1、高中数学教案 第6章 不等式的证明（第11课时） 课 题：不等式的证明（6）教学目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式教学重点：构造法教学难点： 构造法授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1重要不等式：如果2定理：如果a,b是正数，那么3公式的等价变形：ab，ab（）24 2（ab0），当且仅当ab时取“”号；5定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）6推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）7比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断与0的关系结论比较法之二（作商法）步骤：作商变形判断与1的关系结论8综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如
2、算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法9分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是：分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题为真，从而有 这只需要证明命题为真，从而又有 这只需要证明
3、命题A为真而已知A为真，故命题B必为真10三角换元：若0x1，则可令x = sinq ()或x = sin2q ()若，则可令x = cosq , y = sinq ()若，则可令x = secq, y = tanq ()若x1，则可令x = secq ()若xR，则可令x = tanq ()11代数换元：“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法12放缩法:13反证法:二、讲解新课：构造法：构造函数法; 构造方程法; 构造图形法三、讲解范例：例1已知x 0，求证： 证明：（构造函数法）构造函数 ， 设2ab 由显然 2a 0, ab - 1 0, ab 0 上式 0f (x)在上单调递增
4、，左边例2 求证： 证明：（构造函数法）设 则令 3t1 0，则 即b, c是二次方程的两个实根 a2例3 求证： 证明：（构造方程法）设 ，则(y - 1)tan2q + (y + 1)tanq + (y - 1) = 0当 y = 1时，命题显然成立当 y 1时，= (y + 1)2 - 4(y - 1)2 = (3y - 1)(y - 3)0，综上所述，原不等式成立（此法也称判别式法） 例5 已知0 a 1，0 b 1，求证：证明：（构造图形法）构造单位正方形，O是正方形内一点O到AD, AB的距离为a, b，则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|AC| + |BD|其中，
5、 又 四、小结 ：五、课后作业：证明下列不等式：1（构造函数法）令，则 (y - 1)x2 + (y + 1)x + (y - 1) = 0用法，分情况讨论2已知关于x的不等式(a2 - 1)x2 - (a - 1)x - 1 0, y 0, x + y = 1，则（构造函数法）左边 令 t = xy，则在上单调递减 4若，且a2 b 0，则| f (a) - f (b) | | a - b|（构造图形法）构造矩形ABCD, F在CD上，使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1, 则|AC| - |AF| 0，则（构造图形法）作AOB = BOC = COA = 120, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z则由余弦定理 |AC| |BC| ,|CA|因为|AC+|BC|CA|，所以 +六、板书设计（略）七、课后记： 第 5页（共5页）
