1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 69 讲 绝对值不等式 解密考纲 对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等 1已知 f(x) |x 1| |x 2|， g(x) |x 1| |x a| a(a R) (1)解不等式 f(x)5 ； (2)若不等式 f(x) g(x)恒成立，求 a 的取值范围 解析 (1)f(x) |x 1| |x 2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和，而 2 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和正好等于 5,3 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和正好等
2、于 5，故不等式 f(x)5 的解集为 2,3 (2)若不等式 f(x) g(x)恒成立，即 |x 2| |x a| a 恒成立 而 |x 2| |x a|(2 x) (x a)| |a 2|， (|x 2| |x a|)min |a 2|， |a 2| a， a0 或? a 2 a2，a0， 解得 a1 ，故 a 的取值范围为 ( ， 1 2设 f(x) |x 1| |x a|. (1)若 a 1，解不等式 f(x)3 ； (2)若对任意的 x R， f(x)4 ，求实数 a 的取值范围 解析 (1)当 a 1 时， f(x) |x 1| |x 1|? 2x， x 1，2， 11，其图象如下
3、 根据图象易得 f(x)3 的解集为?x? x 32或 x 32 . (2)由于 f(x) |x 1| |x a| |x 1| |a x| a 1|， 对任意的 x R， f(x)4 等价于 |a 1|4 ， 解得 a5 或 a 3， 故实数 a 的取值范围为 ( ， 3 5， ) 3已知函数 f(x) |x 2| |2x a|， a R. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)当 a 3 时，解不等式 f(x)0； (2)当 x ( ， 2)时， f(x)0， 即 |x 2| |2x 3|0， 等价于? x 32，x 10或? 320或? x2 ， x 10， 解得 12 x， 即 2x
4、a2 x 或 2x ax 2 恒成立， x1，当 x8，当 7 x1 时， f(x) 8， 当 x1 时， f(x)8. 综上， f(x)有最小值 8，所以 m8 ，故 m 的取值范围为 ( ， 8 (2)当 m 取最大值时， m 8.原不等式等价于 |x 3| 2x4 ， 等价于? x3 ，x 3 2x4 或 ? x2.当 x2 时，由 f(x)1 解得 x2. 所以 f(x)1 的解集为 x|x1 (2)由 f(x) x2 x m 得 m| x 1| |x 2| x2 x. 而 |x 1| |x 2| x2 x| x| 1 |x| 2 x2 |x| ? ?|x| 32 2 54 54， 故
5、 m 的取值范围为 ? ? ， 54 . 6设函数 f(x) |x a|. (1)当 a 2 时，解不等式 f(x)4 |x 1|； (2)若 f(x)1 的解集为 0,2， 1m 12n a(m0， n0)，求证： m 2n4. 解析 (1)当 a 2 时，不等式为 |x 2| |x 1|4. 因为方程 |x 2| |x 1| 4 的解为 x1 12， x2 72， 所以原不等式的解集为 ? ? ， 12 ? ?72， . (2)证明： f(x)1 ，即 |x a|1 ，解得 a 1 x a 1， 而 f(x)1 的解集是 0,2， 所以? a 1 0，a 1 2， 解得 a 1，所以1m12n 1(m0， n0) 所以 m 2n (m 2n)? ?1m 12n 2 2nm m2n4.
