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1、 第 二 章 正投影法基本原理21 投影的形成及常用的投影方法投影的形成及常用的投影方法投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法投影三要素：投射线、空间物体、投影面投影三要素：投射线、空间物体、投影面中心投影法中心投影法 投射中心、物体、投影面三者之间投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差度量性较差: 画透视图画透视图投影特性投影特性投射线投射线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变小也改变平行投影法

2、平行投影法斜角投影法斜角投影法投投 影影 特特 性性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好度量性较好斜角投影法斜角投影法: 画斜轴测图画斜轴测图正投影法正投影法: 工程图样和正等轴测图工程图样和正等轴测图投射线互相平行投射线互相平行且垂直于投影面且垂直于投影面投射线互相平行投射线互相平行且倾斜于投影面且倾斜于投影面直角（正）投影法直角（正）投影法平行投影的基本性质平行投影的基本性质类类似似性性积积聚聚性性真真实实性性从从属属性性平平行行性性定定比比性性 Pb AP采用多面投影采用多面投影。 过空间点过空间点A的投射线的投射线与投影面与投影面P的交

3、点即为点的交点即为点A在在P面上的投影。面上的投影。B1B2B3 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影a 22 22 点的投影点的投影解决办法？解决办法？WVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开aaZaa yayaXYYO azxXYZOVHWAaa a 点的投影规律点的投影规律: a aOX轴轴 aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面

4、的距离xaazayYZaza XYayOaaxaya a a OZ轴轴a aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa 三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法： x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上b aa a b bB点在点在A点之点之前、之右、之前、之

5、右、之下。下。XYHYWZ重影点：重影点： 空间两点在某一投空间两点在某一投影面上的影面上的投影重合为一投影重合为一点点时，则称此两点为时，则称此两点为该该投影面投影面的重影点。的重影点。A、C为为H面的重影点面的重影点a a c c 被挡住的投被挡住的投影加影加( )( )A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a caa a b b b23 23 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。就得到直线的同名投影。 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一

6、、直线的投影特性ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcosABabAMBabm 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧

7、垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面b a aba b b aa b ba 投影面平行线投影面平行线 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。并反映直线与另两投影面倾角的实大。 另两个投影面上的投影平行于相应的投影另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H面的夹角面的夹角: 与与V面的

8、角面的角:与与W面的夹角面的夹角: 实长实长实长实长实长实长ba aa b b 反映线段实长。且垂直反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。 投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影， 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f ) 一般位置直线一般位置直线投影特性：投影特性： 三个投影都缩短。三个投影都缩短。即即: 都不反映空间线段都不反映空间线段的实长及与三个投影面的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根夹角的实大，且与

9、三根投影轴都倾斜。投影轴都倾斜。abb a b a 实长和倾角实长和倾角?ABab例：求直线例：求直线AB的实长及与的实长及与H面的夹角。面的夹角。 直角三角形法直角三角形法作图：作图：过水平投影过水平投影ab的端点的端点b(或或a)作作ab的垂线，在垂线上截的垂线，在垂线上截 bB0=z得得B0，连接，连接aB0，则，则aB0=TL，B0ab=。也可在投影图外作此三角形。也可在投影图外作此三角形。B0例：分析例：分析AB、AC、BD对投影面的相对位置对投影面的相对位置 。AB：正垂线：正垂线 AC：一般位置直线：一般位置直线 BD：正平线：正平线 例：已知水平线例：已知水平线AB端点投影端点

10、投影a、a，AB对对V面的倾角面的倾角=45，长，长25，B在在A的右前方，求直线两面投影。的右前方，求直线两面投影。 a aXOb45 b 二、直线与点的相对位置二、直线与点的相对位置 若点在直线上若点在直线上, 则则点的投影必在直线的同点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间同名投影分割成与空间相同的比例。即：相同的比例。即： 若点的投影有一个不若点的投影有一个不在直线的同名投影上，在直线的同名投影上， 则则该点必不在此直线上。该点必不在此直线上。判别方法判别方法：AC/CB=ac/cb= a c / c b ABCVHbcc b a a定比定理定比

11、定理从属性从属性定比性定比性点点C不在不在直线直线AB上上例例1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。abca b c c abca b 点点C在直在直线线AB上上例例2：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法另一判断法?结论：结论：一般位置直线，判断两个投一般位置直线，判断两个投 影面上的投影即可。影面上的投影即可。 特殊位置直线，判断三个投特殊位置直线，判断三个投影面上影面上 的投影或应用定比定的投影或应用定比定理理三、两直线的相对位置三、两

12、直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉交叉。 两直线平行两直线平行投影特性：投影特性： 空间两直线平空间两直线平行，则其各行，则其各同名投同名投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦然。之亦然。aVHc bcdABCDb d a abcdc a b d 例例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直对于一般位置直线，只要有两个同名线，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两个同名投影互

13、相只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 两直线相交两直线相交判别方法：判别方法： 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律影规律。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点cabb a c d k kd例：过例：过C点

14、点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影d b a abcdc 1 (2 )3(4 ) 两直线交叉两直线交叉投影特性投影特性： 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律一个点的投影规律。 “交点交点”是两直线上是两直线上的一的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判断两直线用其可帮助判断两直线的空间位置。的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H面的重影点。面的重影点。为什么？为什么？3 4 两直线相交吗？两直线相交吗？12 两直线垂直相交（或垂直交叉）两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投影定理：直角的投

15、影定理： 若空间两直线垂直，且其中一直线平行于投影面，若空间两直线垂直，且其中一直线平行于投影面，则在该投影面上的投影仍为直角。反之也成立。则在该投影面上的投影仍为直角。反之也成立。设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB, 同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc为直角为直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.证明：证明：d abca b c d例：过例：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。垂直相交。AB为正平线为正平线, 正面正面投影反映直角。投影反映直角

16、。. 小小 结结 点与直线的投影特性，尤其是点与直线的投影特性，尤其是特殊位置特殊位置 直线的投影特性直线的投影特性。 点与直线及两直线的相对位置的判断方点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。法及投影特性。 定比定理。定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。直角定理，即两直线垂直时的投影特性。重点掌握：重点掌握：一、点的投影规律一、点的投影规律aaZayayaXYYO xa za a aOX轴轴 aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面的距离 a a OZ轴轴二、各种位置直线

17、的投影特性二、各种位置直线的投影特性 一般位置直线一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。三个投影与各投影轴都倾斜。 投影面平行线投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。应的投影轴。 投影面垂直线投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。三、直线上的点三、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。点的投影在直线的同名投影上。 点分线段成定比

18、，点的投影必分线段的投影点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比成定比定比定理。定比定理。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 平行平行 相交相交 交叉（异面）交叉（异面） 同名投影互相平行。同名投影互相平行。 同名投影相交，交点是两直线的共有点，同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。且符合空间一个点的投影规律。 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律。间一个点的投影规律。“交点交点”是两直线上一是两直线上一对重影点的投影。对重影点的投影。五、相互垂直的两直线的投影特性五、相互垂直的两直线的投影特性 两直线同时

19、平行于某一投影面时，在该两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。投影面上的投影反映直角。 两直线中有一条平行于某一投影面时，两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。在该投影面上的投影反映直角。 两直线均为一般位置直线时，两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不在三个投影面上的投影都不 反映直角。反映直角。直角定理直角定理2.4 2.4 平面的投影平面的投影一、一、平面的表示法平面的表示法abca b c 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点abca b c 直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线a

20、bca b c 两相交两相交直线直线abca b c 平面平面图形图形1. 用几何元素表示平面用几何元素表示平面2. 用平面的迹线表示平面用平面的迹线表示平面一、一、平面的表示法平面的表示法平面的迹线：平面的迹线：平面与投影面的交线。水平、正面、侧面迹线。平面与投影面的交线。水平、正面、侧面迹线。迹线的集合点：迹线的集合点：两迹线相交时的交点，如图中的两迹线相交时的交点，如图中的PX、PZ。实际应用实际应用中，常用平面的一条具有积聚性的迹线来表示特殊中，常用平面的一条具有积聚性的迹线来表示特殊位置平面，如投影面垂直面和投影面平行面，图位置平面，如投影面垂直面和投影面平行面，图c。迹线平面：迹线

21、平面：用迹线表示的平面。用迹线表示的平面。二、平面的投影特性二、平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊

22、位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面abca c b c b a 投影面垂直面投影面垂直面类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面为什么？为什么？是什么位置是什么位置的平面？的平面？投影特性：投影特性：垂直投影面上的投影积聚成直线。垂直投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹

23、角的大小。另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。 正垂面正垂面侧垂面侧垂面a b c a b c abc 投影面平行面投影面平行面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：平行的投影面上的投影反映实形。平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。投影轴平行的直线。正平面正平面侧平面侧平面a b c a c b abc 一般位置平面一般位置平面三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性：投影特性：P：正垂面：正垂面 R：水平面：水平面Q：铅垂面

24、：铅垂面 例例:分析立体表面分析立体表面P、Q、R对投影面的相对位置对投影面的相对位置 三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。内。定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。 平面上取任意直线平面上取任意直线abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试所确定，试

25、在平面内任作一条直线。在平面内任作一条直线。解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有多少解？有多少解？有无数解。有无数解。例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？ 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a

26、 k b k 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线abcab k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解例例2: 判断点判断点M、N是否在平面是否在平面Q内。内。 M：不在平面内：不在平面内 N：在平面内：在平面内 例例3：判断点：判断点M、N是否在三角形是否在三角形ABC内。内。d dbb a c m n acmnXOM：不在平面内：不在平面内 N：在平面内：在平面内 bckada d b c ada d b c k bc例例4：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。的

27、水平投影。解法一解法一解法二解法二a b abb a 例例5: 已知四棱台表面上点已知四棱台表面上点A、B的水平投影的水平投影a、b，求另两面投影。，求另两面投影。四、圆的投影四、圆的投影平行于投影面的圆 五、包含点或直线作平面五、包含点或直线作平面a OPvQv包含点作水平面、包含点作水平面、正垂面，能作几个正垂面，能作几个？包含点作？包含点作 =30 正垂面能作几个？正垂面能作几个？a XOabb 包含一般位置包含一般位置直线，作投影直线，作投影面垂直面，能面垂直面，能作几个？作几个？c XORvdd c包含投影面平包含投影面平行线，作投影行线，作投影面平行面，能面平行面，能作几个？作几个

28、？XaQv2.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直。垂直。一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包括包括 直线与平面平行直线与平面平行定理：定理： 若一直线平行于平面上的某一直若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。线，则该直线与此平面必相互平行。n a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？正平线正平线例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 A

29、BC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线对应平行于另对应平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行。必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef二、相交问题二、相交问题直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平交点是直

30、线与平面的共有点。面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判别可 见性。见性。直线与平面中至少有一个处于特殊位置。直线与平面中至少有一个处于特殊位置。直线与平面中均处于一般位置。直线与平面中均处于一般位置。abcmnc n b a m 平面为特殊位置平面为特殊位置例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的

31、交点即的交点即为为K点的水平投影。点的水平投影。求交点求交点(交点两边可见交点两边可见 性发生改变性发生改变) 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投段在平面前，故正面投影上影上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1 (2 )作作 图图k21km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见

32、性 点点位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点位于位于MN上，在上，在后。故后。故k 2 为不可见。为不可见。1 (2 )k 21作图作图用面上取点法用面上取点法 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平交线是两平面的共有线，面的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的交线上的点都是两平面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法： 确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。 确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。 两平面中至少有一个处于特殊位置。两平面中至少有一个处于特殊位置。 两平面

33、均处于一般位置。两平面均处于一般位置。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。判别可见性。可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f db e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都都为为正垂面正垂面，它们的正面投，它们的正面投影都积聚成直线。影都积聚成直线。交线必交线必为一条正垂线为一条正垂线，只要求得只要求得交线上的一个点便可作出交线上的一个点便可作出交线的投影。交线的投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面

34、在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。在上，其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？ 两平面均为特殊位置平面两平面均为特殊位置平面b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有积聚性。正面投影有积聚性。a b 与与e f 的交点的交点m 、 b c 与与f h 的交点的交点n 即为两个共有点的正面投影，即为两个共有点的正面投影，故故m n 即即MN的正面投影的正面投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性点点在在FH上，点上，点在在BC上，上，点点在上，点在上

35、，点在下，故在下，故fh可见，可见，n2不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 一平面为投影面平行面，另一平面为一般位置平面一平面为投影面平行面，另一平面为一般位置平面c d e f a b abcdef一平面为投影面垂直面，另一平面为一般位置平面一平面为投影面垂直面，另一平面为一般位置平面投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位位于于def的外面，说明点的外面，说明点N位于位于DEF所确定的平面所确定的平面内，但不位于内，但不位于DEF这个这个图形内。图形内。 所以所以ABC和和DEF的交线应为的交线应为MK。nn m kmk 互交互交 一般位置情况：一般位置情况： 直线和平面

36、均处于一般位置直线和平面均处于一般位置k 4 3 12m n a b c abcnmXOk4(3)Rv1 2 (5 )5作图步骤：作图步骤： 用用重影点重影点判断判断可见性可见性。 包含包含MN作作辅助正垂面辅助正垂面R，作出其具积聚性的，作出其具积聚性的正面迹线正面迹线Rv。 求出平面求出平面R与与ABC的的交线交线12（12，12）。）。 交线的水平投影交线的水平投影12与与mn的交点的交点k就是所求交就是所求交点的水平投影。点的水平投影。 根据根据从属性从属性由由k求出求出k，则，则K(k,k)即直线与平即直线与平面交点面交点辅助辅助平面法平面法abcdefb c a d e f QvP

37、vm s n t mnll stkk 2(1)2 1 3(3)XO作图步骤：作图步骤： 包含包含DF作辅助正垂面作辅助正垂面P，与，与ABC交于交于MN,求求其与其与DF 交点交点L。同法再。同法再求求EF与与ABC交点交点K。 连接连接K和和L的同面投影的同面投影 。 利用利用重影点重影点分别判断分别判断各投影的各投影的可见性可见性 。辅助辅助平面法平面法全交？互交？全交？互交？ 一般位置情况：一般位置情况： 二平面均处于一般位置二平面均处于一般位置三面共点法三面共点法求二一般位置平面交线求二一般位置平面交线 d c a b e dcabgfef g XO R1V1 2 4 3 123 R2

38、V4mn作图步骤：作图步骤： 作辅助水平面作辅助水平面R1。 R1与与P、Q分别相分别相交于交于和和 。 和和 交点交点M，即为二平面，即为二平面的一个交点。的一个交点。 同法作平面同法作平面R2，求出一个交点求出一个交点N。 连接连接MN,即为所求即为所求交线。交线。 m n 一般位置情况：一般位置情况： 二平面均处于一般位置二平面均处于一般位置三、垂直问题三、垂直问题直线与平面垂直直线与平面垂直平面与平面垂直平面与平面垂直 直线与平面垂直直线与平面垂直特殊情况：特殊情况： 原理图 直线与铅垂面垂直 直线与正垂面垂直2. 两平面垂直两平面垂直原理图原理图 二铅垂面垂直二铅垂面垂直 一般位置平

39、面与铅垂面垂直一般位置平面与铅垂面垂直 若一平面包含另一平面的一条垂线，则二平面垂直。若一平面包含另一平面的一条垂线，则二平面垂直。 小小 结结 重点掌握：重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点。二、如何在平面上确定直线和点。三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的内的两组相交直线对应平行。两组相交直线对应平行。四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。两者的共有点或共有线。解题思路：解题思路：空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。目的是找出交点或交线的已知投影。

40、判别可见性判别可见性 尤其是尤其是如何利用重影点判别。如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性。投影特性。要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形类似性类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性积聚性。另外两个投影类似。另外两个投影类似。 在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性实形性。 另外两

41、个投影积聚为直线。另外两个投影积聚为直线。 二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上 平面上的直线平面上的直线 过平面上的两个点。过平面上的两个点。 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。三、平行问题三、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。直线平行于平面内的一条直线。 两平面平行两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。于另一个平面上的一对相交直线。四、相交问题四、相

42、交问题 求直线与平面的交点的方法求直线与平面的交点的方法 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。交点的共有性和平面的积聚性直接求解。 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。取点的方法求解。 求两平面的交线的方法求两平面的交线的方法 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置， 有时可找出两平面的一个共有点，根据交线有时可找出两平面的一个共有点，根据交线

43、 的投影特性画出交线的投影。的投影特性画出交线的投影。 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。有点，求出交线。2.6 2.6 换面法换面法一、问题的提出一、问题的提出 如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置平面的真实大小？如何求一般位置平面的真实大小？ 换换 面面 法：法： 物体本身在空间的位置不动，而用某物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使面，使物体相对新的

44、投影面处于解题所需物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置要的有利位置，然后将物体向新投影面进，然后将物体向新投影面进行投射。行投射。解决方法：更换投影面。解决方法：更换投影面。VHAB a b ab二、新投影面的选择原则二、新投影面的选择原则1. 新投影面必须对空间物体处于新投影面必须对空间物体处于最有利的解最有利的解 题位置。题位置。 平行于新的投影面平行于新的投影面 垂直于新的投影面垂直于新的投影面2. 新投影面必须新投影面必须垂直于垂直于某某一保留的原投影面，一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。Pa1b1VHA a a ax

45、X 更换一次投影面更换一次投影面 旧投影体系旧投影体系 X VH 新投影体系新投影体系P1HX1 A点的两个投影：点的两个投影：a， a A点的两个投影：点的两个投影：a，a1 新投影体系的建立新投影体系的建立三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律X1P1a1ax1 VHXP1HX1 a aa1axax1.ax1 VHXP1HX1 a aa1VHA a axXX1P1a1ax1 新旧投影之间的关系新旧投影之间的关系 aa1 X1 a1ax1 = a ax 点的二相间投影到投影轴的距离相等。点的二相间投影到投影轴的距离相等。axa 一般规律：一般规律： 点的相邻投影的连线，垂直于新投影轴。点的

46、相邻投影的连线，垂直于新投影轴。. XVHaa ax更换更换H面面 求新投影的作图方法求新投影的作图方法 VHXP1HX1 由点的不变投影向新投影轴作垂线，由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。于被代替的投影到原投影轴的距离。aa X1P1V a1axax1ax1更换更换V面面a1作图规律：作图规律：. 更换两次投影面更换两次投影面先把先把V面换成平面面换成平面P1， P1 H，得到中间新投影体系，得到中间新投影体系:P1HX1 再把再把H面换成平面面换成平面P2， P2 P1，得到新投影体系，得

47、到新投影体系: X2 P1 P2 新投影体系的建立新投影体系的建立按次序更换按次序更换AaVH a axXX1P1a1ax1P2X2ax2a2 ax2 a aXVH 求新投影的作图方法求新投影的作图方法a2X1HP1X2P1P2 作图规律作图规律 a2a1 X2 轴轴 a2ax2 = aax1a1 axax1 .VHAB a b ab四、换面法的四个基本问题四、换面法的四个基本问题1. 把一般位置直线变换成投影面平行线把一般位置直线变换成投影面平行线用用P1面代替面代替V面，在面，在P1/H投影体系中，投影体系中，AB/P1。X1HP1P1a1b1空间分析空间分析： 换换H面行吗？面行吗？不行

48、！不行！作图：作图：例：求直线例：求直线AB的实长及与的实长及与H面的夹角。面的夹角。 a b abXVH新投影轴的位置？新投影轴的位置？a1b1与与ab平行。平行。 .a1b1VH a aXB b bA2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：空间分析：a b abXVHX1H1P1P1P2X2作图：作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？轴的位置？a2 b2ax2a2 b2 .与与a1b1垂直垂直一次换面把直线变成投影面平行线；一次换面把直线变成投影面平行线； 一般位置直

49、线变换一般位置直线变换成投影面垂直线，需经成投影面垂直线，需经几次变换？几次变换？ a b c abcdVHABCDX d 3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面把一般位置平面变换成投影面垂直面 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 P1X1c1b1 a1 d1空间分析：空间分析： 在平面内在平面内取一条取一条投影面平行线投影面平行线，经一，经一次换面后变换成新投次换面后变换成新投影面的垂直线，则该影面的垂直线，则该平面变成新投影面的平面变成新投影面的垂直面。垂直面。

50、作图方法：作图方法：两平面垂直需满足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？能否只进行一次变换？ 思考：思考：若变换若变换H面，需在面面，需在面内取什么位置直线？内取什么位置直线？正平线！正平线！ a b c acbXVH例：把例：把三角形三角形ABC变变换换成投影面垂直面。成投影面垂直面。HP1X1作作 图图 过过 程：程： 在平面内取一条水平在平面内取一条水平 线线AD。d d 将将AD变换成新投影变换成新投影 面的垂直线。面的垂直线。d1a1 d1c1 反映平面对哪反映平面对哪个投影面的夹角？个投影面的夹角？.a1 b1需经几次变换？需经几次变换？一次换面一次换面, 把一