1、第 5讲 不等式的应用 考纲要求 考点分布 考情风向标 1.会用基本不等式解决简单的最大 (小 )值问题 . 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 2011年新课标第 21题考查函数、导数、不等式的综合应用； 2012年新课标第 21题考查函数、导数、不等式的综合应用； 2013年新课标 第 12题以分段函数为背景，考查函数与不等式的综合应用，并求参数的取值范围； 2014年新课标 第 21题考查函数、导数、不等式的综合应用； 2015年新课标 第 21题考查函数、导数、不等式的综合应用； 2016年新课标 第 16题考查线性规划的应用问题 2017年天津第 16题
2、考查线性规划的应用问题 从近几年的高考试题来看，高考越来越增大了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度 .主要有两种形式： (1)线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围 . (2)基本不等式的应用： 求函数或数列的最值，侧重 “ 正 ”“ 定 ”“ 等 ” 的满足条件 1.如果 a， b R，那么 a2 b2 _(当且仅当 a b时 取“”号 ). 取 “ ” 号 ). 2 . 如果 a ， b 是正数，那么 a b2 _( 当且仅当 a b 时 2ab ab 以上不等式从左至右分别为：调和平均数 (记作 H)、 几何平 均数 (记作 G)、 算
3、术平均数 (记作 A)、 平方平均数 (记作 Q)，即 H G A Q，各不等式中等号成立的条件都是 a b. 4.常用不等式 (1)a， b， c R， a2 b2 c2 ab bc ca(当且仅当 a b c 时取“”号 ). 3 . 不等式的推广：21a 1b ab a b2 a 2 b 22 . (2) 若 a b 0 ， m 0 ，则 b ma m ba ( 糖水的浓度问题 ) . 则 z 3x 4y 的最小值为 _. 1. (2017 年新课标 ) 若 x ， y 满足约束条件?x y 0 ，x y 2 0 ，y 0 ，解析： 不等式组表示的可行域如图 D35 所示的阴影部分， 图
4、 D35 3x 4y 1. 答案： 1 目标函数 y 34x 14z ，其中 z 表示斜率为 k 34的直线系与可行域有交点时直线的截距的14倍，截距最大 的时候目标函数取得最小值，数形结合可 得目标函数在点 A(1,1)处取得最小值 z 则 z x 2y 的最大值是 ( ) A.0 B.2 C.5 D.6 2. ( 2 0 1 7 年山东 ) 已知 x ， y 满足约束条件x y 3 0 ，3 x y 5 0 ，x 3 0 ，解析： 画出可行域及直线 x 2y 0 如图 D36，平移 x 2y 0 发现，当其经过直线 3x y 5 0 与 x 3 的交点 A 时， z x 2y 最大为 zmax 3 2 4 5. 图 D36 答案： C 3.(2014年福建 )要制作一个容积为 4 m3， 高为 1 m的无盖长方体容器 .已知该容器的底面造价是 20元 /m2， 侧面造价是10元 /m2， 则该容器的最低总造价是 ( ) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 答案： C 解析： 设长方体底面边长分别为 x ， y ，则 y 4x. 所以容器总造价为 z 2( x y ) 10 20 xy 20?x 4x 80 .由基本不等式，得 z 20 2 4 80 160. 当且仅当底面是边长为 2 m 的正方形时，总造价最低 . 故选 C.
