高考数学真题解析13年文科C单元三角函数.DOC

1、C C 单元单元 三角函数三角函数 C1 角的概念及任意的三角函数 14 C1， C2， C62013 四川卷 设sin 2sin ， 2 ， ， 则tan 2的值是_ 14. 3 解析 方法一：由已知 sin 2sin ，即 2sin cos sin ，又 2 ， ，故 sin 0，于是 cos 1 2，进而 sin 3 2 ，于是 tan 3，所 以 tan 2 2tan 1tan2 2（ 3） 13 3. 方法二： 同上得 cos 1 2， 又 2 ， ， 可得 2 3 ， 所以 tan 2tan 4 3 3. C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 2C22013 全国卷 已知 是第

2、二象限角，sin 5 13，则 cos ( ) A12 13 B 5 13 C. 5 13 D. 12 13 2A 解析 cos 1sin2 12 13. 16C2，C52013 广东卷 已知函数 f(x) 2cos x 12 ，xR. (1)求 f 3 的值； (2)若 cos 3 5， 3 2 ，2 ，求 f 6 . 16解： 14 C1， C2， C62013 四川卷 设sin 2sin ， 2 ， ， 则tan 2的值是_ 14. 3 解析 方法一：由已知 sin 2sin ，即 2sin cos sin ，又 2 ， ，故 sin 0，于是 cos 1 2，进而 sin 3 2 ，于

3、是 tan 3，所 以 tan 2 2tan 1tan2 2（ 3） 13 3. 方法二： 同上得 cos 1 2， 又 2 ， ， 可得 2 3 ， 所以 tan 2tan 4 3 3. C3 三角函数的图像与性质 1C32013 江苏卷 函数 y3sin 2x 4 的最小正周期为_ 1 解析 周期为 T2 2 . 17C32013 辽宁卷 设向量 a( 3sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0， 2 . (1)若|a|b|，求 x 的值； (2)设函数 f(x)a b，求 f(x)的最大值 17解：(1)由|a|2( 3sin x)2(sin x)24sin2 x，

4、|b|2(cos x)2(sin x)21. 及|a|b|，得 4sin2 x1. 又 x0， 2 ，从而 sin x1 2，所以 x 6 . (2)f(x)a b 3sin x cos xsin2x 3 2 sin 2x1 2cos 2x 1 2sin2x 6 1 2， 当 x 3 0， 2 时，sin2x 6 取最大值 1. 所以 f(x)的最大值为3 2. 9C32013 山东卷 函数 yxcos xsin x 的图像大致为( ) 图 13 9D 解析 f(x)xcos(x)sin(x)(xcos xsin x)f(x)，yxcos x sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项

5、B，当 x 2 ，y10，x，y0)的部分图像如图11所示， 则( ) 图 11 A5 B4 C3 D2 9B 解析 根据对称性可得 4 为已知函数的半个周期，所以2 2 4 ，解得 4. 9 C42013 福建卷 将函数 f(x)sin(2x) 2 0， 2 B，故 B 4 . 根据余弦定理，有 (4 2)252c225c 3 5 ， 解得 c1 或 c7(负值舍去) 故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B 2 2 . 16C3、C5、C92013 新课标全国卷 设当 x 时，函数 f(x)sin x2cos x 取得最 大值，则 cos _ 162 5 5 解析 f(x)s

6、in x2cos x 5 1 5sin x 2 5cos x ，令 cos 1 5，sin 2 5， 则 f(x) 5sin(x)当 2k 2 ， 即 2k 2 (上述 k 为整数)时， f(x)取得最大值，此时 cos sin 2 5 5 . 18C5 和 C82013 重庆卷 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2 b2c2 3bc. (1)求 A； (2)设 a 3，S 为ABC 的面积，求 S3cos Bcos C 的最大值，并指出此时 B 的值 18解：(1)由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc 3bc 2bc 3 2 . 又因为 00)，则 b

7、3t，c7t，在ABC 中，由余弦定理得 cos Ca 2b2c2 2ab 25t29t249t2 25t3t 1 2，所以 C 2 3 . 5C82013 北京卷 在ABC 中，a3，b5，sin A1 3，则 sin B( ) A.1 5 B. 5 9 C. 5 3 D1 5B 解析 由正弦定理得 a sin A b sin B，即 3 1 3 5 sin B，解得 sin B 5 9. 18C7、C82013 全国卷 设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，(ab c)(abc)ac. (1)求 B； (2)若 sin Asin C 31 4 ，求 C. 18解：(1)因

8、为(abc)(abc)ac， 所以 a2c2b2ac. 由余弦定理得 cos Ba 2c2b2 2ac 1 2， 因此 B120. (2)由(1)知 AC60， 所以 cos (AC) cos Acos Csin Asin C cos Acos Csin Asin C2sin Asin C cos(AC)2sinAsin C 1 22 31 4 3 2 ， 故 AC30或 AC30， 因此 C15或 C45. 21 C8， C92013 福建卷 如图 16， 在等腰直角OPQ 中， POQ90， OP2 2， 点 M 在线段 PQ 上 (1)若 OM 5，求 PM 的长； (2)若点 N 在线

9、段 MQ 上，且MON30，问：当POM 取何值时，OMN 的面积 最小？并求出面积的最小值 图 16 21解：(1)在OMP 中，OPM45，OM 5，OP2 2， 由余弦定理得，OM2OP2MP22OP MP cos 45，得 MP24MP30， 解得 MP1 或 MP3. (2)设POM，060， 在OMP 中，由正弦定理，得 OM sinOPM OP sinOMP， 所以 OM OPsin 45 sin（45），同理 ON OPsin 45 sin（75）. 故 SOMN1 2OMONsinMON 1 4 OP2sin2 45 sin（45）sin（75） 1 sin（45）sin（4

10、530） 1 sin（45） 3 2 sin（45）1 2cos（45） 1 3 2 sin2（45）1 2sin（45）cos（45） 1 3 4 1cos（902）1 4sin（902） 1 3 4 3 4 sin 21 4cos 2 1 3 4 1 2sin（230） . 因为 060，30230150，所以当 30时，sin(230)的最 大值为 1，此时OMN 的面积取到最小值即POM30时，OMN 的面积的最小值为 84 3. 18C82013 湖北卷 在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c.已知 cos 2A 3cos(BC)1. (1)求角 A 的大小； (2

11、)若ABC 的面积 S5 3，b5，求 sinB sin C 的值 18解：(1)由 cos 2A3cos(BC)1，得 2cos2A3cos A20， 即(2cos A1)(cos A2)0，解得 cos A1 2或 cos A2(舍去) 因为 0A，所以 A 3 . (2)由 S1 2bc sin A 1 2bc 3 2 3 4 bc5 3，得 bc20，又 b5，知 c4. 由余弦定理得 a2b2c22bc cos A25162021，故 a 21. 又由正弦定理得 sin Bsin Cb asin A c asin A bc a2sin 2A20 21 3 4 5 7. 5C82013

12、 湖南卷 在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b.若 2asin B 3 b，则角 A 等于( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 5A 解析 由正弦定理可得 2sin Asin B 3sin B又 sin B0，所以 sin A 3 2 .因为 A 为锐角，故 A 3 ，选 A. 17C82013 江西卷 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin Asin B sin Bsin Ccos 2B1. (1)求证：a，b，c 成等差数列； (2)若 C2 3 ，求a b的值 17解：(1)证明：由题意得 sin Asin Bsin Bsin

13、C2sin2 B， 因为 sin B0，所以 sin Asin C2sin B， 由正弦定理，有 ac2b，即 a，b，c 成等差数列 (2)由 C2 3 ，c2ba 及余弦定理得(2ba)2a2b2ab， 即有 5ab3b20，所以a b 3 5. 6C82013 辽宁卷 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 asin Bcos C csin Bcos A1 2b，且 ab，则B( ) A. 6 B. 3 C.2 3 D.5 6 6A 解析 由正弦定理可以得到 sin Asin Bcos Csin Csin Bcos A1 2sin B，所以可以 得到 sin Aco

14、s Csin Ccos A1 2，即 sin(AC)sin B 1 2，则B 6 ，故选 A. 4C82013 新课标全国卷 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b 2，B 6 ，C 4 ，则ABC 的面积为( ) A2 32 B. 31 C2 32 D. 31 4B 解析 b sin B c sin C c2 2.又 ABC， A 7 12， ABC 的面积为1 222 2sin7 12 2 2 6 2 4 31. 7C82013 山东卷 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 B2A，a1， b 3，则 c( ) A2 3 B2 C. 2 D1

15、7B 解析 由正弦定理 a sinA b sinB，即 1 sinA 3 sinB 3 2sinAcosA，解之得 cosA 3 2 ， A 6 ，B 3 ，C 2 ，c a2b2()3 2 122. 9C82013 陕西卷 设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C ccos Basin A，则ABC 的形状为( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D不确定 9A 解析 结合已知 bcos Cccos Basin A，所以由正弦定理可知 sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A，即 sin (BC)sin 2Asin Asin 2

16、Asin A1，故 A90，故三角 形为直角三角形 16C7，C82013 天津卷 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 bsin A3csin B，a3，cos B2 3. (1)求 b 的值； (2)求 sin2B 3 的值 16解：(1)在ABC 中，由 a sin A b sin B，可得 bsin Aasin B，又由 bsin A3csin B， 可得 a3c，又 a3，故 c1. 由 b2a2c22accos B，cos B2 3，可得 b 6. (2)由 cos B2 3，得 sin B 5 3 ，进而得 cos 2B2cos2 B11 9，sin

17、2B2sin Bcos B 4 5 9 . 所以 sin2B 3 sin 2Bcos 3 cos 2Bsin 3 4 5 3 18 . 17C5，C8，F12013 四川卷 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC)3 5. (1)求 sin A 的值； (2)若 a4 2，b5，求向量BA 在BC 方向上的投影 17解：(1)由 cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC)3 5， 得 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B3 5. 则 cos(ABB)3 5，即 cos A 3 5. 又 0B，故 B

18、4 . 根据余弦定理，有 (4 2)252c225c 3 5 ， 解得 c1 或 c7(负值舍去) 故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B 2 2 . 15H1，C8，E82013 四川卷 在平面直角坐标系内，到点 A(1，2)，B(1，5)，C(3， 6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_ 15(2，4) 解析 在以 A，B，C，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角 形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线 AC，BD 交点上时，到四个顶点 的距离之和最小AC 所在直线方程为 y2x，BD 所在直线方程为 yx6，交点坐标为 (2，4)，即为所求

19、 10C82013 新课标全国卷 已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 23cos2 Acos 2A0，a7，c6，则 b( ) A10 B9 C8 D5 10D 解析 由 23cos 2Acos 2A0，得 25cos 2A1.因为ABC 为锐角三角形，所 以 cos A1 5.在ABC 中，根据余弦定理，得 49b 23612b1 5，即 b 212 5 b130，解 得 b5 或13 5 (舍去) 18C82013 浙江卷 在锐角ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2asin B 3b. (1)求角 A 的大小； (2)若 a6，bc8，

20、求ABC 的面积 18解：(1)由 2asin B 3b 及正弦定理 a sin A b sin B，得 sin A 3 2 .因为 A 是锐角，所以 A 3 . (2)由余弦定理 a2b2c22bc cos A 得 b2c2bc36.又 bc8，所以 bc28 3 . 由三角形面积公式 S1 2bcsin A，得ABC 的面积为 7 3 3 . 18C5 和 C82013 重庆卷 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2 b2c2 3bc. (1)求 A； (2)设 a 3，S 为ABC 的面积，求 S3cos Bcos C 的最大值，并指出此时 B 的值 18解：

21、(1)由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc 3bc 2bc 3 2 . 又因为 0A，所以 A5 6 . (2)由(1)得 sin A1 2，又由正弦定理及 a 3得 S1 2bcsin A 1 2 asin B sin A asin C3sin Bsin C， 因此，S3cos Bcos C3(sin Bsin Ccos Bcos C)3cos(BC) 所以，当 BC，即 BA 2 12时，S3cos Bcos C 取最大值 3. C9 单元综合 21 C8， C92013 福建卷 如图 16， 在等腰直角OPQ 中， POQ90， OP2 2， 点 M 在线段 PQ 上 (1)若

22、 OM 5，求 PM 的长； (2)若点 N 在线段 MQ 上，且MON30，问：当POM 取何值时，OMN 的面积 最小？并求出面积的最小值 图 16 21解：(1)在OMP 中，OPM45，OM 5，OP2 2， 由余弦定理得，OM2OP2MP22OP MP cos 45，得 MP24MP30， 解得 MP1 或 MP3. (2)设POM，060， 在OMP 中，由正弦定理，得 OM sinOPM OP sinOMP， 所以 OM OPsin 45 sin（45），同理 ON OPsin 45 sin（75）. 故 SOMN1 2OMONsinMON 1 4 OP2sin2 45 sin（

23、45）sin（75） 1 sin（45）sin（4530） 1 sin（45） 3 2 sin（45）1 2cos（45） 1 3 2 sin2（45）1 2sin（45）cos（45） 1 3 4 1cos（902）1 4sin（902） 1 3 4 3 4 sin 21 4cos 2 1 3 4 1 2sin（230） . 因为 060，30230150，所以当 30时，sin(230)的最 大值为 1，此时OMN 的面积取到最小值即POM30时，OMN 的面积的最小值为 84 3. 18C92013 江苏卷 如图 14，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路 径一种是从 A

24、 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行 到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动 的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A12 13，cos C 3 5. (1)求索道 AB 的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围 内？

25、图 14 18解：(1)在ABC 中，因为 cos A12 13，cos C 3 5， 所以 sin A 5 13，sin C 4 5， 从而 sin Bsin(AC) sin(AC) sin Acos Ccos Asin C 5 13 3 5 12 13 4 5 63 65. 由正弦定理 AB sin C AC sin B，得 AB AC sin Bsin C 1 260 63 65 4 51 040(m) 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得 d2(1

26、0050t)2(130t)22130t(10050t)12 13200(37t 270t50) 因为 0t1 040 130 ，即 0t8， 故当 t35 37(min)时，甲、乙两游客距离最短 (3)由正弦定理 BC sin A AC sin B，得 BC AC sin Bsin A 1 260 63 65 5 13500(m) 乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min，由题意得3500 v 710 50 3，解得1 250 43 v625 14 ， 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，

27、乙步行的速度应控制在 1 250 43 ，625 14 (单位：m/min)范围内 15C92013 江苏卷 已知 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0. (1)若|ab| 2，求证：ab； (2)设 c(0，1)，若 abc，求 ， 的值 15解：(1)由题意得|ab|22， 即(ab)2a22a bb22. 又因为 a2b2|a|2|b|21，所以 22a b2，即 a b0，故 ab. (2)因为 ab(cos cos ，sin sin )(0，1)， 所以 cos cos 0， sin sin 1， 由此得，cos cos()，由 0，得 0， 又 0，所 以 5 6

28、 ， 6 . 16C3、C5、C92013 新课标全国卷 设当 x 时，函数 f(x)sin x2cos x 取得最 大值，则 cos _ 162 5 5 解析 f(x)sin x2cos x 5 1 5sin x 2 5cos x ，令 cos 1 5，sin 2 5， 则 f(x) 5sin(x)当 2k 2 ， 即 2k 2 (上述 k 为整数)时， f(x)取得最大值，此时 cos sin 2 5 5 . 9 C92013 新课标全国卷 函数 f(x)(1cos x) sin x 在， 的图像大致为( ) 图 12 9C 解析 函数 f(x)是奇函数，排除选项 B.当 x0，时 f(x)0，排除选项 A.对 函数 f(x)求导， 得 f(x)sin xsin x(1cos x)cos x2cos2 xcos x1(cos x1)(2cos x1)，当 0x时，若 0x0，若2 3 x，则 f(x)0，即函数在(0，)上的极大值点 是 x错误错误! !，故只能是选项 C 中的图像