1、第第44课课二次函数与三角形综合二次函数与三角形综合专 题 解 说知识内容知识内容二次函数与三角形的综合题，各地中考常常作为压轴题进行考查，这二次函数与三角形的综合题，各地中考常常作为压轴题进行考查，这类题目难度大，考查知识很全面，常常能够区分出优等生和中等生.备考注意点备考注意点解这类习题的关键就是要牢牢把握三角形的特性，运用设坐标法表示解这类习题的关键就是要牢牢把握三角形的特性，运用设坐标法表示相关线段，通过勾股定理或者三角形相似的相关知识求解.中考例题精讲例例1.(2019 西藏西藏)已知：如图，抛物线yax2bx3与坐标轴分别交于点A，B(3,0)，C(1,0)，点P是线段AB上方抛物
2、线上的一个动点 (2)小题图 (3)小题图 (1)求抛物线解析式；(2)当点P运动到什么位置时，PAB的面积最大？(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【分析】(1)用待定系数法即可求抛物线解析式(2)设点P横坐标为t，过点P作PFy轴交AB于点F，求直线AB解析式，即能用t表示点F坐标，进而表示PF的长把PAB分成PAF与PBF求面积和，即得到PAB面积与t的函数关系，配方即得到当t为何值时，PAB面积最大，进而求得此时点P坐标(3)设点P横坐标为t，即能用t表
3、示PD的长根据对称性可知点P、E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得用t表示点E横坐标，进而用t表示PE的长(注意点P、E左右位置不确定，需分类讨论)由于PDE要成为等腰直角三角形，DPE90，所以PDPE，把含t的式子代入求值即得到点P坐标【解答】(1)抛物线yax2bx3过点 B(3,0)，C(1,0) ? 9 a3 b30ab30解得? a1b2； 抛物线解析式为yx22 x3 (2)过点P作PHx轴于点H， 交AB于点F x0时，yx22 x33 A(0,3) 直线AB解析式为yx3 图1 点点P在线段在线段AB上方抛物线上上方抛物线上 设设P(t，t22 t3)(3t0) F(t
4、，t3) PFt22 t3(t3)t23 t SPABSPAFSPBF12PFOH12PFBH12PFOB32(t23 t)32?t322278 点点P运动到坐标为运动到坐标为?32，154，PAB面积最大面积最大 (3)存在点P使PDE为等腰直角三角形 设P(t，t22 t3)(3t0)，则D(t，t3) PDt22 t3(t3)t23 t 抛物线yx22 x3(x1)24 对称轴为直线x1 PEx轴交抛物线于点E yEyP，即点E、P关于对称轴对称 xExP21；xE2xP2t 图2 PE|xExP|22 t| PDE为等腰直角三角形，DPE90 PDPE即t23 t|22 t| 当3t1
5、时，PE22 t t23 t22 t 解得：t11(舍去)，t22；P(2,3) 当1t0时，PE22 t；t23 t22 t 解得：t15172，t25172(舍去) 【总结】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数最值、等腰直角三角形的性质、中点坐标公式，一元二次方程的解法分类讨论进行计算时，要注意讨论求得的解是否符合分类条件，是否需要舍去P?5172，53 172 综上所述，点P坐标为(2,3)或?5172，53 172时使PDE为等腰直角三角形 例例2.(2019 娄底娄底)如图，抛物线yax2bxc与x轴交于点A(1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C，且过点D(2，3)点P、Q
6、是抛物线yax2bxc上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求POD面积的最大值(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当OBE与ABC相似时，求点Q的坐标 图1 图2 【解答】解：【解答】解：(1)函数的表达式为：ya(x1)( x3)，将点D坐标代入上式并解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22 x3； 图1 (2)设直线PD与y轴交于点G，设点P(m，m22 m3)， 将点P、D的坐标代入 一次函数表达式：ysxt 并解得：直线PD的表达式 为：ymx32 m， 则OG32 m， SPOD12OG(xDxP)12(32 m)(2m)m212m3， 10，故SPOD有最
7、大值，当m14时，其最大值为4916； (3)OBOC3，OCBOBC45， ABCOBE，故OBE与ABC相似时，分为两种情况： 当ACBBOQ时， AB4，BC3 2，AC10， 过点A作AHBC与点H， SABC12AHBC12ABOC，解得：AH2 2， 则sin ACBAHAC25，则tanACB2， 则直线OQ的表达式为：y2 x， 图2 联立并解得联立并解得 ：x3， 故点Q( 3，2 3)或或(3，2 3) BACBOQ时时， tanBACOCOA313tanBOQ， 则直线则直线OQ的表达式为：的表达式为：y3 x， 联立并解得联立并解得 ：x1132， 故点Q?1132，33 132或或?1132，33 132； 【总结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏综综 上上 ， 点点Q(3， 2 3)、(3，2 3)、?1132，33 132、?1132，33 132. Thank you for watching
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