1、上上上海海海科科科技技技大大大学学学2018年年年攻攻攻读读读硕硕硕士士士学学学位位位研研研究究究生生生招招招生生生考考考试试试试试试题题题科科科目目目代代代码码码：992科科科目目目名名名称称称：数数数值值值代代代数数数考考考生生生须须须知知知：1.本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。1. (共 30 分, 每小题 10 分) 考虑如下矩阵A =422251215,B = A 200020002.(a) 求矩阵 B 的行列式.(b) 求矩阵 A 的特征值.(c) 求矩阵 A 的 1 范数, 2 范数.2. (
2、共 30 分, 每小题 10 分) 考虑如下矩阵A =422251215.(a) 三角分解: 求单位下三角矩阵 L, 以及上三角矩阵 U, 使得 A = LU.(b) 求解方程组 Ax = b, 其中列向量 b =?62,63,51?.(c) LDLT分解: 求单位下三角矩阵 K 以及对角矩阵 D, 使得 A = KDKT.3. (共 30 分, 每小题 10 分) 给定如下矩阵和向量M =211020002,z =211.选取初始点列向量 x0=?4,2,2?, 考虑如下优化问题minxR3kMx zk22.第 1 页 共 2 页科目代码：992科目名称：数值代数(a) 给出该问题的法方程组
3、 Ax = b, 要求写出矩阵 A 和向量 b 的具体数值.(b) 采用最速下降法求解该法方程组, 求解第一步的优化方向 p0, 沿该方向的优化步长 0, 以及更新后的 x1= x0+ 0p0.(c) 采用共轭梯度法求解该法方程组, 第一步与上述最速下降法相同. 第二步是经过点 x1, 在 p0和 r1= b Ax1张成的空间里求解最优方向 p1. 计算出 r1, p1. (结果要求调整 p1的第一个分量为 1.)4. (共 20 分, 每小题 10 分) 令 I4为 4 阶单位矩阵. 给定列向量 x =?3,1,1,5?.(a) 令列向量 y =?6,0,0,0?, 求一个单位向量 w R4
4、, 使得(I4 2wwT)x = y.(b) 令列向量 y =?2,1,0,2?, 求一个单位向量 w R4及正数 , 使得(I4 2wwT)x = y.5. (共 30 分, 每小题 10 分) 考虑线性方程组 Ax = b, 矩阵与向量如下A =211120102,b =422.令 D,L,U R33分别为 A 的对角、严格下三角、严格上三角部分构成的矩阵.(a) Jacobi 迭代法的每一步求解 Dxk+1+ (L + U)xk= b, 给出该迭代法 xk+1=Mxk+ g 的迭代矩阵 M, 判断是否收敛并给出理由.(b) Gauss-Seidel 迭代法的每一步求解 (D+L)xk+1+Uxk= b, 给出该迭代法 xk+1=Nxk+ g 的迭代矩阵 N, 判断是否收敛并给出理由.(c) 假设采用幂法求矩阵 M 的模最大特征值及其对应的特征向量, 先分析该矩阵特征值的特点, 再调整 M 给出一个适合幂法的矩阵.6. (共 10 分, 每小题 10 分) 给定矩阵 M Rnn与向量 g,x0 Rn, 假设存在正定矩阵 P Rnn使得 P 4MTPM 正定, 证明如下迭代收敛xk+1= 2Mxk+ g,k = 0,1,.第 2 页 共 2 页
