按一定几率穿透绝缘层形成电流。子对按一定几率穿透绝缘层形成电流。JosephsonJosephson节节是宏观量子隧道效应的一个典型例子是宏观量子隧道效应的一个典型例子 量子力学提出后，量子力学提出后，Gamow Gamow 首先用势垒穿透成功的首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的说明了放射性元素的衰变现象。衰变现象。 隧道效应已在现代技术中得到广泛应用，如隧隧道效应已在现代技术中得到广泛应用，如隧道二极管、道二极管、约瑟夫逊约瑟夫逊隧道结、扫描隧道显微镜等。隧道结、扫描隧道显微镜等

18、。 STMSTM的发明者的发明者宾宾尼尼、罗雷尔罗雷尔和电子和电子显微镜的发明者显微镜的发明者卢卢斯卡斯卡分享了分享了19861986年年诺贝尔物理奖。诺贝尔物理奖。 第一台第一台扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜STMSTM是由美国是由美国IBMIBM公司的公司的宾尼宾尼和和罗雷尔罗雷尔在在19821982年发明的，它的显微分辨率超年发明的，它的显微分辨率超过电子显微镜数百倍，达到过电子显微镜数百倍，达到0.1nm0.1nm。宾尼宾尼罗雷尔罗雷尔扫描隧道显微镜（扫描隧道显微镜（STM）装置示意图）装置示意图U0U0U0样样品品针针尖尖dE电子云重叠电子云重叠STM显示的生物显示的生物DNA分子表面

19、图像分子表面图像用用STM得到的神经细胞象得到的神经细胞象硅表面硅表面7 7重构图象重构图象液体中观察原子图象液体中观察原子图象 在电解液中得到的硫酸根离子吸附在铜在电解液中得到的硫酸根离子吸附在铜单晶表面的单晶表面的STM图象。图象。中国科学院科学家的中国科学院科学家的“原子书法原子书法” 在石墨表面上刻蚀在石墨表面上刻蚀的出来最小的中国地图的出来最小的中国地图 （纳米量级）（纳米量级） 在硅单晶表面上提在硅单晶表面上提走硅原子形成宽度为走硅原子形成宽度为 2 纳米的线条字样纳米的线条字样 操纵原子已不是梦操纵原子已不是梦“扫描隧道绘画扫描隧道绘画”一氧化碳一氧化碳“分子人分子人”1991年

20、年恩格勒恩格勒等用等用STM在镍单晶表面逐个移动在镍单晶表面逐个移动氙原子，拼成了字母氙原子，拼成了字母 IBM，每个字母长每个字母长 5 纳米纳米 用用STM移动移动48个个Fe原子到原子到Cu表面表面上构成的上构成的 “量子围栏量子围栏”1222222222sin)(411 4sin)(4akkkkkkkakkkkkTakiak ishVEmkk isin)()(2200VE 对于(49)2.2.5 2.2.5 方势阱的反射、透射与共振方势阱的反射、透射与共振2200002)(2)0(mEkVEmkVVV1002122)1 (4sin1 sin)(411 VEVEakakkkkkT(51)

21、.3 , 2 , 1,2.3 , 2 , 1,)0( 1, 0sin2nnannakRTak共振透射物理意义如下annnakannak2)21(.2 , 1 , 0,)21(2透射强反射强如如 ，则，则T T1 1，这是意料中的事，因此时无势，这是意料中的事，因此时无势阱。阱。但一般情况下，但一般情况下， 则则 T1T0E0为游离态，为游离态，E E可以取一切实数值，可以取一切实数值，是连续变化的，而是连续变化的，而E0E0时，则可能时，则可能存在束缚态。存在束缚态。A A）偶宇称态）偶宇称态0 0 xCexCexxx)(归一化条件归一化条件mLLCCdxx222,11)(LxeLx1)(特征

22、长度22220222mmEEm粒子能量本征值粒子能量本征值B B）奇宇称态）奇宇称态0 0 xAexAexxx)(0A由波函数连续条件（x0）从物理上考虑，奇宇称波函数在x0点必为零，而势又恰好只在x0点起作用。所以势对奇宇称态没有影响，不可能形成束缚态。2.3.3 2.3.3 势与方势的关系，跃变条件势与方势的关系，跃变条件xxVxV0)(0)(2,)(0EVmBeAexxx0VE )()(xxBeAexl在微观物理学中，在微观物理学中，势常作为一种势常作为一种理想的短程作用来讨论问题，理想的短程作用来讨论问题， 势可看作方势的一种极限情况。所势可看作方势的一种极限情况。所有涉及有涉及势的问

23、题，原则上都可以势的问题，原则上都可以从方势情况下取极限而得以解决。从方势情况下取极限而得以解决。但直接采用但直接采用势来求解，往往简便势来求解，往往简便得多。下面仅就跃变条件来讨论。得多。下面仅就跃变条件来讨论。)(2 , 0,00常数VV)()()()()()()()(eeBeeABeAeBeAe22020002022,0mmVVmmVV)0(2)1 ()1)()()(lim20mBA跃变条件跃变条件现在让当有4 4 一维谐振子一维谐振子l自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振的小振动，例如

24、分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。在应用上都是很重要的。221KxV 量子力学中的线性谐量子力学中的线性谐振子就是指在振子就是指在该式所该式所描述的势场中运动的描述的势场中运动的粒子。粒子。若取若取V V0 0 = 0 = 0，即平衡位置即平衡位置处于势处于势 V = V = 0 0 点，则点，则Kxd

25、xdVF因为mK其中2221xmV （1 1）方程的建立）方程的建立 l（2 2）求解）求解 l（3 3）应用标准条件）应用标准条件 l（4 4）厄密多项式）厄密多项式 l（5 5）求归一化系数）求归一化系数 l（6 6）讨论）讨论22222222212212xmdxdmxmmpH)()(21222222xExxmdxdm为简单计，引入无量纲变量为简单计，引入无量纲变量代替代替x x，则方程可改写为：，其中令：mx Exdd20)(222 其其中中此式是一变系数此式是一变系数 二阶常微分方程二阶常微分方程0)(222 xdd 222dd（7 7） 为求解方程，我们先看一下它的渐为求解方程，我们

26、先看一下它的渐 近解，即当近解，即当 时波函数时波函数 的行为。在此情况下，的行为。在此情况下， 1 1方程（方程（7 7）在）在 处的有限解为处的有限解为 221)(e令方程（令方程（6 6）的解）的解 212( )( )He （9 9） 2/22/122 ecec 所所以以波函数波函数有限性有限性条件条件：2/2 e当当 时，应有时，应有 c c2 2 = 0= 0，因整个波函数尚因整个波函数尚未归一化，所以未归一化，所以c c1 1可以令其等于可以令其等于1 1。最后渐近波函数最后渐近波函数为：为： 其中其中 H() H() 必须满足波函数的单值、有限、连续的必须满足波函数的单值、有限、

27、连续的标准条件。即：标准条件。即： l 当当有限时，有限时，H()H()有限；有限； l 当当时，时，H()H()的行为要保证的行为要保证() 0() 0。本征函数本征函数: :2222!( )(2 )(1)(2 )( 1)(2 )!2nnnnnnnHn nn 用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（1010）满足有限性条件的有限解，可得厄密方程本征值问满足有限性条件的有限解，可得厄密方程本征值问题的本征值：题的本征值：0)() 1()(2)(22HddHdHd（称为厄密方程）（称为厄密方程）(10)(10)21nn(0,1,2,3,)n(11)(11)称为称为

28、厄密多项式厄密多项式将将()()表达式表达式代入代入方程得关于方程得关于 待求函数待求函数 H()H()所满足的方程：所满足的方程：22) 1()(eddeHnnnn厄密多项式的微分形式厄密多项式的微分形式!2)(22ndHenn积分公式积分公式 (13) (13)012233424535124281216481232160120HHHHHH几个几个厄密多项式：厄密多项式：212( )( )nnnNeH 由归一化条件由归一化条件1)()(*dxxxnn2212( )()xnnnxNeHx并运用积分公式：并运用积分公式： !2)(22ndHenn求得归一化常数求得归一化常数21!2nNnn(14

29、)(14)x)(!2)(222121xHenxnxnn (15) (15)归一化的本征函数归一化的本征函数本征波函数本征波函数( , )( )niE tnnx tx e(14)(14)2 21122()2 !nixE tnneHxn(0,1, 2, 3,)n 由由(5)(5)和和(11)(11)式式, ,即由即由 和和21nnE221nEn得本征能量得本征能量: : (15)(15)1 1 能量的本征值：能量的本征值： （1 1）能量谱为分离谱，两能级的间隔为）能量谱为分离谱，两能级的间隔为 nnEEE1（2 2）对应一个谐振子能级只有一个本征）对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，

30、所以能级是非简并函数，即一个状态，所以能级是非简并的，每个能级的简并度为的，每个能级的简并度为1 1（一能级对应（一能级对应的量子态数称为该能级的简并度）的量子态数称为该能级的简并度） （3 3）基态能量：）基态能量： （又称（又称零点能零点能）210E 零点能不等于零零点能不等于零是量子力学中特有的，是微观粒子波粒二相是量子力学中特有的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的性的表现，能量为零的“静止的静止的” 波是没有意义的，零点能是波是没有意义的，零点能是量子效应，已被绝对零点情况下电子的晶体散射实验所证实量子效应，已被绝对零点情况下电子的晶体散射实验所证实 。21nEn02E 基态能量

31、：基态能量：基态本征函数：基态本征函数：2()1 / 420()()xxe22011( )22V aaE2. 2. 基态基态 2 22xV x在在 处的势能：处的势能：1xa在在 范围内动能范围内动能0Txa由几率密度由几率密度200expxN看出看出, ,粒子在粒子在 处出现的几率最大；在处出现的几率最大；在 范围范围内，粒子出现的几率不为零。对其它各能级状态下的内，粒子出现的几率不为零。对其它各能级状态下的波函数可作类似的分析。波函数可作类似的分析。 0 xxa 在经典情形下，粒子将被限制在在经典情形下，粒子将被限制在 范围中运动。范围中运动。这是因为振子在这是因为振子在 处，其势能处，其

32、势能 ，即势能等，即势能等于总能量，动能为零，经典的粒子动能不可以小于零，于总能量，动能为零，经典的粒子动能不可以小于零，因此粒子被限制在因此粒子被限制在 内。内。xa0VEaxa xa可见，量子与经典情况完全不同。可见，量子与经典情况完全不同。3. 3. 具有具有 宇称宇称nn212( )( )nnnNeH 上式谐振子波函数所包含的上式谐振子波函数所包含的 是是 的偶函的偶函数，所以数，所以 的宇称由厄密多项式的宇称由厄密多项式 的宇称决定。的宇称决定。由于由于 的最高次项是的最高次项是 。当。当 偶数，则厄密偶数，则厄密多项式只含多项式只含的偶次项的偶次项( (偶宇称偶宇称) )； 当当 奇数，则奇数，则厄密多项式只含厄密多项式只含的奇次项的奇次项( (奇宇称奇宇称) ) 。所以。所以, , 具具有有 宇称宇称. .2exp2n nH2nn nnn nH0( )1( )2022( )22( )3( )554( )55555( )55线性谐振子的前六个本征函数由图可以看出，在有限范围内与轴相交n次，即方程有n个根，或者说有n个节点。