1、一、选择题 1.ABCD 中三个顶点 A、B、C 的坐标分别是(1，2)、(3，0)、(5，1)，则点 D 的坐标是( ) A.(9，1) B.(3，1) C.(1，3) D.(2，2) 解析 由平行四边形对边互相平行， 即斜率相等， 可求出 D 点坐标.设 D(x， y)， 则 k ABkDC， kADkBC，即 20 13 y1 x5， 2y 1x 01 35. x1， y3. ，故 D(1，3). 答案 C 2.要得到函数 ysin 4x 3 的图像，只需将函数 ysin 4x 的图像( ) A.向左平移 12个单位 B.向右平移 12个单位 C.向左平移 3个单位 D.向右平移 3个单
2、位 解析 由ysin 4x 3 sin 4 x 12 得， 只需将ysin 4x的图像向右平移 12个 单位即可，故选 B. 答案 B 3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 x5x， y3y 后，曲线 C 变为曲线 x2 4y21，则曲线 C 的方程为( ) A.25x236y21 B.9x2100y21 C.10x24y1 D. 2 25x 28 9y 21 解析 将 x5x， y3y 代入 x24y21， 得 25x236y21，为所求曲线 C 的方程. 答案 A 4.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A.椭圆 B.比原来大的圆 C.比原来小的圆 D.双曲线 解析 设圆的
3、方程为(xa)2(yb)2r2， 变换为 xx， yy，化为 x1 x， y1 y， (， 不为零). 1 xa 2 1 yb 2 r2， 1 2(xa) 21 2(yb) 2r2， （xa） 2 （r）2 （yb） 2 （r）2 1.此方程不可能是双曲线. 答案 D 二、填空题 5.ABC 中，B(2，0)，C(2，0)，ABC 的周长为 10，则 A 点的轨迹方程为 _. 解析 ABC 的周长为 10， |AB|AC|BC|10.其中|BC|4， 即有|AB|AC|64. A 点轨迹为椭圆除去长轴两端点， 且 2a6，2c4.a3，c2，b25. A 点的轨迹方程为x 2 9 y2 51
4、(y0). 答案 x2 9 y2 51 (y0) 6.在平面直角坐标系中， 方程 x2y21 所对应的图形经过伸缩变换 x2x， y3y 后 的图形所对应的方程是_. 解析 代入公式，比较可得x 2 4 y 2 9 1. 答案 x2 4 y 2 9 1 7.ycos x 经过伸缩变换 x2x， y3y 后曲线方程变为_. 解析 由 x2x， y3y，化为 x1 2x， y1 3y， 代入 ycos x 中得：1 3ycos 1 2x，即：y3cos 1 2x. 答案 y3cos1 2x 8.台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心 30 km 内的 地区为危险区，
5、城市 B 在 A 地正东 40 km 处，则城市 B 处于危险区内的时间 为_h. 解析 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角 坐标系，则 B(40，0)，以点 B 为圆心，30 为半径的圆的方程 为(x40)2y2302，台风中心移动到圆 B 内时，城市 B 处于 危险区，台风中心移动的轨迹为直线 yx，与圆 B 相交于点 M，N，点 B 到直 线 yx 的距离 d 40 220 2. 求得|MN|2 302d220(km)， 故|MN| 20 1，所以城市 B 处于危险区的时间为 1 h. 答案 1 三、解答题 9.已知ABCD，求证：|AC|2|BD|22(|AB|
6、2|AD|2). 证明 法一 坐标法 以 A 为坐标原点 O，AB 所在的直线为 x 轴，建立平面 直角坐标系 xOy， 则 A(0，0)，设 B(a，0)，C(b，c)， 则 AC 的中点 E b 2， c 2 ，由对称性知 D(ba，c)，所以|AB|2 a2，|AD|2(ba)2c2， |AC|2b2c2， |BD|2(b2a)2c2， |AC|2|BD|24a22b22c24ab 2(2a2b2c22ab)， |AB|2|AD|22a2b2c22ab， |AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2). 法二 向量法 在ABCD 中，AC ABAD ， 两边平方得AC 2|AC|2AB2
7、AD22AB AD ， 同理得BD 2|BD |2BA 2BC22BA BC， 以上两式相加，得 |AC |2|BD |22(|AB |2|AD |2)2BC (ABBA) 2(|AB |2|AD |2)， 即|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2). 10.通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆（x1） 2 9 （y2）2 4 1 变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及 这两种变换的合成变换. 解 先通过平移变换 xx1， yx2 把椭圆（x1） 2 9 （y2） 2 4 1 变为椭圆x 2 9 y 2 4 1.再通过伸缩变换 xx 3， yy 2 把椭圆x 2 9 y 2 4 1 变为单位圆 x2y21. 由上述两种变换合成的变换是 x1 3（x1）， y1 2（y2）.
