立体几何的向量解法课件.ppt

1、专题立几问题的向量解法高考复习建议高考复习建议 传统的立几问题是用立几的公理和定理通过从“形”到“式”的逻辑推理，解决线与线、线与面、面与面的位置关系以及几何体的有关问题，常需作辅助线，但有时却不易作出，而空间向量解立几问题则体现了“数”与“形”的结合，通过向量的代数计算解决问题，无须添加辅助线。 用空间向量解立几问题，其基本思路是选择向量的基底或建立空间直角坐标系，分析已知向量和需要求解向量的差异，运用向量代数的运算或坐标运算，依据有关的定理或法则，从已知向求解转化。用空间向量解决的立体几何问题主要有 平行或共面问题 垂直问题 空间角问题 空间距离问题用向量处理平行问题用向量处理平行问题 空

2、间图形的平行关系包括直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行，它们都可以用向量方法来研究。 （1）设a、b是两条不重合的直线，它们的方向向量分为 ，ba、那么 （2）平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行。（3）直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直。或直线a平行平面表示以 为方向向量的直线与平面平行或在平面内，因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。aa)0,(kRkbkabab附：附：1、共线向量定理：非零向量 与向量 共线的充要条件是存在唯一确定的实数，使2、共面向量定理：不共线的向量 、 与向量 共面的充要条件是存在唯一确定的实数x、y，使babaabpby

3、axp3、向量基本定理：已知不共面的向量 、 和 ，则空间任一向量 可以表示为 、 、 的线性组合，即存在一组唯一确定的实数x、y、z，使abcpabcczbyaxplB1A1ABCDC1 例1、（1994全国）已知ABCA1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，求证 AB1平面DBC1例2、（2004天津）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。（1 证明PA平面EDB（2）证明PB平面EFD（3）求二面角CPBD的大小。注：证明线面平行问题可以有以下三种办法（1 利用线线平行证明线面平行;（2） 与 、共面（直线a、

4、b）证明线面平行；（3） （ 为平面的法向量）paba, 0nanDCABFEP例3、已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC,A1AB=A1AC，求证：A1ABCBA1B1ACC1OD1FA1B1ACDBC1例4、如图，正方体的棱长为a, F是CC1的中点，D是下底面的中心，求证：A1O平面BDF例5、（2003北京春）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为22 ，侧棱长为4，E、F分别是棱AB、BC的中点, EF与BD交与G求证：平面B1EF平面BDD1B1B1A1D1ACBC1EFDGMBBB1CABA1D1C1B1EFMD 例6、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1

5、C1D1中，E、F分别是棱AB、BC的中点，试在棱BB1上找出一点M，当的值为多少时，能使D1M垂直平面B1EF? 请给出证明。 用向量计算空间的角用向量计算空间的角/bb/a, aab1、异面直线所成角的定义 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线 ， 我们把直线 和 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。2,0异面直线所成角的范围是 。2直线和平面所成角的定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个 平面所成的角；特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0角。由定义知，直线与平面

6、所成的角0， 2二面角的范围是0，3二面角的大小：二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。 求异面直线所成角的公式： 其中 是异面直线 上的方向向量。 ba ,ba,求线面角大小的公式： nOAnOAnOA,cossin其中 是平面的法向量。 n求二面角大小的公式： 21,coscosnn或其中 分别是二面角的两个半平面的法向量。 21,nn用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线面角、 二面 角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中的重要地位，更 体现了“借数言形”的数学思想。 注意建立坐标系后各个点的坐标要写对，计算要准确。 cosc

7、os, a b 21,coscosnn例例1 1：如右图，直三棱柱：如右图，直三棱柱A1B1C1ABC中，中，BCA=90，点，点D1、F1 分别是分别是A1B1、A1C1的中点，若的中点，若BC=CA=CC1，求，求BD1与与AF1所所 成的角的余弦值成的角的余弦值A1C1F1B1D1ABC解： 如图建立空间直角坐标系，取BC=CA=CC1=1 xyz则B（1,0,0)A（0，1，0）；11111(,1) ;(0,1)222DF1BD 11(,1) ;221(0,1) ;2AF 11coscos,BDAF 1030例例 题题 所以直线BD1与AF1所成的角的余弦值1030注：注： cosco

8、s, a b 由向量知识知两条异面直线所成的角，与这两条直线的两个方向向量的夹角有如下关系（其中 分别是直线 上的向量）,abba,baba例例2：已知：如图，在长方体：已知：如图，在长方体AC1中，棱中，棱AB=BC=3，棱，棱BB1=4，点，点E是是 CC1的中点的中点 。 求：求：ED与平面与平面A1B1C所成角的大小所成角的大小 B1BA1D1C1CDEA解：如图，建立空间直角坐标系， xyz由题意知： 11BA=（3，0，0）； 1( 0 , 3 ,4 )B C A （0，0，0）；B （3，0，0）；C （3，3，0）；D （0，3，0）；B1（3，0，4）；A1（0，0，4）；E

9、 （3，3，2）。 设平面A1B1C的法向量为 =（x，y，z）则 n zyxzyxCBnBAn4300430300111令z=3，则 =（0，4，3）， n 又因为 =（3，0，2）；DE即 ED与平面A1B1C所成角的大小为arcsin 65136 =arcsin 65136n 注：如图，设平面的法向量为 ， 直线AO与平面所成的角为 ；oAn nOAnOAnOA,coscossin则CB1BA1D1C1DEAxyz设DE与面A1B1C所成角为 ，则 65136nDEnDESin =|cos|= ,DE n 解：如图，建立空间直角坐标系， xyz 由例2知面A1B1C的法向量为 =（0，4

10、，3） 1n下面我们来求面A1 C1C的法向量 2n设 =（x，y，z）， 2n由于 =（3，3，0）, 11CA0012112CCnCAn于是04033zyx0zyx令y=1，则x=1，2n =（1，1，0） 212121,cosnnnnnn于是522254又所求二面角为的补角， 21,nn故二面角B1A1CC1的大小为arccos 522B1BA1D1C1CDEA例例3：在例：在例2中，长方体中，长方体AC1的棱的棱AB=BC=3，BB1=4，点点E是是CC1的中点的中点 。 求求: :二面角二面角B1A1CC1的大小。的大小。 =（0，0，4） 1CC如例3中，易见 是面A1C1C的法向

11、量； 11DB注意：在求平面法向量过程中，若根据已知条件 很容易找出平面的法向量时，就无需列方 程组求了。 xyzB1BA1D1C1CDEAcos =21,nn2121nnnn如图1中，cos=图2中, cos= cos =21,nn2121nnnn评注：评注：用向量法求二面角的大小： l,设平面 的法向量分别是,21nn则求二面角 的大小可以转化为求,21nn的夹角或其补角。图12n1nl图22n1nl练 习：如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC， AOC=90，SO面面OABC，且，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求：。求： OS与面与面SAB所成角所成角

12、二面角二面角BASO的大小的大小 异面直线异面直线SA和和OB所成的角所成的角则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）； O（0，0，0）；020zxyx令x=1，则y=1，z=2；从而)2 , 1 , 1 (n36612,cossinnOSnOSnOS36arcsin设面SAB的法向量),(zyxn SAnABn,显然有OABCSxyzOBSAOBSAOBSA,cos.510252所以直线SA与OB所成角大小为510arccos.由知面SAB的法向量 =（1，1，2） 1n又OC面AOS，OC 是面AOS的法向量，令)0 , 1 , 0(2OCn则有61,cos212121nnnnnn由于所求二面角的大小等于21,nn66arccos二面角BASO的大小为OABCSxyz2019POWERPOINTSUCCESS2022-5-292019THANK YOUSUCCESS2022-5-29