1、一、选择题 1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A.只有圆才有渐开线 B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不 同的图形 C.正方形也可以有渐开线 D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就 不同 解析 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.不仅圆有渐开线，其他图形如 椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处， 但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不 论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是 方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案 C 2.已知一
2、个圆的参数方程为 x3cos ， y3sin ( 为参数)，那么圆的摆线方程中与 参数 2对应的点 A 与点 B 3 2 ，2 之间的距离为( ) A. 21 B. 2 C. 10 D. 3 2 1 解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为 3，那么它的摆线的参数方程为 x3（sin ）， y3（1cos ） ( 为参数)，把 2代入参数方程中可得 x3 21 ， y3， 即 A 3 21 ，3 ， |AB| 3 21 3 2 2 （32）2 10. 答案 C 3.如图所示，ABCD 是边长为 1 的正方形，曲线 AEFGH叫做 “正方形的渐开线”，其中 AE、EF、FG、GH的圆心依次 按 B
3、、C、D、A 循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH 长是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为 1 的1 4圆周长，长度为 2，继续旋 转可得EF 是半径为 2 的1 4圆周长，长度为 ；FG 是半径为 3 的1 4圆周长，长度 为3 2 ；GH 是半径为 4 的1 4圆周长，长度为 2.所以曲线 AEFGH 的长是 5. 答案 C 二、填空题 4.渐开线 x6（cos sin ）， y6（sin cos ） ( 为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的 横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为_. 解析 根据圆的渐开线方程可
4、知基圆的半径 r6，其方程为 x2y236，把基 圆的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为 1 2x 2 y2 36，整理可得 x2 144 y2 361，这是一个焦点在 x 轴上的椭圆.c a2b2 144366 3，故焦点坐标为(6 3，0)和(6 3，0). 答案 (6 3，0)和(6 3，0) 5.我们知道关于直线 yx 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线 xr（sin ）， yr（1cos ） ( 为参数)关于直线 yx 对称的曲线的参数方程为 _. 解析 关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与 y 的互换.所以要写出摆线方程关于
5、直线 yx 的对称曲线方程，只需把其中 的 x 与 y 互换. 答案 xr（1cos ）， yr（sin ） ( 为参数) 三、解答题 6.有一个半径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心 的距离是 a，求点 M 的轨迹方程. 解 如图：B 点坐标为(2a，2a)，MB (asin ，acos )，设OM (x，y)，OM OB BM (2a，2a)(asin ，acos )(2aasin ，2aacos )， xa（2sin ）， ya（2cos ）. 7.已知圆 C 的参数方程是 x16cos ， y26sin ( 为参数)和直线 l 对应的普通方程 是 xy6 20.
6、 (1)如果把圆心平移到原点 O，请问平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程； (3)求摆线和 x 轴的交点. 解 (1)圆C 平移后圆心为 O(0，0)，它到直线 xy6 20的距离为 d6 2 2 6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的. (2)由于圆的半径是 6，所以可得摆线方程是 x66sin ， y66cos ( 为参数). (3)令 y0，得 66cos 0cos 1， 所以 2k(kZ). 代入 x66sin ， 得 x12k(kZ)，即圆的摆线和 x 轴的交点为(12k，0) (kZ). 8.设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动 点为 M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程，画 出相应曲线，求此曲线上纵坐标 y 的最大值，说明该曲线的对称轴. 解 轨迹曲线的参数方程为 x8（tsin t）， y8（1cos t） (0t2). 即 t 时，即 x8 时，y 有最大值 16. 第一拱(0t2)的对称轴为 x8.
