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1、第七章第七章 不可压缩流体动力学基础不可压缩流体动力学基础重点、难点内容重点、难点内容 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 有旋流动、无旋流动有旋流动、无旋流动 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程 涡线、涡管以及斯托克斯定理涡线、涡管以及斯托克斯定理 本章主要讨论三元流动问题，即讨论有关流动问题本章主要讨论三元流动问题，即讨论有关流动问题的基本概念和基本原理以及描述不可压缩流体运动的基的基本概念和基本原理以及描述不可压缩流体运动的基本方程和定解条件。本方程和定解条件。本章主要内容本章主要内容第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场分析流

2、场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。运动的基础。流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式有本运动形式有平移运动平移运动，旋转运动旋转运动和变形运动等，和变形运动等，而变形运动又包括而变形运动又包括线变形线变形和和角变形角变形两种。两种。平面流动平面流动平移平移 转动转动 线变形线变形 角变形角变形平移运动平移运动、旋转运动旋转运动、线变形运动线变形运动和和角变形运动角变形运动右图为任意右图为任意t时刻在平时刻在平面流场中所取的一个正方面流场中所取的一个正方形流体微团。由于流体微形流体微团。由于流体微团上各点的运动速度不一团上各点的运动

3、速度不一致，经过微小的时间间隔致，经过微小的时间间隔后，该流体微团的形状和后，该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了大小会发生变化，变成了斜四边形。斜四边形。流体微团的运动形式与微流体微团的运动形式与微团内各点速度的变化有关。团内各点速度的变化有关。设方形流体微团中心设方形流体微团中心 M 的流速分量为的流速分量为 ux 和和 uy （图（图 7-1 ) ，则微团各侧，则微团各侧边的中点边的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速分量分别为：的流速分量分别为：可见，微团上每一点的速度都包含可见，微团上每一点的速度都包含中心点的中心点的速度速度以及由于以及由于坐标位置不同坐标位置不同所引起的速

4、度增量两所引起的速度增量两个组成部分。个组成部分。平移运动速度平移运动速度微团上各点公有的分速度微团上各点公有的分速度 ux 和和uy ，使它们在，使它们在 dt 时间内均沿时间内均沿 x 方向移动一距离方向移动一距离 uxdt , 沿沿 y 方向移方向移动一距离动一距离 uydt 。因而，我们把。因而，我们把中心点中心点 M 的速度的速度 ux和和 uy ，定义为流体微团的平移运动速度。，定义为流体微团的平移运动速度。线变形运动线变形运动微团左、右两侧的微团左、右两侧的 A 点和点和 C 点沿点沿 x 方向的速方向的速度差为度差为 当这速度差值为正时，微团沿当这速度差值为正时，微团沿 x 方

5、向发生伸长变形；方向发生伸长变形；当它为负时，微团沿当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。方向发生缩短变形。dxxudxxuudxxuuxxx)()(22xx线变形速度线变形速度单位时间，单位长度的线变形称为线变形速单位时间，单位长度的线变形称为线变形速度。度。以以x表示流体微团沿表示流体微团沿 x 方向的线变形速度，则：方向的线变形速度，则：三元流动线变形速度三元流动线变形速度微团的旋转和角变形微团的旋转和角变形流体微团的运动过程可以看作下述两种基本运动的组合：流体微团的运动过程可以看作下述两种基本运动的组合： 流体微团绕流体微团绕M点作无角变形的旋转运动，点作无角变形的旋转运动，ABC

6、D-ABCD; 由于过由于过M点各直线的旋转角速度不相等而产生角变形运动，使点各直线的旋转角速度不相等而产生角变形运动，使方形微团变为菱形，即：方形微团变为菱形，即： ABCD- ABCD。旋转角速度旋转角速度设沿逆时针方向旋转为正，则设沿逆时针方向旋转为正，则AMC线的旋线的旋转角速度为：转角速度为：xudxdxxuyy22BMD线的旋转角速度为：线的旋转角速度为：xux 把把对角线的旋转对角线的旋转角速度角速度定义为整个流定义为整个流体微团在平面上的旋体微团在平面上的旋转角速度。转角速度。因而，角速度矢量为：因而，角速度矢量为：角速度的大小为：角速度的大小为：角变形速度角变形速度直角边直角

7、边 AMC （或（或BMD）与对角线）与对角线 EMF 的的夹角的变形速度定义为流夹角的变形速度定义为流体微团的角变形速度。体微团的角变形速度。亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理第二节第二节 有旋流动有旋流动流体微团的流体微团的旋转角速度旋转角速度在流场内在流场内不完全为零不完全为零的的流动称为有旋流动。流动称为有旋流动。自然界和工程中出现的流动大多数是有旋流动，自然界和工程中出现的流动大多数是有旋流动，例如例如:龙卷风龙卷风管道流体运动管道流体运动绕流物体表面的边界层及其尾部后面的流动。绕流物体表面的边界层及其尾部后面的流动。无旋流动有旋流动有旋

8、流动与无旋流动有旋流动与无旋流动无旋流动有旋流动有旋流动与无旋流动有旋流动与无旋流动涡量涡量涡量连续性微分方程涡量连续性微分方程涡线涡线在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体质点的在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体质点的旋转角速度向量方向的曲线，称为涡线。旋转角速度向量方向的曲线，称为涡线。在给定的瞬时，涡线上各点的角速度向量在该在给定的瞬时，涡线上各点的角速度向量在该点处与涡线相切。点处与涡线相切。涡线微分方程涡线微分方程 沿涡线取一微小线段沿涡线取一微小线段ds，由于涡线与角速度向，由于涡线与角速度向量的方向一致，所以，沿三个坐标轴方向的分量量的方向一致，所以，沿三个坐标轴方向的分量dx， d

9、y， dz必然与角速度向量的三个分量成正比，即：必然与角速度向量的三个分量成正比，即：涡管涡管在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面，称为上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面，称为涡管。涡管。涡通量涡通量涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。可以证明：可以证明：对于微元涡管，可以近似认为截面上各对于微元涡管，可以近似认为截面上各点的涡量为常数，则由上式：点的涡量为常数，则由上式：涡量场中的涡量场中的涡线、涡管、涡通量涡线、涡管、涡通量等概念分别与流等概念分别与流速场中

10、的速场中的流线、流管、流量流线、流管、流量等概念相对应，而涡等概念相对应，而涡线方程与涡管的涡通量线方程与涡管的涡通量方程则分别与方程则分别与流线方程和流线方程和元流连续性方程元流连续性方程相对应。相对应。速度环量速度环量通常，涡通量是利用速度环量这个概念来计算通常，涡通量是利用速度环量这个概念来计算的。的。在流场中任取一封闭曲线在流场中任取一封闭曲线s，则流速沿曲线，则流速沿曲线s的积的积分称为曲线分称为曲线s上的速度环量。并规定积分沿上的速度环量。并规定积分沿s逆时针方逆时针方向绕行为向绕行为s的正方向。的正方向。斯托克斯定理斯托克斯定理沿任意封闭曲线沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该

11、曲的速度环量等于通过以该曲线为边界的曲面线为边界的曲面 A 的涡通量。的涡通量。微元体内的微元体内的质量变化率质量变化率输入微元体输入微元体的质量流量的质量流量直角坐标系中的直角坐标系中的连续性方程连续性方程输出微元体输出微元体的质量流量的质量流量y xz dzdxdyxv dydzxxvvdx dydzx第三节第三节 不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程连续性方程连续性方程1、x方向：方向：dt时间内沿从时间内沿从六面体六面体 x 处与处与 x+dx 处输处输入与输出的质量差：入与输出的质量差：()()xxxxvvv dydzdtvdx dydzdtdxdydzdtxx2、d

12、t时间内，整个六面体内输入与输出的质量差时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：()()()()()()yxzyxzvvvdxdydzdtdxdydzdtdxdydzdtxyzvvvdxdydzdtxyz y方向：方向：dxdydzdtzv）（z-z方向方向：dxdydzdtyv）（y-3 3、微元体内的质量变化：、微元体内的质量变化：dxdydzdtt从而从而有：有：()()()yxzvvvdxdydzdtdxdydzdtxyzt或：或：()()()0yxzvvvtxyz连续性方程连续性方程连续方程物理意义：连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空流体在单位时间内流经单位体积空间输出

13、与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。矢量形式矢量形式：（适用于层流、湍流、牛（适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体）顿、非牛顿流体）0tv）（0 zvyvxvzyx上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。内流入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。适用范围：适用范围：恒定流或非恒定流；恒定流或非恒定流；理想液体或实际液体。理想液体或实际液体。连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程之一。任何

14、流体的连续运动均必须满足。之一。任何流体的连续运动均必须满足。一维流动的连续方程一维流动的连续方程1122AA若流体不可压缩：若流体不可压缩：例：已知不可压流体速度例：已知不可压流体速度,zxyzxyvzyxu 222, 0 V0zwyvxu估算估算w不可压流体不可压流体02zwzxx),(tyxfxzzwzxzw32132第四节第四节 以应力表示的粘性流体运动微分方程以应力表示的粘性流体运动微分方程应力状态及切应力互等定律应力状态及切应力互等定律xxxxxxdxxyxzxzxyxydxxzxzxdzzzxzzzzdzzzzyxyzyzyzdyyyxyxdyy应力状态：应力状态：切应力互等定律

15、切应力互等定律xyyxzyyzxzzx微元体表面力的总力分量微元体表面力的总力分量x方向的表面力：方向的表面力：yxxxzxdxdydzxyzy方向的表面力：方向的表面力：xyyyzydxdydzxyzz方向的表面力：方向的表面力：yzxzzzdxdydzxyz动量流量及动量变化率动量流量及动量变化率y xz dzdxdyxxv vx xx xv vv vdxxzxv vy xy xv vv vdyyz xz xv vv vdzzyxv v动量流量动量流量 动量通量动量通量x流通面积流通面积图中标注的是动量的输入或图中标注的是动量的输入或输出方向，而动量或其通量输出方向，而动量或其通量本身的方

16、向均指向本身的方向均指向x方向，即方向，即分速度分速度vx的方向。的方向。x方向：方向：2()()()yxxzxdxdydzxyz 输入输出微元体的动量流量输入输出微元体的动量流量y方向：方向：z方向：方向：2()()()xyyzydxdydzxyz 2()()()yzxzzdxdydzxyz 微元体内的动量变化率微元体内的动量变化率x方向：方向：xdxdydzty方向：方向：ydxdydztz方向：方向：zdxdydzt流体的瞬时质量为流体的瞬时质量为dxdydzdxdydzvxx方向的瞬时动量为方向的瞬时动量为x方向的运动方程：方向的运动方程：以应力表示的运动方程以应力表示的运动方程()y

17、xxxxxxxzxxyzxftxyzxyzy方向的运动方程：方向的运动方程：z方向的运动方程：方向的运动方程：yyyyxyyyzyxyzyftxyzxyzyzxzzzzzzzxyzzftxyzxyz注：上式就是以应力表示的粘性流体的运动方程，注：上式就是以应力表示的粘性流体的运动方程，适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。方程的物理意义：方程的物理意义：方程左边是：任意时刻方程左边是：任意时刻t t通过考察点通过考察点A A的流体质点加速度的三个分量；的流体质点加速度的三个分量；方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体积力在各坐标上的分量。方程右边是：作用

18、在单位体积流体上的表面力和体积力在各坐标上的分量。方程可简略表示成：方程可简略表示成：aF这就是以单位体积的流体质量为基准的这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律牛顿第二运动定律xxaDtDv/第五节第五节 应力和变形速度的关系应力和变形速度的关系粘性流体运动微分方程粘性流体运动微分方程NavierStokes方程方程对一维流动问题：对一维流动问题：对粘性流体流动问题：对粘性流体流动问题：目的目的关键：关键：寻寻求流体求流体应力应力与变形速率与变形速率之间的关系之间的关系N-S方程方程牛顿流体的本构方程牛顿流体的本构方程引入的基本假设：引入的基本假设：为了寻求流体应力与变形速率之间

19、的关系，为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，Stokes提出三个基提出三个基本假设：本假设：应力与变形速率成线性关系应力与变形速率成线性关系; ;应力与变形速率之间的关系各向同性；应力与变形速率之间的关系各向同性；静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力pzzyyxx牛顿流体的本构方程：牛顿流体的本构方程：223yxxzxxvvvpxxyz 223yxzzzzvvvpzxyz 223yyxzyyvvvpyxyz yxxyyxvvyxyzyzzyvvzyxzzxxzvvxz本构方程的讨论：本构方程的讨论：正应力中的粘性应力：正应力中的粘性应力：线

20、变形率与流体流动：线变形率与流体流动：正应力与线变形速率：正应力与线变形速率：223yxxzxxvvvpxxyz xx xxxxp 正应力与压力：正应力与压力：3xxyyzzp 这说明：这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平均值却总是与压力大小相等。均值却总是与压力大小相等。切应力与角边形率：切应力与角边形率：牛顿流体本构方程牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系，反映了流体应力与变形速率之间的关系，是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。流体运动微分方程流体运动微分方程N

21、avierStokes方程方程223xxxDvpfDtxxxx yxxzvvvvyyxzzx适用于牛顿流体适用于牛顿流体第六节第六节 N-S方程方程常见条件下常见条件下NS方程的表达形式：方程的表达形式：222222113xxxxxDvpfDtxxxyz适用于牛顿流体适用于牛顿流体常粘度条件下常粘度条件下NS方程：方程：const222222113yyyyyDvpfDtyyxyz222222113zzzzzDvpfDtzzxyz矢量形式：矢量形式：211()3DvfpDt 2222221xxxxxDvpfDtxxyz适用于牛顿流体适用于牛顿流体不可压缩流体的不可压缩流体的NS方程：方程：con

22、st2222221yyyyyDvpfDtyxyz2222221zzzzzDvpfDtzxyz矢量形式：矢量形式：21DvfpDt 2222221xxxxxxxxyzxvvvvpvvvftxyzxxyz适用于牛顿流体适用于牛顿流体常粘度条件下不可压缩流体的常粘度条件下不可压缩流体的NS方程方程：const2222221yyyyyyyxyzyvvvvpvvvftxyzyxyz2222221zzzzzzzxyzzvvvvpvvvftxyzzxyz矢量形式：矢量形式：const21()vfpDt 非定常项非定常项定常流动为定常流动为0静止流场为静止流场为0对流项对流项静止流场为静止流场为0蠕变流时蠕变

23、流时 0单位质量流体单位质量流体的体积力的体积力单位质量流体单位质量流体的压力差的压力差扩散项（粘性力项）扩散项（粘性力项）对静止或理想流体为对静止或理想流体为0高速非边界层问题高速非边界层问题0第八节第八节 流体流动的初始条件和边界条件流体流动的初始条件和边界条件N-S方程应用概述方程应用概述流动微分方程的应用求解步骤流动微分方程的应用求解步骤(1)根据问题特点对一般形式的运动方程进行根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化简化，获，获得针对具体问题的得针对具体问题的微分方程或方程组微分方程或方程组。(2)提出相关的初始条件和边界条件。提出相关的初始条件和边界条件。初始条件初始条件：非稳态问

24、题：非稳态问题边界条件边界条件固壁流体边界：固壁流体边界：流体具有粘性，在与壁面接流体具有粘性，在与壁面接触处流体速度为零。触处流体速度为零。液体气体边界：液体气体边界：对非高速流，气液界面上，对非高速流，气液界面上，液相速度梯度为零。液相速度梯度为零。液体液体边界：液体液体边界：液液界面两侧的速度或切应液液界面两侧的速度或切应力相等。力相等。N-S方程应用举例：方程应用举例：例例: 圆管内的一维稳态流动分析。圆管内的一维稳态流动分析。 不可压缩流体在水平不可压缩流体在水平 圆管内作一维圆管内作一维稳态层流流动。试写出该条件下的连续性稳态层流流动。试写出该条件下的连续性方程和运动微分方程。并证

25、明管道截面上方程和运动微分方程。并证明管道截面上任一点的总势能和轴向压力梯度为常数。任一点的总势能和轴向压力梯度为常数。1圆管内的稳定层流圆管内的稳定层流 y r x o z流向流向 011 zvvrrrvrzr 连：连： zvvvrvrvvtvzzzzzrz 分量：分量： 2222211zvvrrvrrrzzzz zvvrvvrvrvvtvrrzrrrr2 分量：分量：222222211zvvrvrrvrrrrrrr zvvrvvvrvrvvtvzrr 分量：分量： 2222222111zvvrvrrvrrrrr 化化简简条条件件： 流流动动稳稳定定 / t=0， 一一维维流流动动 vr=v

26、 =0， 轴轴向向对对称称， / =00 zvzpfzz 例题 rvrrrzz10 0r0 0 zvz0 zv表明表明vz只是只是r的函数；的函数； 只是只是z的函的函数数 drdvrdrdrdzd1 是 z 的函数是 r 的函数常数常数 L rdrLdrdvrd 122crLdrdvr 212ln4crcrLv y r x o z流流向向 R边界条件：r=R 时时，v=0r=0 时时，0 drdv01 c224RLc 2214RrRLv2max4RLv 2max1 Rrvv212121max02max202vrdrRrvRrdrvRAvdAuRR 引引入入：阻阻力力系系数数（又又称称范范宁宁因因子子） 22ufw 而由牛顿粘性定律可知，圆管内层流时：而由牛顿粘性定律可知，圆管内层流时： Rrwdrdv uRvR 42max Re16168 uduRf 引入：摩擦因数Re644 f 2max1 Rrvv作业作业7-2、7-3、7-4、7-5