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1、概率论概率论 第六节第六节 独立性独立性两个事件的独立性两个事件的独立性多个事件的独立性多个事件的独立性独立性的概念在计算概率中的应用独立性的概念在计算概率中的应用小结小结 -概率论概率论 显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的概发生的概率率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.一、两事件的独立性一、两事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点， B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 -概率论概率论 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A、B独

2、立时，有独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性刻划独立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它不受它不受 P(B)0 或或 P(A)0 的制约的制约. P ABP A B P B -概率论概率论 若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)则称则称A、B相互独立相互独立，简称，简称A、B独立独立.两事件独立的定义两事件独立的定义 1 定理定理 独立的充要条件为独立的充要条件为、事件事件BA 0,|0, | APBPABPBPAPBAP 或或 -概率论概率论 由于由于“甲

3、命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的概率，的概率，故认为故认为A、B独立独立 .甲、乙两人向同一目标射击甲、乙两人向同一目标射击,记记 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率） 在实际应用中在实际应用中, 往往往往根据问题的实际意义去根据问题的实际意义去判断两事件是否独立判断两事件是否独立. -概率论概率论 一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2(1)若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 则则A

4、1与与A2独立独立.因为第二次抽取的结果受到第一次因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响抽取的影响.又如：又如：因为第二次抽取的结果因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响不受第一次抽取的影响.(2)若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独立不独立. -概率论概率论 请问：如图的两个事件是独立的吗？请问：如图的两个事件是独立的吗？ AB即即 若若A、B互不相容互不相容,且且P(A)0, P(B)0,则则A与与B不独立不独立.反之反之,若若A与与B独立独立,且且P(A)0,P(B)0,则则A、 B相容相容.而而P(A) 0, P(B) 0故故 A、B不独立不独立P(AB)=0

5、P(AB) P(A)P(B)即即BA此例说明此例说明: :互不相容与相互独立不能同时成立。互不相容与相互独立不能同时成立。 -概率论概率论 问：能否在样本空间问：能否在样本空间S中找两个事件中找两个事件,它们既相互它们既相互独立又互不相容独立又互不相容?这两个事件就是这两个事件就是 S和和P( S) =P( )P(S)=0与与 S独立且互不相容独立且互不相容s不难发现，不难发现， 与任何事件都独立与任何事件都独立. -概率论概率论 =P(A)1- P(B)= P(A)- P(AB)BP(A )= P(A - A B)A、B独立独立概率的性质概率的性质= P(A)- P(A) P(B)仅证仅证A

6、与与 独立独立B定理定理 2 若两事件若两事件A、B独立独立, 则则 BABABA与与与,也相互独立也相互独立.证明证明B= P(A) P( )故故 A与与 独立独立B -概率论概率论 定义定义 , 如果满足等式如果满足等式为三事件为三事件、设设CBA CPBPBCPCPAPACPBPAPABP . 为两两独立的事件为两两独立的事件、则称三事件则称三事件CBA二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性 、三个事件的独立性三个事件的独立性 -概率论概率论 对于三个事件对于三个事件A、B、C，若，若 P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(

7、ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立四个等式同时成立,则称则称事件事件A、B、C相互独立相互独立.事件事件A、B、C相互独立相互独立事件事件A、B、C两两独立两两独立缺一不可缺一不可 -概率论概率论 例如例如 , ,4321 S , ,3121 BA , ,41则则 C , 21 CPBPAP , BPAP 41 ACP , 并且并且 41 ABP ,P A P C 41 BCP . CPBP . 两两独立两两独立、即事件即事件CBA但是但是 41 ABCP . CPBPAP -概率论概率论 定义定义 , , , 21如果对于任意如果对于任意个事件个事件为为设设nAAAn 1

8、 , 1 21有等式有等式和任意的和任意的的的niiinkkk kkiiiiiiAPAPAPAAAP 2121 . , , 21为相互独立的事件为相互独立的事件则称则称nAAA请注意请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立两两独立相互独立相互独立对对 n (n 2)个事件个事件?、n个事件的独立性个事件的独立性 -概率论概率论 性质：性质：(1)若若事件事件 相互独立，相互独立， 则其中的任意则其中的任意k 个事件也相互独立个事件也相互独立)2(,21nAAAn)2(nk (2) 若事件若事件 相互独立，相互独立，则将中任意多个则将中任意多个事

9、件换成其对立事件，所得新的事件换成其对立事件，所得新的n个事件个事件仍相互独立仍相互独立)2(,21nAAAn)2(,21nAAAn（相互独立事件至少发生其一的概率的计算）（相互独立事件至少发生其一的概率的计算）若若 是相互独立的事件，则是相互独立的事件，则nAAA,21 )(21nAAAP)(121nAAAP )()()(121nAPAPAP )(121nAAAP (3) -概率论概率论 npniiAP111则有 pnAPAPAP21特别地，如果注意注意: :1111npniiAP,n时时当当说明：说明：小概率事件虽然在一次试验中几乎是不小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，但是迟早要发

10、生。发生的，但是迟早要发生。 -概率论概率论 例例1 1 若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为0.002,0.002,求在有求在有15001500人看电影的剧场中有感冒病毒的概率。人看电影的剧场中有感冒病毒的概率。 解解 以以 表示事件表示事件“第第i个人带有感冒病毒个人带有感冒病毒”（i=1,2,=1,2,，15001500），假定每个人是否带有感冒病毒），假定每个人是否带有感冒病毒 是相互独立的，则所求概率为是相互独立的，则所求概率为iA对独立事件，许多概率计算可得到简化对独立事件，许多概率计算可得到简化三、独立性的概念在计算概率中的应用三、独立性的概念

11、在计算概率中的应用 -概率论概率论 从这个例子可见，虽然每个带有感冒病毒的可从这个例子可见，虽然每个带有感冒病毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气中含有感冒病能性很小，但许多聚集在一起时空气中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现象称为小概率事件的毒的概率可能会很大，这种现象称为小概率事件的效应。卫生常识中效应。卫生常识中, ,不让婴儿到人多的公共场所去就不让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理是这个道理。150021150011AAAPAPii 95. 0111002. 01113002. 01500002. 01ln15001500121eeeAPAPAP -概率论概率论 例例2 下面是一个

12、串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件都是电路中的元件. 它们下它们下方的数是它们各自正常工作的概率方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工求电路正常工作的概率作的概率.ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0 -概率论概率论 解解 将电路正常工作记为将电路正常工作记为W，由于各元件独立工，由于各元件独立工作，有作，有其中其中P(W) 0.782代入得代入得 P WP A P B P CDE P FG P H0.973 1P FGP F P G0.9735 )()()(1)(E

13、PDPCPEDCP -概率论概率论 例例3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击三人击中的概率分别为中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞飞 机被一人击中而击落机被一人击中而击落的概率为的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都若三人都击中击中, 飞机必定被击落飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率. 设设A=飞机被击落飞机被击落 Bi=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式则则 A=B1A+B2A+B3A解解依题意，依题意，P(A|B1)=0.2, P(A|B2)

14、=0.6, P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A |B3) -概率论概率论 可求得可求得 为求为求P(Bi ) , 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3 将数据代入计算得将数据代入计算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14. 1123123123P BP H H HH H HH H H 2123123123P BP H H HH H HH H H 3123P BP H H H -概率论概率论 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B

15、3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.于是于是 -概率论概率论 四、小结四、小结 这一讲，我们介绍这一讲，我们介绍了事件独立性的概念了事件独立性的概念. 不不难发现，当事件相互独立时，乘法公式难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分变得十分简单，因而也就特别重要和有用简单，因而也就特别重要和有用. . 如果事件是独如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化立的，则许多概率的计算就可大为简化. . -概率论概率论 1 1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。系及运算。2 2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。质。 3 3 给出了给出了条件概率条件概率的定义及乘法公式、的定义及乘法公式、全概率全概率 公式和贝叶斯公式公式和贝叶斯公式。4 4 给出了随机事件独立性的概念，给出了随机事件独立性的概念，会利用事件会利用事件 独立性进行概率计算独立性进行概率计算。本章要点本章要点 -