1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.2 函数的单调性与最值 知识梳理 1函数的单调性 (1)单调函数的定义 =【 ;精品教育资源文库 】 = =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)函数单调性的三种等价形式 设任意 x1， x2 a， b且 x10?f(x)在 a， b上是减函数 f?x1? f?x2?x1 x20?f(x)在 a， b上是增函数； f?x1? f?x2?x1 x20?f(x)在 a， b上是增函数； (x1 x2)f(x1) f(x2)0?(x1 x2)f(x1) f(x2)0.( ) (3)函数 y f(x)在 0， ) 上为增函数，则函数 y f(x)的增区间为 0，
2、) ( ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A1P39B 组 T3)下列函数中，在区间 ( ， 0)上是减函数的是 ( ) A y 2x B y log12x C y x 1 D y x3 答案 C 解析 函数 y 2x在区间 ( ， 0)上是增函数； =【 ;精品教育资源文库 】 = 函数 y log12x 在区间 ( ， 0)上无意义； 函数 y x 1在区间 ( ， 0)上是减函数； 函数 y x3在区间 ( ， 0)上是增函数故选 C. (2)(必修 A1P45B 组 T4)已知函数 f(x)
3、? x2 ax 5?x1 ?，ax?x1?是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是 ( ) A 3 a1?是 R 上的增函数，设 g(x) x2 ax 5(x1) ， h(x) ax(x1)， 由分段函数的性质可知，函数 g(x) x2 ax 5 在 ( ， 1单调递增，函数 h(x) ax在 (1， ) 单调递增，且 g(1) h(1)， ? a21 ，a0 得 x2.令 u x2 4，易知 u x2 4 在 ( ， 2)上为减函数，在 (2， ) 上为增函数， y log12u 为减函数，故 f(x)的单调递增区间为 ( ， 2)故选 D. (2)(2017 保定期末 )直角梯形 OABC
4、 中 AB OC， AB 1， OC BC 2，直线 l： x t 截该梯形所得位于 l 左边图形面积为 S，则函数 S f(t)的图象大致为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 解析 由题意可知：当 00. (1)若 2f(1) f( 1)，求 a 的值； (2)证明：当 a1 时，函数 f(x)在区间 0， ) 上为单调减函数 本题用定义法 解 (1)由 2f(1) f( 1)， 可得 2 2 2a 2 a，得 a 23 . (2)证明：任取 x1， x2 0， ) ，且 x10， f(x)在 0， ) 上单调递减 方法技巧 确定函数单调性 (区间 )的常用方法 1定义法：
5、本例采用了定义法一般步骤为设元 作差 变形 判断符号 得出结论其关键是作差变形见典例 2图象法：如冲关针对训练 1. 3导数法：本例也可采用求导法利用导数取值的正负确定函数的单调性见冲 关针对训练 2. 冲关针对训练 1已知函数 f(x)? x2 4x， x0 ，4x x2， xf(a)，则实数 a的取值范围是 ( ) A ( ， 1) (2， ) B ( 1,2) C ( 2,1) D ( ， 2) (1， ) 答案 C 解析 依题意知 f(x)在 R 上是增函数，由 f(2 a2)f(a)，得 2 a2a，解得 20)在 (0， ) 上的单调性 解 f(x) x ax(a0)， f( x)
6、 1 ax2 x2 ax2 ?x a?x a?x2 ， 令 f( x) 0，计算得出 x a， 当 f( x)0，即 x a时， f(x)单调递增， 当 f( x)0，得 x4 或 x0. y 1 1x x 1x .由 y 0 解得 x 1. 列表如下： 由上表可知，函数的单调递增区间为 (1， ) ，单调递减区间为 (0,1) 条件探究 若本典例变为 f(x) ax ln x研究单调区间时，应注意什么问题？ 解 由于参数 a 范围未定，所以要对 a 进行分类讨论 =【 ;精品教育资源文库 】 = f(x) ax ln x 的定义域为 (0， ) ， f( x) a 1x ax 1x ， 当
7、a0 时， f( x)0， 故函数 f(x)的单调递增区间为 (0， ) ； 当 a0， x ? ? 1a， 时， f( x)x11 时， f(x2) f(x1)( x2 x1)ab B cba C acb D bac 本题利用对称性转化到同一单调区间，再用单调性比较大小 答案 D 解析 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x 1 对称，且在 (1， ) 上是减函数，所以 a f? ? 12 f? ?52 ，故 bac.故选 D. 角度 2 利用函数的单调性解不等式 典例 f(x)是定义在 (0， ) 上的单调增函数，满足 f(xy) f(x) f(y)， f(3) 1，当 f(x) f(x 8)2 时， x 的取值范围是 ( ) A (8， ) B (8,9 C 8,9 D (0,8)
