人教高中数学必修五课件：单元复习课-第一章.ppt

1、单元复习课第一章类型一:利用正、余弦定理解三角形【典例1】(2016郑州高二检测)在ABC中,已知2sin2 = sinA.sin(B-C)=2cosBsinC,求 的值.A23ACAB【解析】由2sin2 = sinA,可得2sin2 =2 sin cos ,即tan = ,则A= .结合余弦定理,可得a2=b2+c2+bc;又sin(B-C)=2cosBsinC,展开可化为sinBcosC=3cosBsinC,A23A2A2A23A2323结合正、余弦定理得b =3c ,即a2=2b2-2c2,代入a2=b2+c2+bc,可化为解得 即222abc2ab222acb2ac2bb( )3 0

2、,cc b 113,c2AC 113.AB2【规律总结】解三角形的一般方法(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=求C,由正弦定理求a,b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=,求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C.【巩固训练】(2016大庆高二检测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A= ,a=3,b=4,则=(

3、)【解析】选C.由正弦定理 可得sinB= 所以6a bsin A sin BA.3 3B.6 3C.6D.18absin Asin Bbsin Aa4 sin2633 ，a b3 4612sin A sin B23类型二:判断三角形的形状【典例2】(1)(2016合肥高二检测)已知ABC中,BC=6,AC=8,cosC= 则ABC的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.钝角三角形75,96(2)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定【解析】(1)

4、选D.由余弦定理得AB2=62+82-268 =25,所以最大角为B角,因为cosB= a2A为锐角;b2+c2=a2A为直角;b2+c2a2A为钝角.【巩固训练】已知ABC中, =c2,且acosB=bcosA,试判断ABC的形状.333abca b c 【解析】由 =c2,得a3+b3-c3=c2(a+b)-c3,所以a2+b2-ab=c2,所以cosC= ,所以C=60.由acosB=bcosA,得2RsinAcosB=2RsinBcosA(R为ABC外接圆的半径),所以sin(A-B)=0,所以A-B=0,所以A=B=C=60,所以ABC为等边三角形.333abca b c 12类型三

5、:正、余弦定理在生活中的应用【典例3】如图,为了计算北江岸边两景点B与C的距离,由于地形的限制,需要在岸上选取A和D两个测量点,现测得ADCD,AD=10km,AB=14km,BDA=60,BCD= 135,求两景点B与C的距离(假设A,B,C,D在同一平面内,测量结果保留整数;参考数据: 1.414, 1.732, 2.236)253【解析】在ABD中,设BD=x,则BA2=BD2+AD2-2BDADcosBDA,即142=x2+102-210 xcos60,整理得:x2-10 x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍去),在BCD中,由正弦定理,得BCBDsin CDBsin BCD，

6、所以BC= sin30=8 11(km).答:两景点B与C的距离约为11km.16sin 1352【规律总结】解三角形应用题常见的几种情况(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,然后从这几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.(3)实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由已知条件解三角形需选择使用正弦定理或余弦定理去求问题的解.【巩固训练】为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1千米处不能收到手

7、机信号,检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约1.732千米有一条北偏东60方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千米的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?【解析】如图所示,考点为A,检查开始处为B,设公路上C,D两点到考点的距离为1千米,在ABC中,AB= 1.732(千米),AC=1(千米),ABC=30,由正弦定理sinACB=所以ACB=120(ACB=60不合题意).所以BAC=30,所以BC=AC=1(千米),在ACD中,AC=AD,ACD=60,3sin 303ABAC2所以ACD为等边三角形,所以CD=1(千米)

8、.因为 60=5,所以在BC上需5分钟,CD上需5分钟.所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟才算合格.BC12类型四:正、余弦定理与三角函数的综合应用【典例4】(2016惠州高二检测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(1)求cosA的值.(2)若a=3,ABC的面积为2 ,求b,c的长.2【解析】(1)由3cos(B-C)-1=6cosBcosC,得3(cosBcosC-sinBsinC)=-1,即cos(B+C)=- ,在ABC内,cosA=-cos(B+C)= .1313(2)因为0A,cosA= ,所以si

9、nA=由SABC=2 ,得 bcsinA=2 ,即bc=6.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,所以9=(b+c)2-2bc(1+cosA)=(b+c)2-16,所以b+c=5.132 23，2212b c 5b 2b 3bc 6c 3c 2. ，由得或，【规律总结】关于正、余弦定理与三角函数的综合应用(1)首先要熟练使用正、余弦定理,其次要根据条件,合理选用三角函数公式,达到简化问题的目的.(2)利用正、余弦定理解三角形问题时,常与平面向量等知识结合给出问题的条件,这些知识的加入,一般只起“点缀”作用,难度较小,易于化简.【巩固训练】(2015陕西高考)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a, b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A.(2)若a= ,b=2,求ABC的面积.37【解题指南】(1)先利用mn得asinB- bcosA=0,再利用正弦定理转化求得tanA的值从而得A的值.(2)利用余弦定理得边c的值,代入三角形的面积公式求解.3【解析】(1)因为mn,所以asinB- bcosA=0,由正弦定理得sinAsinB- sinBcosA=0,又sinB0,从而tanA= ,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为 bcsinA=73123 3.2