《2.3-数学归纳法》PPT课件(宁-夏市级优课).ppt

1、 (1)了解数学推理的常用方法（归纳法） (2)了解数学归纳法的原理及使用范围。 (3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。 (4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。 教学目标教学目标, 11a*)(1Nnnan猜想：猜想：计算计算: :414=a ?问： . 1, 1若, 问题：对于数列11nnnnnaNnaaaaa不完全归纳法不完全归纳法,717a验证验证: :,515a,616a逐一验证，不可能！逐一验证，不可能！ 引例引例,212a,313a后面是否成立？后面是否成立？完全归纳法完全归纳法游戏模型多米诺骨牌活动：活动： 游戏1：码放多米诺骨牌，推到第1块骨牌，观察发生怎样的

2、结果？ 游戏2：码放多米诺骨牌，用手按住中间的某块骨牌，观察发生怎样的结果？总结：总结： 这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？部倒下的条件是什么？ 思考：思考： 1.你认为条件你认为条件 （2）的作用是什么？）的作用是什么？ 2.如果条件（如果条件（1）不要，能不能保证）不要，能不能保证全部骨牌都倒下？全部骨牌都倒下？ 1nan类比多米诺骨牌游戏证明猜想的类比多米诺骨牌游戏证明猜想的通项公式通项公式 是否正确是否正确多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理（1）第一块骨牌倒下。）第一块骨牌倒下。（2）若第）若第k块倒下时，则相块倒下时，则相邻的第邻的

3、第k+1块也倒下。块也倒下。 （游戏继续的条件）（游戏继续的条件）根据（根据（1）和）和 （2），可知不论有），可知不论有多少块骨牌都能全部倒下。多少块骨牌都能全部倒下。 （游戏结束）（游戏结束）1nan（1）当）当n=1时猜想成立。时猜想成立。 （归纳奠基）（归纳奠基）（2）若）若n=k时成立，即时成立，即 ，证明证明当当n=k+1时时也成立，即也成立，即 . （归纳递推）（归纳递推）1kak111kak根据（根据（1）和（）和（2），可知对任意），可知对任意的正整数的正整数n，猜想都成立。，猜想都成立。 （命题成立）（命题成立）.1, 1,11nnnnaaaaa若对于数列*).(1Nnna

4、n求证：证明证明:命题成立。命题成立。,1111=a,1kakkkaa1kk11111k1ka（基础）（基础）(1)当当n=1时，时，(2)假设当假设当n=k 时，时， 命题成立命题成立,即即 当当n=k+1时，时， 既当既当n=k+1时，命题成立时，命题成立.*)(1成立Nnnan由由(1)(2)知，知， 依据依据(归纳递推归纳递推)（结论）（结论）典型例题典型例题验证验证n=n0时时命题立命题立假设假设n = k ( k n0 ) 时时命题成立，证明当命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。时命题也成立。 归纳奠基归纳奠基 归纳推理归纳推理命题从命题从n0开始所有开始所有的正整数的正整数n

5、都成立都成立一般地，证明一个与正整数有关的命题，一般地，证明一个与正整数有关的命题， 可按下列步骤进可按下列步骤进（1）证明当证明当n取第一个值取第一个值 n0 时命题成立。时命题成立。( 2 ) 假设假设n = k ( k n0 ，k N N* * ) 时时命题成立，证明当命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数都成立。上述证明方法叫做开始的所有正整数都成立。上述证明方法叫做 数学归纳法数学归纳法用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1+2+3+4+n= n(n+1)12小试牛刀小试

6、牛刀 试问等式试问等式2+4+6+2+4+6+2+2n nn n2 2+n+1+n+1成立吗？某同成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？得到的结论正确吗？证明：证明：设设n nk k时成立，即时成立，即 2+4+6+2kk2+k+1这就是说，这就是说，n nk+1k+1时也成立时也成立 则当则当n=k+1n=k+1时时 2+4+6+2+4+6+2k+2(k+1)+2k+2(k+1)=k2+k+1+2k+2=(k+1)2+(k+1)+1 所以等式对任何正整数都成立所以等式对任何正整数都成立如下证明对吗？如下证明对吗？错解

7、！错解！ 易错辨析易错辨析证明：证明： 综合（综合（1）和（）和（2）等式对一切正整数）等式对一切正整数n均成立均成立.（2）假设当）假设当n=k时成立，即：时成立，即：1n ，左边左边 = 1，右边，右边 = 12= 1 ， 等式成立。等式成立。（1）当当当当n=k+1时时，代入得：，代入得： 所以等式成立。所以等式成立。错解！错解！错因错因: :没有用到假设！没有用到假设！如下证明对吗？如下证明对吗？ 易错辨析易错辨析2)12(531kk2)12()32(531nnn2)1(12)12(531kkk）（如下证明对吗？如下证明对吗？证明：证明：当当n=1时，左边时，左边1 ,右边右边=1，等

8、式成立。，等式成立。设设n=k时，有时，有2) 12(531kk2) 1(2) 1(1) 1( 21 1) 1( 2) 12(531kkkkk即即n=k+1时，命题成立。时，命题成立。根据问可知，对根据问可知，对nN，等式成立，等式成立。当n=k+1时:等差数列求和！等差数列求和！错解！错解！错因错因: :没有用到假设！没有用到假设！ 易错辨析易错辨析2)12()32(531nnn能力提升能力提升问题：问题：n=1 2 n2计算当， ,8时2 与n 的值，比较它们的大小你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？注意：注意：在第一步中的初始值不一定从在第一步中的初始值不一定从1 1取起取起, , 证明

9、应根据具体情况而定证明应根据具体情况而定. .,1221,2222,3223,4224,5225,6226,72272882 猜想：猜想：恒成立？时，当225nnn用数学归纳法证明，用数学归纳法证明，理解新知理解新知问题：问题：初始值初始值从从 取起取起. .5计算：计算：求证：求证：).(25*2Nnnnn 时，当,5225证明：证明：时，当5) 1 (n命题成立。命题成立。时，假设)5,()2(*kNkkn命题成立，命题成立，.22kk即时，当1 kn12k左边22 k22k,22k,12）（右边 k22) 1(2 kk) 12(222kkk122kk2) 1(2 k2420,) 1(221kk,1时即kn命题成立。命题成立。,)2)(1 (知由).(25*2Nnnnn 时，当 大于大于?222(1)kk证明目标证明目标 典型例题典型例题重点：重点：两个步骤、一个结论；两个步骤、一个结论；注意：注意：递推基础不可少，递推基础不可少，归纳假设要用到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。作业：96页 A组 2 B组1，2