1、2.2.2.2直线与抛物线的位置关系1.提升对抛物线定义及标准方程的理解,掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相交问题的综合问题.1.直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程:k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k0,当0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当0,即k1时,直线l与抛物线C相交;当1时,直线l与抛物线C相离.综上所述,当k=1时,直线l与抛物线C相切;当k1时,直线l与抛物线C相离.题型一题型二题型三题型四反思直线与抛物线的位置关系有三种,即相
2、交、相切、相离.这三种位置关系,可通过代数法,借助判别式判断;当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交,此时只有一个交点.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值;(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.题型一题型二题型三题型四因为直线l与抛物线C相切,所以=(-4)2-4(-4b)=0,解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0.解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线
3、y=-1的距离.即r=|1-(-1)|=2.所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.题型一题型二题型三题型四直线与抛物线【例2】 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q所平分,求AB所在直线的方程.分析:因为所求弦通过定点Q,所以求弦AB所在的直线方程关键是求出斜率k,又由于点Q是所求弦AB的中点,所以所求斜率与点A,点B的坐标有关.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思已知曲线和弦的中点,求弦所在直线的方程的基本思路就是求出斜率k.求解k的方法有两种:一是设出端点坐标,但又不求出端点坐标,代入曲线方程,然后作差,采用消元法求出斜率k
4、.此法常称作“点差法”,对“中点弦”问题非常有效.二是先设出弦所在的直线方程,与曲线方程联立,形成一元二次方程,再根据根与系数的关系,结合弦的中点坐标求出斜率k.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 已知直线l:y=k(x+1)与抛物线y2=-x交于A,B两点,O为坐标原点.(1)若OAB的面积为,求k的值;(2)求证:以弦AB为直径的圆必过原点.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四定值问题【例3】 已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证:(1)x1x2为定值;分析:要证x1x2为定值,需把直线
5、AB的方程与抛物线方程联立,消去y后,用根与系数的关系求证.证明为定值,可考虑用抛物线的定义解决.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点,满足OAOB(O为坐标原点).(1)求证:A,B两点的横坐标之积为定值;(2)直线AB经过一定点;(3)求线段AB的中点的轨迹方程.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点忽略抛物线中变量的取值范围而致误【例4】 设A(a,0)(aR),求曲线y2=4x上的点到点A距离的最小值.题型一题型二题型三题
6、型四1234561.过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则kOAkOB的值为()A.4B.-4C.p2D.-p2答案:B123456答案:B123456解析:过点P作PK垂直于抛物线的准线于点K,|PF|=|PK|,|PA|+|PF|=|PA|+|PK|.当点P的纵坐标与点A的纵坐标相同时,|PA|+|PK|最小,此时点P的纵坐标为1.答案:A1234564.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在解析:过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点.若直线AB的斜率不存在,则此时横坐标之和等于2,不符合题意.故设直线AB的斜率为k,则直线AB为y=k(x-1),代入抛物线y2=4x,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.A,B两点的横坐标之和等于5.这样的直线有且仅有两条.故选B.答案:B1234566.求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x有且只有一个公共点的直线方程.123456
