1、一、选择题 1.设 f(n) 1 n1 1 n2 1 n3 1 2n(nN)，那么 f(n1)f(n)等于( ) A. 1 2n1 B. 1 2n2 C. 1 2n1 1 2n2 D. 1 2n1 1 2n2 解析 f(n) 1 n1 1 n2 1 n3 1 2n f(n1) 1 n2 1 n3 1 2n 1 2n1 1 2n2 f(n1)f(n) 1 2n1 1 2n2 1 n1 1 2n1 1 2n2，选 D. 答案 D 2.用数学归纳法证明：“1aa2an 11a n2 1a (a1)”在验证 n1 时， 左端计算所得的项为( ) A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3 解析
2、当 n1 时，an 1a2， 左边应为 1aa2，故选 C. 答案 C 3.用数学归纳法证明：(n1)(n2) (nn)2n13(2n1)时，从“k 到 k 1”左边需增乘的代数式是( ) A.2k1 B.2k1 k1 C.2(2k1) D.2k2 k1 解析 nk 时，(k1)(k2)(kk)2k13(2n1). nk1 时，(k2)(kk) (k1k)(k1k1). 增乘的代数式是（2k1）（2k2） k1 2(2k1)，选 C. 答案 C 二、填空题 4.数列an中，已知 a11，当 n2 时，anan12n1，依次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an的表达式是_. 解析 a11，a2
3、a134，a3459，a49716，猜想 ann2. 答案 ann2 5.记凸 k 边形对角线的条数为 f(k)(k4)，那么由 k 到 k1 时，对角线条数增加 了_条. 解析 f(k)1 2k(k3)，f(k1) 1 2(k1)(k2)，f(k1)f(k)k1. 答案 k1 6.在数列an中，a11 3，且Snn(2n1)an.通过求a2，a3，a4猜想an的表达式是 _. 解析 1 3a22(221)a2，a2 1 15， 1 3 1 15a33(231)a3，a3 1 35， 1 3 1 15 1 35a44(241)a4，a4 1 63， 猜想 an 1 （2n）21. 答案 an
4、1 （2n）21 三、解答题 7.求证：(n1) (n2) (nn)2n135(2n1) (nN). 证明 (1)当 n1 时，等式左边2，等式右边212， 等式成立. (2)假设 nk(kN )时，等式成立. 即(k1)(k2) (kk)2k135(2k1)成立. 那么当 nk1 时， (k2)(k3) (kk)(2k1)(2k2) 2(k1)(k2)(k3) (kk)(2k1) 2k 1135(2k1)2(k1)1. 即 nk1 时等式成立. 由(1)、(2)可知对任意 nN，等式都成立. 8.求证： 1 n1 1 n2 1 3n 5 6(n2，nN). 证明 (1)当 n2 时，左边1
5、3 1 4 1 5 1 6 5 6，不等式成立. (2)假设 nk (k2，kN)时命题成立，即 1 k1 1 k2 1 3k 5 6，则当 nk 1 时， 1 （k1）1 1 （k1）2 1 3k 1 3k1 1 3k2 1 3（k1） 1 k1 1 k2 1 3k 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1 5 6 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1 5 6 3 1 3k3 1 k1 5 6， 所以当 nk1 时不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式对一切 n2，nN均成立. 9.在数列bn中，b12，bn13b n4 2bn3(nN ).求 b2，b3，试判定 bn与
6、2的大 小，并加以证明. 解 由 b12，bn13b n4 2bn3，得 b2 324 223 10 7 ，b358 41. 经比较有 b1 2，b2 2，b3 2. 猜想 bn 2(nN). 下面利用数学归纳法证明. (1)当 n1 时，因 b12，所以 2b1. (2)假设当 nk(k1，kN)时，结论成立，即 2bk. bk 20. 当 nk1 时，bk1 23b k4 2bk3 2 （32 2）b k（43 2） 2bk3 （32 2）（b k 2） 2bk3 0. bk1 2，也就是说，当 nk1 时，结论也成立. 根据(1)、(2)，知 bn 2(nN). 10.用数学归纳法证明：
7、当 nN时，(123n) 11 2 1 3 1 n n2. 证明 (1)当 n1 时，左边1，右边121，左边右边，不等式成立. (2)假设 nk (k1，kN)时不等式成立， 即(123k) 11 2 1 3 1 k k2， 则当 nk1 时，左边(12k)(k1) 11 2 1 3 1 k 1 k1 (123k) 11 2 1 3 1 k (123 k) 1 k1(k1) 11 2 1 3 1 k 1k2k（k1） 2 1 k1 (k1) 11 2 1 3 1 k 1 k2k 21(k1) 11 2 1 3 1 k ， 当 k2 时，11 2 1 3 1 k1 1 2 3 2， 左边k2k 21(k1) 3 2 k22k13 2(k1) 2. 这就是说，当 nk1 时，不等式成立. 由(1)(2)知，当 nN时，不等式成立.
