1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 22 讲 正弦定理和余弦定理 解密考纲本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，判断三角形的形状，求三角形的面积等 .三种考查内容均有呈现，一般排在选择题、填空题的中间位置或解答题靠前的位置，题目难度中等偏易 . 一、选择题 1在 ABC 中，三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 a 1， b 3， A 6 ，则 B ( B ) A 3 B 3 或 23 C 6 或 56 D 23 解析 根据正弦定理 asin A bsin B，得 1sin 6 3sin B， sin B 32 ， B 3 或 23 . 2在 ABC 中，若 AB
2、2， AC2 BC2 8，则 ABC 面积的最大值为 ( C ) A 2 B 2 C 3 D 3 解 析 AC2 BC22 AC BC， AC BC4. cos C AC2 BC2 AB22AC BC 42AC BC， cos C 12， 00， cos A 12. 0A ， A 3. (2)在 ABC 中 ， 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 bc. 5b2 a2 2c2， 5b2 b2 c2 bc 2c2， 4b2 bc 3c2 0， 4? ?bc 2 bc 3 0. 解得 bc 1(舍 )或 bc 34， sin Bsin C bc 34. =【 ;精品教育资
3、源文库 】 = 11 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 a b， c 3， cos2A cos2B 3sin Acos A 3sin Bcos B (1)求角 C 的大小； (2)若 sin A 45，求 ABC 的面积 . 解析 (1)由倍角公式，原等式可化为 cos 2A 12 cos 2B 12 32 sin 2A32 sin 2B， 即 sin? ?2B 6 sin? ?2A 6 . a b， A B.又 A， B (0， ) ， 2B 6 2A 6 ，解得 A B 23 ， C (A B) 3. (2)由正弦定理可求得 a 85. ac， AC 3
4、 ， cos A 35. sin B sin (A C) sin(A C) 4 3 310 ， SABC 12acsin B 8 3 1825 . 12 (2016 山东卷 )在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2(tan Atan B) tan Acos B tan Bcos A. (1)证明： a b 2c； (2)求 cos C 的最小值 . 解析 (1)由题意知 2? ?sin Acos A sin Bcos B sin Acos Acos B sin Bcos Acos B， 化简得 2(sin Acos B sin Bcos A) sin A sin B，即 2sin(A B) sin A sin B因为 A B C ，所以 sin(A B) sin( C) sin C从而 sin A sin B 2sin C由正弦定理得 a b 2c. (2)由 (1)知 c a b2 ，所以 cos C a2 b2 c22ab a2 b2 ? ?a b2 22ab 38?abba 1412，当且仅当 a b 时，等号成立 .故 cos C 的最小值为 12.
