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1、概率论概率论 总复习总复习第一章第一章 随机事件随机事件第一节第一节 样本空间和随机事件样本空间和随机事件第二节第二节 事件关系和运算事件关系和运算第一章第一章 基本知识点基本知识点1. 概率论概率论概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科2. 确定性现象与随机现象确定性现象与随机现象3. 随机试验随机试验(1) 试验在相同的条件下可重复进行试验在相同的条件下可重复进行(2) 每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前 可以确定试验的所有可能结果可以确定试验的所有可能结果(3) 每次试验前不能准确预言

2、试验后会出现哪种结果每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大 量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机 事件，简称事件事件，简称事件 4. 随机事件随机事件5. 样本点样本点6. 样本空间样本空间随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点，记作这个试验的一个样本点，记作 (1,2,)ii 全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作记作即即 12,n 仅含一个

3、样本点的随机事件称为基本事件仅含一个样本点的随机事件称为基本事件 7. 随机事件随机事件 含有多个样本点的随机事件称为复合事件含有多个样本点的随机事件称为复合事件 8. 必然事件必然事件一次随机试验中，必然会发生的随机事件一次随机试验中，必然会发生的随机事件. .9. 不可能事件不可能事件一次随机试验中，不可能会发生的随机事件一次随机试验中，不可能会发生的随机事件. .给定一个随机试验，设给定一个随机试验，设为其样本空间，则：为其样本空间，则：事件事件事件之间的关系事件之间的关系集合集合集合之间的关系集合之间的关系10. 事件关系和运算事件关系和运算事件的运算事件的运算集合的运算集合的运算概率

4、论概率论集合论集合论随机事件随机事件A，B，. . 的子集的子集A，B，. . 随机事件随机事件间的关系间的关系各种集合各种集合间的关系间的关系概率论与集合论之间的关系概率论与集合论之间的关系概率论概率论集合论集合论样本空间样本空间 全集全集 必然事件必然事件 全集全集 不可能事件不可能事件 空集空集 子事件子事件AB 子集子集AB 并事件并事件AB 并集并集AB 交事件交事件AB 交集交集AB 差事件差事件AB 差集差集AB 对立事件对立事件A补集补集A第二章第二章 事件的概率事件的概率第一节第一节 概率的概念概率的概念第二节第二节 古典概型古典概型第三节第三节 几何概型几何概型第四节第四节

5、 概率的公理化定义概率的公理化定义第二章第二章 基本知识点基本知识点1. 随机事件的频率随机事件的频率 设随机事件设随机事件A在在n次随机试验中出现了次随机试验中出现了r次，次， 则称这则称这n次试验中事件次试验中事件A出现的频率为：出现的频率为：( )nrfAn Arn 事事件件 出出现现的的次次数数试试验验的的总总次次数数 随机事件随机事件A在相同条件下重复多次时，事件在相同条件下重复多次时，事件 A 发生的频率在一个固定的数值发生的频率在一个固定的数值p附近摆动，附近摆动， 随着试验次数的增加更加明显随着试验次数的增加更加明显.2. 频率的稳定性频率的稳定性对任意事件对任意事件A，在相同

6、的条件下重复进行，在相同的条件下重复进行n 次试验，事件次试验，事件A 发生的频率随着试验次发生的频率随着试验次数的增大而稳定地在某个常数数的增大而稳定地在某个常数p附近摆动附近摆动,那么称那么称p为事件为事件A的概率，记为的概率，记为事件事件A的的频率频率3. 概率的统计定义概率的统计定义( )P Ap 事件事件A的的概率概率当试验次数足够大时当试验次数足够大时近似地代替近似地代替事件事件A的概率的概率准确的数值准确的数值频率的稳定值频率的稳定值概率概率事件事件A(1) 有限性：有限性：各个可能结果出现是等可能的各个可能结果出现是等可能的. .试验的可能结果只有有限个；试验的可能结果只有有限

7、个；(2) 等可能性：等可能性： 12,n 4. 古典概型：古典概型：古典概型的基本特征：古典概型的基本特征：样本空间样本空间是个有限集是个有限集121()()(), niiP AP AP AAn 基本事件的概率均相同基本事件的概率均相同 5. 概率的古典定义概率的古典定义对于古典概型：对于古典概型： 12,n 12,rkkkA ( )rP An Arn 事事件件 包包含含的的基基本本事事件件的的基基本本事事件件(1) 设所有可能的试验结果构成的样本空间为：设所有可能的试验结果构成的样本空间为：(2) 事件事件12,rk kk其中其中 为为1, 2, , n中的中的r个不同的数个不同的数则定义

8、事件则定义事件A的概率为：的概率为：6. 几何概型几何概型古典概型中的有限性推广到古典概型中的有限性推广到无限性无限性，而保留，而保留等可能性等可能性事件事件A“随机点落在随机点落在中的子区域中的子区域SA中中”长度、面积或体积长度、面积或体积 1. 基本特征：基本特征：(1) 有一个可度量的几何图形有一个可度量的几何图形(2) 试验试验E看成在看成在中随机的一点中随机的一点( )|ASP A AS 的的几几何何度度量量的的几几何何度度量量设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为，若对任一，若对任一事件事件A，有且只有一个实数，有且只有一个实数P(A)与之对应，与之对应，满足如下公理：满足

9、如下公理：(1) 非负性非负性：(2) 规范性：规范性：(3) 完全可加性完全可加性：7. 概率的公理化定义概率的公理化定义0( )1P A()1P 11()nnnnPAP A 对任意一列两两互斥事件对任意一列两两互斥事件A1，A2，有：，有：则称则称P(A)为事件为事件A的概率的概率8. 概率的性质概率的性质 不可能事件的概率为零不可能事件的概率为零性质性质1()0P 性质性质2( )1( )P AP A逆事件的概率逆事件的概率性质性质3对任意有限个互斥事件对任意有限个互斥事件A1，A2， An ，有：有：11()nnkkkkPAP A 互不相容事件概率的有限可加性互不相容事件概率的有限可加

10、性性质性质4()( )( )()P ABP AP BP AB 加法定理加法定理性质性质5()( )( )P BAP BP A ( )( )P AP B AB 若若 ，则：，则：且且差事件的概率差事件的概率BCA性质性质6 ()( )( )( ) ()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC 加法定理的推广形式加法定理的推广形式第三章第三章 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性第一节第一节 条件概率条件概率第二节第二节 全概率公式全概率公式第三节第三节 贝叶斯公式贝叶斯公式第四节第四节 事件的独立性事件的独立性第五节第五节 伯努利试验和二项概率伯努利试验

11、和二项概率第六节第六节 主观概率主观概率第三章第三章 基本知识点基本知识点设设A，B为同一随机试验中的两个随机事件为同一随机试验中的两个随机事件 , 且且 P(A) 0， 则称已知则称已知A发生条件下发生条件下B发生发生的概率为的概率为B的条件概率，记为的条件概率，记为 1. 条件概率的定义条件概率的定义()(|)( )P ABP B AP A 2. 乘法定理乘法定理()(|)( )P ABP B AP A ()(|)( )P ABP A BP B ()( ) (|)P ABP A P B A ()( ) (|)P ABP B P A B 设设A1 ，A2 ，.，An 构成一个完备事件组，构成

12、一个完备事件组，且且P(Ai )0 (i1，2，.，n)，则对任一随机，则对任一随机事件事件B，有，有: 3. 全概率公式全概率公式niiiP BP A P B A1( )() (|) A1A2A3P A1()P A2()P A3()P B A1(|)P B A2(|)P B A3(|)P B( ) 设设A1，A2，, An构成完备事件组，且每个构成完备事件组，且每个 P(Ai)0，B为样本空间的任意事件且为样本空间的任意事件且P(B) 0 , 则有：则有：4. 贝叶斯公式贝叶斯公式kkkniiiP A P B AP ABknP A P B A1() (|)(|) (1,2, )() (|)

13、P(BA) = P(B)5. 事件独立的定义事件独立的定义P ABP A P B()( ) ( ) A与与B相互独立的相互独立的充要条件充要条件如果事件如果事件A，B，C满足满足:(a) P(AB) = P(A)P(B)(b) P(AC) = P(A)P(C)(c) P(BC) = P(B)P(C)则称事件则称事件A，B，C两两独立两两独立.6. 事件的独立性的推广事件的独立性的推广 (1) 事件事件A，B，C两两独立两两独立：如果事件如果事件A，B，C满足满足:(a) P(AB) = P(A)P(B)(b) P(AC) = P(A)P(C)(c) P(BC) = P(B)P(C)(d) P(

14、ABC) = P(A)P(B)P(C)则称事件则称事件A，B，C相互独立相互独立.(2) 事件事件A，B，C相互独立相互独立：在在n重独立重复试验中，若每次试验只有两种可重独立重复试验中，若每次试验只有两种可能的结果：能的结果：A及及 ，且，且A在每次试验中发生的概在每次试验中发生的概率为率为p，则称其为，则称其为n重贝努利试验重贝努利试验，简称贝努利，简称贝努利试验试验.7. 贝努利试验贝努利试验A8. 二项概率：二项概率： 设在一次试验中事件设在一次试验中事件A发生的概率为发生的概率为 p (0p 0, 则在条件则在条件Y = yj下下X = xi的条的条件概率为：件概率为：10. 离散型

15、随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律:(,)(|)()ijijjP Xx YyPXxYyP Yy 称这个分布为称这个分布为在给定的在给定的Y = yj条件下条件下X的条件分布律的条件分布律.表格形式：表格形式：|jX Yy 概率概率x1x2ix (1,2,)ijjpip 1 jjpp 2 jjpp ijjpp (2) 设设(X, Y)为二维离散型随机变量，其分布律已知为二维离散型随机变量，其分布律已知. 假设假设P(X = xi) 0, 则在条件则在条件X = xi下下Y = yj的的 条件概率为：条件概率为：(,)(|)()ijjiiP Xx YyP YyXxP Xx 称这个分布为

16、称这个分布为在给定的在给定的X = xi条件下条件下Y的条件分布律的条件分布律.表格形式：表格形式：|iY Xx 概率概率1y2yjy (1,2,)ijipjp 1iipp 2iipp ijipp (1) 对于二维连续型随机变量对于二维连续型随机变量(X, Y)，其分布已知，其分布已知. 规定规定在给定的在给定的Y = y条件下条件下X的条件分布的条件分布为一个为一个 连续型分布，它的条件密度函数为：连续型分布，它的条件密度函数为：11. 连续型随机变量的条件分布律连续型随机变量的条件分布律:( , )(|)( , )df x yf x yf x yx ( , )( )Yf x yfy (2)

17、 对于二维连续型随机变量对于二维连续型随机变量(X, Y)，其分布已知，其分布已知. 规定规定在给定的在给定的X = x条件下条件下Y的条件分布的条件分布为一个为一个 连续型分布，它的条件密度函数为：连续型分布，它的条件密度函数为：( , )(|)( , )df x yf y xf x yy ( , )( )Xf x yfx 第六章第六章 随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布第一节第一节 一维随机变量的函数及其分布一维随机变量的函数及其分布第二节第二节 二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布第六章第六章 基本知识点基本知识点若若X为离散型随机变量为离散型随机变量, 其分布律为

18、其分布律为则随机变量则随机变量X的函数的函数Y = g(X)的分布律为的分布律为1. 离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布X概率概率x1x2ix1pip2p()Yg X 概率概率1()g x2()g x()ig x1pip2p设设X为连续型随机变量，其概率密度函数为为连续型随机变量，其概率密度函数为f (x). y = g(x)是是一个连续函数，一个连续函数，则：则：(1) 求随机变量求随机变量Y = g(X)的分布函数的分布函数 FY (y)为：为：( )YFy()P Yy ( ()P g Xy(2) 随机变量随机变量Y = g(X)的概率密度函数的概率密度函数 fY (y)

19、为：为：2. 连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布 ( )P Xx g xy()gP xI( )( )YYfyFy 设设(X, Y)是二维离散型随机变量，其联合是二维离散型随机变量，其联合分布律为分布律为(,) ( ,1,2,)i jijpP Xx Yyi jg(x, y)是一个二元函数，是一个二元函数，Z = g(X, Y)是二是二维随机变量维随机变量(X, Y)的函数，则随机变量的函数，则随机变量Z的分布律为：的分布律为： (,) ( ,1,2,)iji jP Zg xypi j( )( (,)ZFzP g X YzZ的分布密度函数为：的分布密度函数为： ( , )( ,

20、)d dg x yzf x yx y (1) (X, Y)是二维随机变量是二维随机变量Z的分布函数为：的分布函数为：假设：假设：(2) (X, Y)的联合分布函数为的联合分布函数为F(x, y)(3) Z = g(X, Y)是随机变量是随机变量X, Y的二元函数的二元函数( )( )ZZfzFz 第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 方差和标准差方差和标准差第三节第三节 协方差和相关系数协方差和相关系数第四节第四节 切比雪夫不等式及大数律切比雪夫不等式及大数律第五节第五节 中心极限定理中心极限定理第七章第七章 基本知识点基本知识点1122

21、iix px px p () (1,2,)iiP Xxpi设离散型随机变量的概率分布律为设离散型随机变量的概率分布律为 1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望则随机变量则随机变量X的数学期望为：的数学期望为：定义：定义：即即X概率概率x1x2ix1pip2p iiix p ( )E X 2. 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望E(X)() ( )dE Xx f xx 3. 二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(1) (X, Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(,)(),( )E X YE XE Y ()()

22、iiiiiijiiijE Xx P Xxx px p ( )()jjjjjijjjjiE Yy P Yyy py p ()()d(,)d dXE Xxfxxxfx yx y ()()d(,)d dYE Yyfyyyfx yx y (2) (X, Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量4. 随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望定理定理1：设设Y = g(X)是随机变量是随机变量X的函数，的函数，1( ) ()()kkkE YE g Xg xp () (1,2,)iiP Xxpi( ) ()( ) ( )dE YE g Xg x f xx ( )f x概率密度为概率密度为一维情形

23、一维情形 (,)(,)ijijijE g X Yg xyp 定理定理2：1 2, , ,ijijP Xx Yypi j (,)( , ) ( , )d dE g X Yg x y f x yx y ( , )f x y联合概率密度为联合概率密度为 设设Z = g(X, Y)是随机变量是随机变量 X, Y的函数，的函数， 离散型离散型 二维情形二维情形5. 方差方差 2()()D XE XE X 6. 标准差标准差( (均方差均方差) )()()XD X 注：注： 方差的计算方法方差的计算方法(1) 2()()D XE XE X (2) 22()()()D XE XE X 常用的简便方法常用的简

24、便方法描述数据分散程度的指标描述数据分散程度的指标7. 一维随机变量的方差一维随机变量的方差设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为() (1,2,)iiP Xxpi(1) 离散型离散型(2) 连续型连续型设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布密度为的分布密度为 f(x) 22( )d( )dx f xxxf xx22()()()D XE XE X 22iiiiiix px p 22()()()D XE XE X 0-1分布分布p3. 常见分布及其期望和方差常见分布及其期望和方差方差方差D(X)数学期望数学期望E(X)常见分布常见分布pqnpqnp 2ab 2()12ba 2 21 1 二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布指数分布指数分布8. 二维随机变量的方差二维随机变量的方差(,)(),( )D X YD XD Y 9. 随机变量随机变量X和和Y的协方差的定义：的协方差的定义： ()( )EXE XYE Ycov(,)X Y