1、“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.1 求弦中点的轨迹方程例1已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.解设弦的两个端点分别为，的中点为.则，（1），（2）得：， .又，.弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）.例2直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 .解设，中点，则.，过定点，.又，（1），（2）
2、得：，. 于是，即.弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知抛物线内）.2 求曲线方程例3已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程.解由已知抛物线方程得.设的中点为，则三点共线，且，分所成比为，于是，解得，. 设，则.又，（1），（2）得：，.所在直线方程为，即.例4已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程.解设，则，且，（1），（2）得：，（3）又，（4） 而，（5）由（3），（4），（5）可得， 所求椭圆方程为.3 求直线的斜率例5已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的
3、垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率.（1）证略.（2）解，设线段的中点为.又在椭圆上，（1），（2）得：，.直线的斜率，直线的方程为.令，得，即，直线的斜率.4 确定参数的范围例6 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.解 当时，显然满足.当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，则，（1），（2）得：，又，.中点在直线上，于是.中点在抛物线区域内，即，解得.综上可知，所求实数的取值范围是.5 证明定值问题例7已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.证明设且，则，（1），（2）得：，.又，（定值）.6 处理存在
4、性问题例8已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于，两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.解假设这样的直线存在，设的坐标分别为，则，又，（1），（2）得：， 的斜率 又直线过三点，的方程为 ，即.但若将代入整理得方程，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.一、 以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为、为的中点 又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求
5、出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点平分的弦，且、则， , ，两式相减，得故直线由消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交
6、点恰为这条弦的中点，求点的坐标。解：设弦端点、，弦的中点，则 ， 又 ，两式相减得即 ，即点的坐标为。例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点、，弦的中点，则， 又 ，两式相减得即，即 ，即由，得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为三、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为，则设弦端点、，弦的中点，则， ，又，两式相减得即 联立解得， 所求椭圆的方程是四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，这就是弦中点轨迹方程。它与直线的交点必须在椭圆内联立，得则必须满足，即，解得五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。9
