线性代数PPT课件：矩阵-第2节-矩阵的运算及性质.ppt

1、652413fedcba与与 例如例如 m = p 且且 n = q , 则称这两个矩阵为则称这两个矩阵为 设设 A, B, C 为同型矩阵为同型矩阵, 则则 (1) A + B = B + A ( ) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (); (3) A + O = O + A = A, (4) A + ( -A ) = O .其中其中 O 是与是与 A 同型矩阵同型矩阵; 设设,A730152,B935423.3459C (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求并求其和其和, 哪些不能进行加法运算哪些不能进行加法运算

2、, 说明原因说明原因; (2) 求求 C 的负矩阵的负矩阵.mnmmnnnmijkakakakakakakakakaka212222111211）（ 设设 A, B 为同型矩阵为同型矩阵, k, l 为常数，则为常数，则(1) 1A = A;(2) k(lA) = (kl) A;(3) k(A + B) = kA + kB;(4) (k + l)A = kA + lA. 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的. 设设,B,A22121203且且 B,XA 32求矩阵求矩阵 X . pkkjik,ba1 可用以下示意图帮助我们记忆矩阵的乘法：可用以下示意图帮

3、助我们记忆矩阵的乘法：C 利用下列模型计算两个矩阵的乘积利用下列模型计算两个矩阵的乘积.矩阵乘积模型之矩阵乘积模型之矩阵乘积模型之矩阵乘积模型之: : A A2 2 3 3 B B3 3 3 3双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程矩阵乘积模型之矩阵乘积模型之矩阵乘积模型之矩阵乘积模型之: : A A3 3 3 3 B B3 3 3 3 双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素

4、的计算过程双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程矩矩阵阵乘乘法法模模型型之之矩矩阵阵乘乘法法模模型型之之：A A2 2 2 2 B B2 2 2 2 单单击击乘乘积积矩矩阵阵的的某某一一元元素素，可可得得该该元元素素的的计计算算过过程程单单击击乘乘积积矩矩阵阵的的某某一一元元素素，可可得得该该元元素素的的计计算算过过程程 利用下列模型验证单位矩阵的性质利用下列模型验证单位矩阵的性质.单单位位矩矩阵阵的的性性质质单单位位矩矩阵阵的的性性质质: : E E3 3 3 3 A A3 3 3 3 双双击击乘乘积积矩矩阵阵的的某某一一元元素素，可可得得该该元元素素的的计计算算过过程程双双击击乘乘积

5、积矩矩阵阵的的某某一一元元素素，可可得得该该元元素素的的计计算算过过程程单单位位矩矩阵阵的的性性质质单单位位矩矩阵阵的的性性质质: : A A2 2 3 3 E E3 3 3 3双双击击乘乘积积矩矩阵阵的的某某一一元元素素，可可得得该该元元素素的的计计算算过过程程双双击击乘乘积积矩矩阵阵的的某某一一元元素素，可可得得该该元元素素的的计计算算过过程程,431102311014,20121301BA 已知已知求求 AB. 求矩阵求矩阵63422142B,A的乘积的乘积 AB 及及 BA.矩阵乘法模型之矩阵乘法模型之矩阵乘法模型之矩阵乘法模型之：A A2 2 2 2 B B2 2 2 2 单击乘积矩

6、阵的某一元素，可得该元素的计算过程单击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程单击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程单击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程 (1) OkmAmp=Okp , AmpOpn=Omn ; (2) 设设 A 是是 m n 矩阵矩阵, Em 是是 m 阶的单位矩阶的单位矩 (5) k(AB) = (kA)B = A(kB). (B + C)A = BA + CA;(3) (AB)C = A(BC);(4) A(B + C) = AB + AC, EmA = A, AEn = A ;阵阵, En 是是 n 阶的单位矩阵阶的单位矩阵, 则则关于矩阵的乘法运算关于

7、矩阵的乘法运算, 需要注意以下几点需要注意以下几点: 左乘左乘 B”或或“B 右乘右乘 A”.作乘法时作乘法时,应指明它们相乘的次序应指明它们相乘的次序. 如如 AB 读作读作“A中中AB和和BA 虽然都有定义虽然都有定义, 但但 AB BA.所以所以, 在在使使AB与与BA 都有定义都有定义, 它们也不一定相等它们也不一定相等. 的矩阵的矩阵A 和和 B , AB 有定义有定义, 但但 BA 就没有定义就没有定义. 即即 AB 有定义有定义, BA不一定有定义不一定有定义.中中如如如如 ,OB,CBABC,B,A1122540211113211但但 A C .例如例如 例如例如 本节本节中中

8、 A 0, B 0, 但但 BA = 0. 如果如果 A 是是 n 阶矩阵阶矩阵, 那么那么, AA 有意义有意义, AmAAA个也有意义也有意义, 因此有下述定义因此有下述定义:. AmmAAAA个另外还规定，另外还规定， 0 = E. 设设 A 为方阵为方阵, k, l 为正整数为正整数, 则则阶方阵阶方阵 A 与与 B , 一般来说一般来说 (AB)k AkBk .又因矩阵乘法一般不满足交换律又因矩阵乘法一般不满足交换律, 所以对于两个所以对于两个 n AkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl . 设设,1021A计算计算 An . 设设,11A计算计算 A2, A3, An

9、(n3).万成建筑公司承包一住万成建筑公司承包一住宅小区的宅小区的6栋栋A类住房、类住房、5栋栋B类住房、类住房、3栋栋C类住房类住房的基建任务，各类住房每栋所需的主要原材料及其的基建任务，各类住房每栋所需的主要原材料及其单价如表单价如表2.2所示所示表表2.2原材料原材料数量数量类别类别钢筋钢筋(吨吨) 水泥水泥(吨吨)石子石子(吨吨)黄沙黄沙(吨吨)ABC单价单价(元元)80951102 5003303904603501 4801 7802 080257809301 09020利用矩阵计算：利用矩阵计算：（1）完成这些基建任务所需各种主要原材）完成这些基建任务所需各种主要原材料的数量；料的

10、数量；（2）购买这些原材料共需支付多少款项？）购买这些原材料共需支付多少款项？.08122351TA 例如矩阵例如矩阵01258231A的转置矩阵为的转置矩阵为矩阵的转置模型矩阵的转置模型矩阵的转置模型矩阵的转置模型A = 设设 A，B，C，A1，A2，Ak 是矩阵，且是矩阵，且 (A1A2Ak)T = AkTA2TA1T ;(1) (AT)T = A ;(2) (B + C)T = BT + CT ;(3) (kA)T = kAT;(4) (AB)T = BTAT ; 则则它们的行数与列数使相应的运算有定义，它们的行数与列数使相应的运算有定义， k 是数，是数，,B,A102324171231102 已知已知求求 (AB)T . 设设 ,B,A42533221验证验证 det(AB) = det A det B. 设设 ,B,A300560371500430432求求 det(AB) ; det(A+B) ; det A + det B; det(3A) . 设设 A 是是 n 阶方阵，且满足阶方阵，且满足 AAT = E，det A = -1，证明，证明 det(E+A) = 0