高数3-6边际与弹性.课件.ppt

1、一、边际的概念一、边际的概念二、经济学中常见的边际函数二、经济学中常见的边际函数五、小结五、小结 思考题思考题三、弹性的概念三、弹性的概念 第六节第六节 边际与弹性边际与弹性四、经济学中常见的弹性函数四、经济学中常见的弹性函数 一、 边际的概念如如果果函函数数)(xfy 在在 0 x处处可可导导，则则在在),(00 xxx内内的的平平均均变变化化率率为为xy；在在0 xx 处处的的瞬瞬时时变变化化率率为为 )()()(lim0000 xfxxfxxfx ， 经经济济学学中中称称它它为为)(xf在在0 xx 处处的的边边际际函函数数值值. 定义定义1例例1解解1. 边际成本边际成本QQCQQCL

2、imQCLimQCQCQQ )()()()(00的的导导数数总总成成本本函函数数1)边际成本边际成本二、 经济学中常见的边际函数2)边际平均成本：边际平均成本：.)()()()()(2称称为为平平均均边边际际成成本本的的导导数数平平均均成成本本QQCQCQQQCQCQC )()()()(1010QCCQCQCCQC 即即：之之和和，与与可可变变成成本本等等于于固固定定成成本本总总成成本本例例 2 2 设设某某产产品品生生产产Q单单位位的的总总成成本本为为12001100)(2QQC ， 求求：( (1 1) )生生产产 9 90 00 0 个个单单位位的的总总成成本本和和平平均均成成本本； (

3、 (2 2) )生生产产 9 90 00 0 个个单单位位到到 1 10 00 00 0 个个单单位位时时的的总总成成本本的的平平均均变变化化率率； ( (3 3) )生生产产 9 90 00 0 个个单单位位的的边边际际成成本本，并并解解释释其其经经济济意意义义. . 解解(1)生产生产900个单位时的总成本为个单位时的总成本为177512009001100)(2900 QQC平均成本为平均成本为99. 19001775)(900 QQC（2）生产）生产900个单位到个单位到1000个单位时总成本的个单位时总成本的 平均变化率为平均变化率为58. 1100177519939001000)90

4、0()1000()( CCQQC5 . 1)(900,60012002)()3(900 QQCQQQQC时时的的边边际际成成本本当当边边际际成成本本函函数数2. 边际收益边际收益定义：定义：.)()()()(00称称为为边边际际收收益益函函数数的的导导数数总总收收益益函函数数QQRQQRLimQRLimQRQRQQ )()()()()()(QPQQPQRQPQPQQRQPPP ，因因此此为为价价格格，设设例例 3 设设某某产产品品的的需需求求函函数数为为520QP ， 其其中中P为为价价格格，Q为为销销售售量量，求求销销售售量量为为 15 个个单单位位时时的的总总收收益益，平平均均收收益益与与

5、边边际际收收益益并并求求销销售售量量从从 15 个个单单位位增增加加到到 20 个个单单位位时时收收益益的的平平均均变变化化率率 解解520)(2QQQQPR 总总收收益益为为1715255)(1515 QQQQRR平平均均收收益益255)520(1515215 QQQQR总总收收益益个个单单位位时时销销售售14)5220()(1515 QQQQR边边际际收收益益1352553201520)15()20(2015 RRQR化化率率为为个个单单位位时时收收益益的的平平均均变变个个单单位位增增加加到到当当销销售售量量从从解解)60(10)(2 QQePQQRQ收收益益函函数数)60()2(5)(2

6、 QeQQRQ边边际际收收益益函函数数3. 边际利润边际利润定义：定义：.)()()()(00称称为为边边际际利利润润的的导导数数总总利利润润函函数数QQLQQLLimQLLimQLQLQQ 边际利润表示：若已经生产了边际利润表示：若已经生产了Q单位产单位产品，再生产一个单位产品所增加的总利润品，再生产一个单位产品所增加的总利润 000)(,)()()()(,)()()(),()()(QLQCQCQCQRQCQRQLQCQRQL时时与与边边际际成成本本决决定定边边际际利利润润可可由由边边际际收收入入显显然然则则边边际际利利润润为为之之差差即即与与总总成成本本函函数数等等于于总总收收益益函函数数

7、数数一一般般情情况况下下，总总利利润润函函)()()(QCQRQL则则边边际际利利润润为为,10250)(QQL 50)20()(20 LQLQ0)25()(25 LQLQ100)35()(35 LQLQ上述结果表明当生产量为每月上述结果表明当生产量为每月2020吨时，再增加一吨，利润将增加吨时，再增加一吨，利润将增加5050元，当产量为每月元，当产量为每月2525吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为3535吨吨时，再增加一吨，利润将减少时，再增加一吨，利润将减少100100此处说明，对厂家来说，并非此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越多，利润越高生产的产

8、品越多，利润越高. .解解4. 边际需求边际需求定义定义( )( ).Qf PQPdPf PdQ 若是需求函数，则需求量 对价格的导数称为边际需求函数解解8)(4,2dd)(4 PPQPPQPPQ时时的的边边际际需需求求为为当当它的经济意义是价格为它的经济意义是价格为4时，价格上涨（或时，价格上涨（或下降）下降）1个单位，需求量将减少（或增加）个单位，需求量将减少（或增加）8个单个单位位.例例 6 6 某商品的需求函数为某商品的需求函数为275)(PPQQ ，求，求4 P 时的边际需求，并说明经济意义时的边际需求，并说明经济意义 练习题2(1)()67( 2 )()21 3(3 )()1 22

9、( 4 )()546(3 )2 5 ,(3 )7(3 )6 ,(3 )4 7CQQLQQRQQCQQQCLRC 解 ：三、三、弹性的概念弹性的概念甲商品每单位价格甲商品每单位价格5元，涨价元，涨价1元元；乙商品每单位价格乙商品每单位价格200元，也涨价元，也涨价1元元；与原价相比，甲商品涨价与原价相比，甲商品涨价20%，乙商品涨价，乙商品涨价0.5%。 显然甲商品涨价幅度比乙商品涨价幅度更大。如果乙显然甲商品涨价幅度比乙商品涨价幅度更大。如果乙商品的涨价是由甲商品涨价引起的，则若甲涨价商品的涨价是由甲商品涨价引起的，则若甲涨价1%，乙，乙会涨价会涨价0.025%。相对改变量相对改变量绝对改变量

10、绝对改变量 即乙商品相对于甲商品的平均即乙商品相对于甲商品的平均相对变化率相对变化率(即弹性即弹性)为为0.025。1. 1. 弹性的定义弹性的定义定义定义)()(limlim0000000000 xfxxfxyxyxxyyxEyExxxx 即即 .弹性函数的定义弹性函数的定义00()( , )/()0limlim/()( , ).xxyfxa bEyyyyxxfxyExxxxyyyfxa b 一一般般地地，若若函函数数在在区区间间内内可可导导，且且，则则称称为为函函数数在在区区间间内内的的点点弹弹性性函函数数，简简称称弹弹性性函函数数弹性反映的是弹性反映的是( )xyxf xxy的的变变化化

11、幅幅度度对对变变化化幅幅度度大大小小的影响，即的影响，即( )f xx对对 变变化化反反应应的的强强烈烈程程度度或或灵灵敏敏度度。弹性在经济学上又可理解为边际函数与平均函数之比。弹性在经济学上又可理解为边际函数与平均函数之比。E yxyyyxE xy 1. 1. 需求弹性需求弹性需求的价格弹性需求的价格弹性 需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度的需求量的反应程度.用公式表示为用公式表示为.ddlim0QPPQQPPQEpP 四、 经济学中常见的弹性函数注注因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，因为需求量与价格的变化

12、总沿着相反的方向，需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常用符号用符号 表示。表示。 ( )dP dQpEQ dP例例1 1解解100dd PQ100020 QP时时，当当.2100020100 PE所所以以时时的的弹弹性性当当，求求某某需需求求曲曲线线为为：203000100 PPQ.收收益益的的销销售售弹弹性性EQER2. 收益弹性收益弹性RPPREPER ddRQQREQERdd收收益益的的价价格格弹弹性性；式式中中： EPER解：解：PPXPRPX/10)(,/100

13、422 11010/10d)/10(d244244 PPPPPPEPER 当需求价格弹性大于当需求价格弹性大于1时，降价增加销售收入；时，降价增加销售收入；当需求价格弹性小于当需求价格弹性小于1时，降价反而会减少销时，降价反而会减少销售收入售收入 此时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，边际收益小于边际收益小于0 0，即价格上涨，总收益减少，价格，即价格上涨，总收益减少，价格下跌，总收益增加；下跌，总收益增加； 此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，边际收益大于边际收益大于0 0，即价格上涨，总收益增加，价格，即

14、价格上涨，总收益增加，价格下跌，总收益减少；下跌，总收益减少；当需求价格弹性等与当需求价格弹性等与1时，当价格的变化时，时，当价格的变化时，总收益不变总收益不变解解22275275)2(dd)1(PPPPPQPPQ 54. 04 时，时，P%54. 0)(%1 )(4增加增加，需求量减少，需求量减少下降下降价格上涨价格上涨时，时，其经济意义是其经济意义是 P23232)()(75)75()(753)()75(40.46R QppppERppR QpEpR QpERpEp，1%,价格上收益增加0.46%3. 供给弹性供给弹性定义：定义：，则则供供给给弹弹性性弹弹性性设设价价格格曲曲线线通通常常指

15、指的的是是供供给给的的价价格格)(PfQ 供给的价格弹性供给的价格弹性，式中：，式中： PPEQPPQEdd解：解：PPQPQPEPPQ323dd, 3dd 故故时时当当3 P11933233 PE.3,327时时的的供供给给弹弹性性及及当当求求供供给给弹弹性性函函数数设设某某产产品品的的供供给给函函数数例例 PPQ五小结思考题边际的基本概念边际的基本概念1 边际成本边际成本2 边际收益边际收益3 边际利润边际利润4 边际需求边际需求弹性的基本概念弹性的基本概念1 需求弹性需求弹性2 供给弹性供给弹性3 收益弹性收益弹性边际函数的计算边际函数的计算弹性函数的计算弹性函数的计算 练习题答案练习题

16、答案利利用用提提示示：利利用用人人；略略；，元元；元元，略略；)(100.12;190),0(25.1125.10.9;1 ,4.8;350)()3(,50)()2( ,3)()1.(78.624.120.5225.9.431MCACMQQQQLQQRQQC 略。略。，）略，（略，（利用互交叉弹性公式利用互交叉弹性公式略；略；增加增加；增加增加增加增加增加增加)3( ,12)1.(24;7 . 0/)2(6 . 0 , 1 )1.(23;30,5030,300 .22.21%;6 .28.20%11%3%,21%13.19%;75. 0.18;2,6.17%;7 .16%10.16;45, 1 ,43.15;2 .14;)3( , 1)2( ,2)1.(1312121212BBAAYYYYYYXXXXYXIKIKPPPPPPQQQQEPPPbaPbPaPPbxaxx