高考数学限时训练 (46).doc

1、 章末质量评估(一) (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 50 分) 1.在极坐标系中有如下三个结论： 点 P 在曲线 C 上，则点 P 的极坐标满足曲线 C 的极坐标方程； tan 1 与 4表示同一条曲线； 3 与 3 表示同一条曲线. 在这三个结论中正确的是( ) A. B. C. D. 解析 点 P 在曲线 C 上要求点 P 的极坐标中至少有一个满足 C 的极坐标方程； tan 1 能表示 4和 5 4 两条射线； 3 和 3 都表示以极点为圆心， 以 3 为半径的圆，只有成立. 答案 D 2.在极坐标系中，曲线 4sin 6 关于( ) A.直线

2、 2 3 对称 B.直线 5 6 对称 C.点 2， 3 中心对称 D.极点中心对称 解析 将4sin 6 化为直角坐标方程为x2y22x2 3y0， 圆心(1, 3) 化为极坐标为 2， 3 ，故应选 C. 答案 C 3.已知三点 A(1，0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则ABC 外接圆的圆心到原点的距 离为( ) A.5 3 B. 21 3 C.2 5 3 D.4 3 解析 先根据已知条件分析ABC 的形状，然后确定外心 的位置，最后数形结合计算外心到原点的距离.在坐标系中画出ABC(如图)， 利用两点间的距离公式可得|AB|AC|BC|2(也可以借助图形直接观察得 出)，所以ABC

3、 为等边三角形.设 BC 的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重 心.所以|AE|2 3|AD| 2 3 3 ，从而|OE|OA|2|AE|214 3 21 3 ，故选 B. 答案 B 4.极坐标 cos 4 表示的曲线是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 解析 法一 常见的是将方程化为直角坐标方程，可以判断曲线形状，由于 不恒等于 0，方程两边同乘 ， 得 2cos 4 2 2 cos 2 2 sin 2 2 (cos sin )， 即 1 2(cos sin )， 2 2cos sin . 在以极点为原点，以极轴为 x 轴正半轴的直角坐标系中， cos x，sin y，2x

4、2y2， 因此有 x2y2 2 2 (xy)， 故方程 cos 4 表示圆. 法二 极坐标方程 2acos 表示圆，而 4 与极轴的旋转有关，它只影响 圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程 cos 4 表示圆. 答案 D 5.在极坐标系中，与圆 4sin 相切的一条直线方程为( ) A.sin 2 B.cos 2 C.cos 4 D.cos 4 解析 如图所示，C 的极坐标方程为 4sin ，COOx， OA 为直径，|OA|4，l 和圆相切，l 交极轴于 B(2，0)，点 P(，)为 l 上任意一点， 则有 cos |OB| |OP| 2 ，得 cos 2. 答案 B 6.圆 2(cos

5、sin )的圆心坐标是( ) A. 1， 4 B. 1 2， 4 C. 2， 4 D. 2， 4 解析 可化为直角坐标方程 x 2 2 2 y 2 2 2 1 或化为 2cos 4 ， 这 是 2rcos(0)形式的圆的方程. 答案 A 7.极坐标方程 cos 与 cos 1 2的图形是( ) 解析 cos 两边同乘以 得 2cos 化为直角坐标方程为 x2y2x0 表示圆，cos 1 2表示过点 1 2，0 与极轴 垂直的直线. 答案 B 8.化极坐标方程 2cos 0 为直角坐标方程为( ) A.x2y20 或 y1 B.x1 C.x2y20 或 x1 D.y1 解析 (cos 1)0，

6、x2y20，或 cos x1，即 x2y20 或 x 1. 答案 C 9.极坐标方程 cos 2sin 2 表示的曲线为( ) A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆 解析 cos 4sin cos ，cos 0，或 4sin ， 即 24sin ，则 k 2或 x 2y24y. 答案 C 10.已知 f1(x)cos x，f2(x)cos x(0)，f2(x)的图像可以看做是把 f1(x)的图像 在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的1 3倍(纵坐标不变)而得到的，则 为( ) A.1 2 B.2 C.3 D.1 3 解析 本题直接考查变换规律：函数 ycos

7、x，xR (其中 0，1)的图 像，可以看做把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当 1 时)或伸长(当 01 时)到原来的1 倍(纵坐标不变)而得到.因此应选 C. 答案 C 二、填空题(每小题 5 分，共 30 分) 11.在极坐标系中，圆 8sin 上的点到直线 3(R)距离的最大值是 _. 解析 圆 8sin 化为直角坐标方程为 x2y28y0，即 x2(y4)216， 直线 3(R)化为直角坐标方程为 y 3x，结合图形知圆上的点到直线的 最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径.圆心(0，4)到直线 y 3x 的 距离为 4 （ 3）2122，又圆的半径 r4，所以圆上的点到直线的最大

8、距离 为 6. 答案 6 12.在极坐标系中，曲线 4sin 3 关于_对称. 解析 化 4sin 3 可得 4cos 5 6 ，表示以 2，5 6 为圆心的圆，故曲 线 4sin 3 关于直线 5 6 对称. 答案 直线 5 6 13.已知直线 l 的极坐标方程为 2sin 4 2， 点 A 的极坐标为 A 2 2，7 4 ， 则点 A 到直线 l 的距离为_. 解析 由 2sin 4 2，得 2 2 2 sin 2 2 cos 2，yx1.由点 A 的极坐标为 2 2，7 4 得点 A 的直角坐标为(2，2)， d|221| 2 5 2 2 . 答案 5 2 2 14.极坐标方程分别为 c

9、os 与 sin 的两个圆的圆心距为_. 解析 两圆的圆心分别为 1 2，0 和 0，1 2 ，圆心距为 2 2 . 答案 2 2 15.在极坐标系中，曲线 C1与 C2的方程分别为 2cos2sin 与 cos 1，以 极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， 则曲线 C1与 C2交点的直角坐标为_. 解析 曲线 C1普通方程 2x2y； 曲线 C2普通方程 x1.联立曲线 C1与曲线 C2， 可得 2x 2y， x1， 解得 x1， y2，因此两曲线的交点坐标为(1，2). 答案 (1，2) 16.球坐标 2， 6， 3 对应点的直角坐标为_. 解析 直接代

10、入互化公式 xrsin cos ， yrsin sin ， zrcos ， 得 x 1 2， y 3 2 ， z 3. 答案 1 2， 3 2 ， 3 三、解答题(每小题 10 分，共 40 分) 17.在同一平面直角坐标系中，将直线 x2y2 变成直线 2xy4，求满足图 像变换的伸缩变换. 解 设变换为 xx， yy 代入第二个方程， 得 2xy4 与 x2y2 比较，将其变成 2x4y4，比较系数得 1， 4. 伸缩变换公式为 xx， y4y. 即直线 x2y2 图像上所有点的横坐标不变， 纵坐标扩大到原来的 4 倍可得到 直线 2xy4. 18.建立适当的柱坐标系表示棱长为 3 的正四

11、面体各个顶点坐标. 解 以正四面体的一个顶点 B 为极点 O， 选取以 O 为端点且与 BD 垂直的射线 Ox 为极轴，在面 BCD 上建立极坐标系，以过 O 点与面 BCD 垂直的线为 z 轴. 过 A 作 AA垂直于平面 BCD，垂足为 A， 则|BA|3 2 3 2 3 3， |AA|32（ 3）2 6，ABx 2 6 3， 则 A 3， 3， 6 ，B(0，0，0)，C 3， 6，0 ，D 3， 2，0 . 19.在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1，C2的极坐标方程； (2

12、)若直线C3的极坐标方程为 4(R)， 设C2与C3的交点为M， N， 求C2MN 的面积. 解 (1)因为 xcos ，ysin ， 所以 C1的极坐标方程为 cos 2， C2的极坐标方程为 22cos 4sin 40. (2)将 4代入 22cos 4sin 40， 得 23 240，解得 12 2，2 2. 故 12 2， 即|MN| 2. 由于 C2的半径为 1， 所以C2MN 的面积为1 2. 20.在平面直角坐标系中，已知点 A(3，0)，点 P 是圆 x2y2 1 上的一个动点，且AOP 的平分线交 PA 于点 Q，如 图所示，求 Q 点的轨迹的极坐标方程. 解 以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设 Q(，)，P(1，2). 如图所示. SOQASOQPSOAP， 1 2 3sin 1 2sin 1 2 3 1 sin 2. 3 2cos .