第二章正投影的基本原理课件.ppt

1、2.1 投影法的基本知识投影法的基本知识 2.1.1 投影法的概念 在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。我们把光线称为投射线(或叫投影线)，地面或墙壁称为投影面，影子称为物体在投影面上的投影 SP投影面aA投影线投影中心2.1.2 投影法的种类及应用 2.1.2.1 中心投影法投影中心距离投影面在有限远的地方，投影时投影线汇交于投影中心的投影法 PaBcbACS2.1.2.2平行投影法 投影中心距离投影面在无限远的地方，投影时投影线相互平行的投影法 1、斜投影法投影线与投影面相倾斜的平行投影法 2、正投影法投影线与投影面相垂直的平行投

2、影法 BcbPaA射射90向方acb向方B投CA投CP2.三视图的形成与投影规律 在机械制图中，通常假设人的视线为一组平行的，且垂至于投影面的投影线，这样在投影面上所得到的正投影称为视图 ，一个视图不能确定物体的形状 。投面影.2.1 三投影面体系与三视图的形成 2.2.1.1三投影面体系的建立 三投影面体系由三个互相垂直的投影面所组成 正立投影面：简称为正面，用V表示；水平投影面：简称为水平面，用H表示；侧立投影面：简称为侧面，用W表示。三个投影面的相互交线，称为投影轴。它们分别是：OX轴：是V面和H面的交线，它代表长度方向；OY轴：是H面和W面的交线，它代表宽度方向；OZ轴：是V面和W面的

3、交线，它代表高度方向；三个投影轴垂直相交的交点O，称为原点 。Y YZ Z正立投影面影面投侧立水平投影面WHO OVX X2.2.1.三视图的形成与展开：将物体放在三投影面体系中，物体的位置处在人与投影面之间，然后将物体对各个投影面进行投影，得到三个视图主视图主视图俯视图俯视图左视图左视图XYWYHZO 用正投影法绘制的物体的投影图称为视图。V长长高高宽宽宽宽上上上上下下下下左左左左右右右右前前前前后后后后主、俯视图主、俯视图 长对正长对正主、左视图主、左视图 高平齐高平齐俯、左视图俯、左视图 宽相等宽相等2.2.2 三视图的投影规律与位置关系2.3 点的投影 2.3.1 点的投影及其标记 当

4、投影面和投影方向确定时，空间一点只有唯一的一个投影。假设空间有一点A，过点A分别向H面、V面和W面作垂线，得到三个垂足a、a、a，便是点A在三个投影面上的投影 aa(x,y)aXAHYXaXaYHOWYXZVZaZXZWVaYHYHOYWaYWZaaZWXYaaa(x,z)(y,z)2.3.2 点的三面投影规律2.3.2.1点的投影与点的空间位置的关系 A a = aa x = aa y (即aaYW)，反映空间点A到H面的距离；A a =a a x = aa z ，反映空间点A到V面的距离；A a = aa z = a a y (即aYH)，反映空间点A到W面的距离；2.3.2.2点的三面投

5、影规律 点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，即aaOX； 点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴，即aaOZ； 点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a 到OZ轴的距离，即a a x = aa z 。 例题2-1：已知点A的 正面投影a 和侧面投影a求作其水平投影a aXOXZOZYHYWYHYWaYWaaXaYHaaaaZaZ2.3.3点的三面投影与直角坐标 点A到W面的距离 = Oa x = aa z = a aYH = x坐标，a (0，y，z) 点A到V面的距离 = OaYH = a a x = aaz = y坐标，a (x，0，z) 点A到H面的距离 = Oa z = a a

6、 x = aaYW = z坐标，a (x，y，0) 例题2-2：已知点A的坐标（20，10，18），作出点的三面投影，并画出其立体图 YHXOYHYWXOZZYHaXYWOYWZaYHaYWaZaXaXaXaaaaX=20Y=10Z =18Y=10画出立体图2.3.4 特殊位置点的投影 2.3.4.1 在投影面上的点（有一个坐标为0） 有两个投影在投影轴上，另一个投影和其空间点本身重合。 例如:在V面上的点A 2.3.4.2 在投影轴上的点（有两个坐标为0） 有一个投影在原点上，另两个投影和其空间点本身重合。例如在OZ轴上的点A 2.3.4.2在原点上的空间点（有三个坐标都为0），因此，它的三

7、个投影必定都在原点上 2.3.5 两点的相对位置 2.3.5.1 两点的相对位置：空间两点的相对位置，在投影图中是由它们同面投影的坐标差来判别。 其中左、右由x坐标判别，前、后由y坐标判别，上、下由z坐标判别 （1）距W面远者在左（x坐标大）；近者在左（x坐标小）；（2）距V面远者在前（y坐标大）；近者在后（y坐标小）；（3）距H面远者在左（z坐标大）；近者在左（z坐标小）。 已知空间两点的投影，即点A的三个投影a、a 、a 和点B的三个投影b、b 、b，用A、B两点同面投影坐标差就可判别A、B两点的相对位置。 由于xA xB，表示B点在A点的右方；zB zA，表示B点在A点的上方；yA yB

8、，表示B点在点的A后方。总起来说，就是B点在A点的右、后、上方。 2.3.5.1重影点 若空间两点在某一投影面上的投影重合，则这两点是该投影面的重影点。这时，空间两点的某两坐标相同，并在同一投射线上。当两点的投影重合时，就需要判别其可见性，应注意：对H面的重影点，从上向下观察，z坐标值大者可见；对W面的重影点，从左向右观察，x坐标值大者可见；对V面的重影点，从前向后观察，y坐标值大者可见。在投影图上不可见的投影加括号表示，如（a） 如：C、D位于垂直H面的投射线上，c、d重影为一点，则C、D为对H面的重影点，z坐标值大者为可见，图中zC zD，故c为可见，d为不可见，用c（d）表示。 2.4

9、直线的投影直线的投影 2.4.1 直线的投影图 空间一直线的投影可由直线上的两点（通常取线段两个端点）的同面投影来确定。如:直线AB的三面投影图，可分别作出A、B两端点的投影（a、a、a）、（b、b、b），然后将其同面投影连接起来即得直线AB的三面投影图（a b、a b 、ab） OXaaHbAYXVBWZOOabXbZZYHYHYWYWbbbbbbaaaaaa2.4.2 直线对于一个投影面的投影特性 空间直线相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三 种位置有不同的投影特性。1、真实性:当直线与投影面平行时,则直线的投影为实长。2、积聚性:当直线与投影面垂直时,则直线的投影积聚为一点。

10、3、收缩性:当直线与投影面倾斜时,则直线的投影小于直线的实长。HaAa(b)baBBAAbB2.4.3 各种位置直线的投影特性 直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直线三类 2.4.3.1投影面平行线 平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。斜线反映实长；直线的倾角、。BWOXbHaYZVAabab 例题23 如图，已知空间点A，试作线段AB，长度为15，并使其平行V面，与H面倾角30OOaXaXb15.00ZZ30YWY

11、WYHYHaaaabb2.4.3.2 投影面垂直线 垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面的直线。 垂直于V面的称为正垂线； 垂直于H面的称为铅垂线； 垂直于W面的称为侧垂线。侧垂线的投影特性：（1）两个投影反映实长；（2）一个投影积聚为一点。 OeXkZYWYHeke（ k ） 例题24 如图，已知正垂线AB的点A的投影，直线AB长度为10毫米，试作直线AB的三面投影 OOaXXaZZb（ YWYWYHYHaaaabb）2.4.3.2 一般位置直线 与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线,投影特征 : （1）直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对

12、相应投影面的倾角；（2）任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。 OaHXAbaYXbOWZVBZbbbbaaYWYHaa2.4.4 一般位置直线的实长和对投影面的倾角 2.4.4.1直角三角形法的作图原理 AB为一般位置直线，过端点A作直线平行其水平投影ab并交Bb于C，得直角三角形ABC。在直角三角形ABC中，斜边AB就是线段本身，底边AC等于线段AB的水平投影ab，对边BC等于线段AB的两端点到H面的距离差（Z坐标差），也即等于a b 两端点到投影轴OX的距离差，而AB与底边AC的夹角即为线段AB对H面的倾角。 ZHaZAbOZBbaA VCB2.4.4.2直角三角形法的作图方法

13、和步骤 用一般位置直线在某一投影面上的投影作为直角三角形的底边，用直线的两端点到该投影面的距离差为另一直角边，作出一直角三角形。此直角三角形的斜边就是空间线段的真实长度，而斜边与底边的夹角就是空间线段对该投影面的倾角。 WYOXHb实长Yzaa实长ba实长Zyxb 例题25 如图，已知直线AB的实长L =15mm，及直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a ，试用直角三角形法求出直线AB的正面投影a b。 作图方法与步骤: 1、在H面中，自a点作直线垂直于ab，以b点为圆心，以直线AB的实长L为半径作弧与ab的垂线交于A0，连bA0得直角三角形abA0，该直角三角形中的直角边aA0即为A、B两

14、点距H面的距离差。 ALabXaaAOBbXOab2ObOb12、过b作垂直OX轴的投影连线 ；过a 作OX轴的平行线，两线相交于b0。由b0可向上或向下量取b0 b1或b0 b2，使之都等于aA0，得到b1 、b2 两点。3、连a b1/ 和a b2 ，则a b1 和a b2 均可为直线AB的正面投影，表明该题有两个解。 ALabXaaAOBbXOab2ObOb12.4.5 直线上点的投影 2.4.5.1直线上点的投影 点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上。 bBCaHXcAabVcaOaOaaYXYHbWYbW

15、cbbZccc2.4.5.2直线投影的定比性 点C在线段AB上，它把线段AB分成AC和CB两段。根据直线投影的定比性，AC：CB = ac：cb = a c：c b = ac：cb 。例题26 如图，已知侧平线AB的两投影和直线上K点的正面投影k，求K点的水平投影k 。XaOXaOaYOXbbba0KBk0kaaYHWkbbbkkbkaZ （a）题目 （b） 解法1 （c）解法2 2.4.6 两直线的相对位置两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。 2.4.6.1 两直线平行1、特性:若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。如图由于ABCD，则必定abcd、 a bc d、abc

16、d 。反之，若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间也必定互相平行。 XOXHabdcAacCDdBbVOabcddacb2、判定两直线是否平行 如果两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定。 当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。 WYXhgfeHYOhgefgehfZ 2.4.6.2两直线相交 1、特性：若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。如图两直线AB、CD相交于K点，因为K点是两直线的共有点，则此两直线的各组同面投影的交点 k、 k、k 必定是空间交点

17、K的投影。 cbbAOXaHdkcbakdckcBaCKDdVbcaXkOdZbaWYkdYH2、判定两直线是否相交 如果两直线均为一般位置线时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影规律即可判定。 当两直线中有一条直线为投影面平行线时，则需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定；或者根据直线投影的定比性进行判断。 XOXYWa0adDbK0acYHdbcabdkaccdOcbdbZa2.4.6.3 两直线交叉 两直线既不平行又不相交，称为交叉两直线。 1、特性：若空间两直线交叉，则它们的各组同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影

18、虽然相交，但其交点不符合点的投影规律。 ae(f)acdb f eX c dO b2、判定空间交叉两直线的相对位置 空间交叉两直线的投影的交点，实际上是空间两点的投影重合点。利用重影点和可见性，可以很方便地判别两直线在空间的位置。 clm(n)kabd cX mk n a dO b(l )2.4.7 直角投影定理 概念：空间垂直相交的两直线，若其中的一直线平行于某投影面时，则在该投影面的投影仍为直角。反之，若相交两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必互相垂直。这就是直角投影定理。 如图已知ABBC，且AB为正平线，所以ab必垂直于bc 。 bcacb

19、XCcVBOAXcaabObaH例27 求点A到直线BC的距离， 如图 cbcbXaab0kackOXbacOa（a）题目 （b）解法 例28 如图已知菱形ABCD的一条对角线AC为一正平线，菱形的一边AB位于直线AM上，求该菱形的投影图。 amcambkcX aOm aXdcdmbkOc（a）题目 （b）解法 2.5 平面的投影平面的投影 2.5.1平面的表示法 2.5.1.1一组几何元素的投影表示平面1、不在同一直线上的三点，图（a）2、一直线和直线外一点，图（b）3、相交两直线，图（c）4、平行两直线，图（d）5、任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等，图（e）cbXOXcbaabbbX

20、OXOcaacOXOdacaaaaabbbbbcccccd （a） （b） （c） （d） （e） 2.5.1.2迹线表示法 迹线空间平面与投影面的交线平面P与H面的交线称为水平迹线，用PH表示；平面P与V面的交线称为正面迹线，用PV表示；平面P与W面的交线称为侧面迹线，用PW表示。 PH 、PV 、PW两两相交的交点Px 、PY 、PZ称为迹线集合点 ZHXVYYPwPZPVPXPW 迹线既是平面内的直线，又是投影面内的直线，所以迹线的一个投影与其本身重合，另两个投影与相应的投影轴重合。在用迹线表示平面时，只画出并标注与迹线本身重合的投影，而省略与投影轴重合的迹线投影 OXZPZPVPXPW

21、PYHPYWYHYW2.5.2平面对于一个投影面的投影特性 1、真实性 当平面与投影面平行时，则平面的投影为实形，图（a）。2、积聚性 当平面与投影面垂直时，则平面的投影积聚成一条直线，图（b）3、类似性 当直线或平面与投影面倾斜时，则平面的投影是小于平面实形的类似形，图（c）。EeHcCdEDcdCDeecCdDE（a） （b） （c） 2.5.3 各种位置平面的投影特性 1、投影面垂直面：垂直于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的平面。 垂直于V面的称为正垂面； 垂直于H面的称为铅垂面； 垂直于W面的称为侧垂面。 平面与投影面所夹的角度称为： 平面对投影面的倾角。铅垂面的投影特性（1）两

22、个投影均为类似形； （2）一个投影积聚为直线， 并反映、角 OXZ(h)eg（）ffge fehghYWYH例题29 如图，四边形ABCD垂直于V面，已知H面的投影abcd及B点的V面投影b，且于H面的倾角= 45，求作该平面的V面和W面投影。XOOXOXbabbccaddcad45ZZZYWYWYWYHYHYHbbbddccaacdba（a）题目 （b）解答 2、投影面平行面：平行于一个投影面且同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。 平行于V面的称为正平面 平行于H面的称为水平面 平行于W面的称为侧平面 特性：（1）两个投影积聚为直线； （2）一个投影反映实形。 OXZh（）ek

23、(n)YWYHekhnhe ）n（ （ k ）3、一般位置平面：与三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。 投影特征可归纳为：一般位置平面的三面投影，既不反映实形，也无积聚性，而都为类似形。aXbOZb bcccaaYWYH2.5.3 平面上的直线和点 1、平面上的点 ：点在平面内的一直线上，则该点必在平面上。在平面上取点，必须先在平面上取一直线，然后再在该直线上取点。如图242所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，点S取自直线AB，所以点S必在平面P上。kbCPacKABXcObak2、平面上的直线 （1）若一直线通过平面上的两个点，则此直线必定在该平面上。（2）若一直线通过平面上

24、的一点并平行于平面上的另一直线，则此直线必定在该平面上。例：如图，相交两直线AB、AC确定一平面P，分别在直线AB、AC上取点E、F，连接EF，则直线EF为平面P上的直线。eCfPabcAFBE XObcaef（a） （b） 例2-9：如图，相交两直线AB、AC确定一平面P，在直线AC上取点E，过点E作直线MNAB，则直线MN为平面P上的直线。 CMnemPacANEBXbOemnbac （a） （b） 例210 如图，试判断点K和点M是否属于ABC所确定的平面。 ebaaabmkcdbmceXOXOXdkcObbbaaacccmmdkk（a）题目 （b）解答 3、平面上的投影面平行线 ： 属

25、于平面且又平行于一个投影面的直线称为平面上的投影面平行线。 平面上的投影面平行线一方面要符合平行线的投影特性，另一方面又要符合直线在平面上的条件。 OXbedacbdcae过A点在平面内要作一水平线AD，可过a 作a d OX轴，再求出它的水平投影ad，a d 和ad即为ABC上一水平线AD的两面投影。如过C点在平面内要作一正平线CE，可过c作c eOX轴，再求出它的正面投影c e，c e 和ce即为ABC上一正平线CE的两面投影。 例211 ABC平面如图（a）所示，要求在ABC平面上取一点K ，使K点在A点之下15mm ，在A点之前10mm ，试求出K点的两面投影。 aabbcmekcnf

26、XOXOabbcckmefan（a）题目 （b）解答 2.6 换面法换面法 2.6.1 换面法的概念 概念：空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。例2-12：如图所示为一处于铅垂位置的三角形平面在VH体系中不反映实形，现作一个与H面垂直的新投影面V1平行于三角形平面，组成新的投影面体系V1H，再将三角形平面向V1 面进行投影，这时三角形平面在V1面上的投影就反映该平面的实形。V1HXVX12.6.2点的投影变换 1、新投影面的选择 新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：（1）新投影面必须垂

27、直于原投影面体系中的一个不变的投影面。 （2）新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。2、点的一次换面 根据选择新投影面的条件可知，每次只能变换一个投影面。变换一个投影面即能达到解题要求的称为一次换面。 （1）变换V面，即VHV1H 如图，a、a 为点A在VH 体系中的投影，在适当的位置设一个新投影面V1代替V，必须使V1H，从而组成了新的投影体系V1H。 V1与H 的交线 X1为新的投影轴。由A 向V1作垂线得到新投影面上的投影a1 ，而水平投影仍为a HX1AXaVV1V1X1HHVXaaaaXaXaX1aX1a11aa1（2）变换H面，即VHVH1 用H1代替H组成新投影面体系V

28、H1，由于V面不变，所以点到V面的距离不变。即a1a x1 = aa x = y坐标。 HXaAVH1VHXaHX1VX1H1a1a1a1aXaXaaaX1aX13、点的二次换面 点的二次变换的原理和方法与第一次变换基本相同，只是将作图过程重复一次，但要注意新、旧体系中坐标的量取，作图方法： X2XaHAVH2X1V1X1HaH2V1HVXV1X1XaXaaX2aX2aX1aX1a2a2aaa1a12.6.3直线的投影变换 1、直线的一次换面 （1）将一般位置线变换为投影面平行线当一般位置线变换为投影面平行线时，就可以求出线段的实长和对投影面的倾角。例2-12：如图，AB为一般位置线，如要变换

29、为正平线，则必须变换V面，使新投影面V1面平行AB，这样AB在V1面上的投影a1 b1 将反映AB的实长，a1 b1 与X1轴的夹角反映直线对H面的倾角。XHaAVabBX1V1VHXHV1bX1aabbbbX1bX1bXbXaXaXaX1aX1a11a1b1（2）将投影面平行线变换为投影面垂直线例2-13：如图，将正平线AB变换为垂直线。根据投影面垂直线的投影特性，反映实长的投影必定为不变投影，只要变换水平投影面，即作新投影面H1面垂直AB，这样AB在H1面上的投影重影为一点 。 XbHaBAVH1X1H1abVXHVX1（ ）aabbbXbXaXaXa1b1b1a1（ ）bX1aX1aX1

30、bX1 如果要求将水平线AB变换为垂直线，只要变换正投影面，即作新投影面V1面垂直AB，这样AB在V1面上的投影重影为一点，如图 XVbHaBAX1V1aXHVbV1HX1aabbaXaXbXbXbX1bX1aX1aX1a（ ）b11（ ）ba112、直线的二次换面 直线的二次换面可以将一般位置线变换为投影面垂直线。 第一次将一般位置线变换为投影面平行线， 第二次将投影面平行线变换为投影面垂直线。 例2-14：如图，AB为一般位置线，如先变换V面，使V1面平行AB，则AB在V1H体系中为投影面平行线，再变换H面，作H2面垂直AB，则AB在V1H2体系中为投影面垂直线。 XbVBX2aHX1V1

31、AV1aHX1V1XVHbH2V1（ ）X2a2b2a2（ ）b2aX2bX2aX2bX2bX1bX1aX1aX1bbbaaabXbXaXaX11a1b12.6.4平面的投影变换 1、平面的一次换面 （1）将一般位置面变换为投影面垂直面 当一般位置面变换为投影面垂直面时，就可以求出平面对投影面的倾角。例2-15：如图，ABC为一般位置面，如要变换为正垂面，则必须取新投影面V1代替V面，V1面既垂直于ABC，又垂直于H面，为此可在三角形上先作一水平线，然后作V1面与该水平线垂直，则它也一定垂直H面。BVXaDAdbXHcCX1HV1X1V1adHcbVb1b1bbccddaaa1a1d1（ ）c

32、1d1（ ）c1 如果要求ABC 对V面的倾角，可在此三角形平面上先作一正平线AE，然后作H1面垂直AE，则ABC在H1面上的投影为一直线，它与X1轴的夹角反映ABC对V面的倾角。 XaHVebVH1X1cc1（ ）a1e1b1bcea（2）将投影面垂直面变换为投影面平行面 例2-16：如图为铅垂面ABC，要求变换为投影面平行面。根据投影面平行面的投影特性，重影为一直线的投影必定为不变投影，因此可以变换V面，使新投影面V1平行ABC，这样ABC在V1面上的投影a1 b1 c1 反映实形。 XVaHbcABV1CX1X1V1HVXHabcbcabbccaa111a1c1b12、平面的二次换面 平

33、面的二次换面可以将一般位置面变换为投影面平行面。第一次将一般位置面变换为投影面垂直面，第二次将投影面垂直面变换为投影面平行面。 22221111c（ ）d（ ）a1d1dcbabaH1aabbccdd1c1b2d2c2b2aX1V2H1X1VbcdaXVHV1X2H2bcX1HV1daXVH例2-17：如图为ABC为一般位置面，为了求出它的实形，必须变换两次，先将ABC变换为垂直面，再变换为平行面。 2.6.5 换面法投影变换应用举例 例题212 求C点到AB直线的距离。作图方法与步骤如图 (b)所示 2b2k2b2a2ck2c2a21a1b1k1cb1k1c1a1kcbacX2V2H1H1V

34、X1V2aHXVBCAKkbH1X2 （a） （b） 例题213 求D点到平面ABC的距离。作图方法与步骤如图(b)。 VHcaAbkBKkaecdH1X1VDbCXb1a1abkcee1c1（ ）k1dd1dH（a） （b） 例题例214 求交叉两直线AB、CD间的距离。作图方法与步骤如图 (b)CcHadKDkHaX1HV1mBdmbV1X2H2MVXAcc2k2b（）a（ ）b2a2m2d2bacmkddakcmb111111（a） （b） 例题215 求两平面ABC 、ABD之间的夹角。作图方法与步骤如图 (b)所示。 dcbHX1V1VXHaH2V1X2（ ）a2b2d2c2cabdadbc1111（a） （b） 本章完本章完