内蒙古赤峰市2022届高三下学期4月模拟考试 数学(理科) 试题（学生版+解析版）.docx

1、赤峰市高三年级420模拟考试试题理科数学2022.4注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ）A. B. C. D. 3. 设、是两个命题，则“为假”是“为真”的（ ）A. 充分不必

2、要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 2022年2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会闭幕，中国代表团夺得9枚金牌、4枚银牌、2枚铜牌，下表是本届冬奥会夺得金牌数前10名的代表团获得的金牌数、银牌数、铜牌数、奖牌总数：排名代表团金牌数银牌数铜牌数奖牌总数1挪威16813372德国12105273中国942154美国8107255瑞典855186荷兰854177奥地利774188瑞士725149俄罗斯奥委会612143210法国57214则对这10个代表团来说，下列结论正确的是（ ）A. 金牌数的众数是16B. 银牌数的中位数是7C. 铜牌数的平均数是9D. 奖

3、牌总数的极差是225. 已知等差数列满足，则下列选项一定正确的是（ ）A. B. C. D. 或6. 中国古典乐器一般按“八音”分类，最早见于周礼春官大师.“八音”分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、土、革”为打击乐器，“木、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某音乐学院为大一、大二两个年级各开设5个乐器学习社团，其中“竹”社团与“革”社团学院安排两个年级必须开设，其余3个社团由两个年级各自随机选取，则两个年级所开设社团里同时包含“打击”、“吹奏”、“弹拨”三种类别乐器的概率为（ ）A. B. C. D. 7. 已知点、在单位圆上，若，则的取值范围是（ ）A. B. C.

4、D. 8. 已知抛物线焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于（位于第一象限）、两点，直线与交于点，若，则（ ）A. B. C. D. 9. 若，下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 10. 双曲线（，）的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且在线段上，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 11. 如果一个四面体在同一顶点的三条棱两两垂直，则称为直角四面体.直角四面体中，侧棱、两两垂直，棱长分别为、，点在底面的射影为点，三条侧棱、与底面所成的角分别为、，以下四个结论：为的内心；为锐角三角形；若，则；直角四面体外接球的表面积为.其中所

5、有正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 12. 函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，的零点到轴的最近距离小于，且在单调递增，则以下结论不正确的是（ ）A. B. 非奇非偶函数C. 当时，有2条对称轴D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在正方体中，点、分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_.14. 已知数列满足，且，则_.15. 写出一个同时具有下列性质的函数_.；，有；，且，有；16. 已知直线：，其中，成等差数列，则直线恒过定点_，若，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为_.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

6、第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知为非直角三角形，.（1）证明：；（2）求的最小值.19. 已知四棱锥中，底面为正方形，平面，、分别为、的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.21. 为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm58596061626364656667686970717273合计个数2113561931164421221100经计算，样本直径的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的

7、性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）,；.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.（i）从设备的生产流水线上随机抽取3件零件，计算其中次品件数的数学期望；（ii）从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数的概率分布列和数学期望.23. 已知椭圆：的左焦点为，斜率为1的直线交椭圆于、两点，的中点坐标为.（1）求椭圆标准方程；（2）椭圆上在第一象限有一点的横坐标为，点

8、、是椭圆上异于点的不重合的两点，且，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.25 已知函数.（1）当时，判断的零点个数；（2）设，若存在，使成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）27. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴，建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上直径为2的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点（异于极点）的极径；（2）曲线的参数方程为（为参数）.若曲线和曲线相交于除极点以外的，两点

9、，求线段的长度.选修4-5：不等式选讲29. 已知函数（1）若，求实数的取值范围；（2）若对任意，恒成立，求实数的值赤峰市高三年级420模拟考试试题理科数学2022.4注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D

10、. 【1题答案】【答案】B【解析】【分析】化简集合，求出后，再根据交集的概念运算可得解.【详解】或，所以.故选：B2. 若复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】D【解析】【分析】根据模的计算以及复数的除法运算，求得，继而可得.【详解】,故 ，故，故选：D3. 设、是两个命题，则“为假”是“为真”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【3题答案】【答案】A【解析】【分析】根据复合命题的真值表以及充分不必要条件的概念可判断出答案.【详解】若“为假”，则为真，所以为真，若“为真”，则为真，或为真，即推不出为真，所以推不出“为假

11、”.所以“为假”是“为真”的充分不必要条件.故选：A4. 2022年2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会闭幕，中国代表团夺得9枚金牌、4枚银牌、2枚铜牌，下表是本届冬奥会夺得金牌数前10名的代表团获得的金牌数、银牌数、铜牌数、奖牌总数：排名代表团金牌数银牌数铜牌数奖牌总数1挪威16813372德国12105273中国942154美国8107255瑞典855186荷兰854177奥地利774188瑞士725149俄罗斯奥委会612143210法国57214则对这10个代表团来说，下列结论正确的是（ ）A. 金牌数的众数是16B. 银牌数的中位数是7C. 铜牌数的平均数是9D. 奖牌总数的极差是

12、22【4题答案】【答案】B【解析】【分析】根据众数、中位数、极差、平均数的概念计算可判断出答案【详解】根据众数的概念可知，金牌数的众数是，故A不正确；将银牌数从左向右按由小到大的顺序排列如下：，所以银牌数的中位数是，故B正确；铜牌的平均数为，故C不正确；奖牌总数的极差为，故D不正确.故选：B5. 已知等差数列满足，则下列选项一定正确的是（ ）A. B. C. D. 或【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据等差数列通项公式，结合等差数列前项和公式逐一判断即可.【详解】设该等差数列的公差为，由，化简，得，或，当时，当时，显然选项D一定正确，故选：D6. 中国古典乐器一般按“八音”分类，最早见于

13、周礼春官大师.“八音”分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、土、革”为打击乐器，“木、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某音乐学院为大一、大二两个年级各开设5个乐器学习社团，其中“竹”社团与“革”社团学院安排两个年级必须开设，其余3个社团由两个年级各自随机选取，则两个年级所开设社团里同时包含“打击”、“吹奏”、“弹拨”三种类别乐器的概率为（ ）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】C【解析】【分析】利用古典概型概率公式可求出结果.【详解】大一年级从剩下的6个社团任取3个，有种，大二年级从剩下的6个社团任取3个，有种，所以基本事件总数为种，其中“竹”社团与“革”社团学院

14、安排两个年级必须开设，且两个年级所开设社团里同时包含“打击”、“吹奏”、“弹拨”三种类别乐器的有种，所以所求事件的概率为.故选：C7. 已知点、在单位圆上，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【7题答案】【答案】C【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质以及二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】，因此，.故选：C.8. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于（位于第一象限）、两点，直线与交于点，若，则（ ）A B. C. D. 【8题答案】【答案】B【解析】【分析】设直线为联立抛物线并解得，结合及得到横坐标的线性关系，即可求t值.【详解】由题设，令直线为，联

15、立抛物线可得：，又位于第一象限，可得，而，由，则，即，故.故选：B9. 若，下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【9题答案】【答案】A【解析】【分析】构造函数，求导确定单调性判断A、B选项；构造函数，求导确定单调性判断C、D选项.【详解】令，则，单增，又，故，即，故A正确，B错误；令，则，当时，单增，当时，单减，故当时，即，当时，即，故C、D错误.故选：A.10. 双曲线（，）的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且在线段上，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【10题答案】【答案】B【解析】【分析】设双曲线的左焦点为，连接，进

16、而由中位线定理得，在结合双曲线的定义得，最后在中，结合勾股定理得，进而得答案.【详解】解：如图，设双曲线的左焦点为，连接，因为过点的直线与圆相切于点，所以，所以，因为线段的中点为，为线段的中点，所以 ，所以，由双曲线的定义得，所以，所以，所以，在中，即，所以，离心率为.故选：B11. 如果一个四面体在同一顶点的三条棱两两垂直，则称为直角四面体.直角四面体中，侧棱、两两垂直，棱长分别为、，点在底面的射影为点，三条侧棱、与底面所成的角分别为、，以下四个结论：为的内心；为锐角三角形；若，则；直角四面体外接球的表面积为.其中所有正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【11题答案】【答案】D【解

17、析】【分析】把直角四面体放在长方体中，利用三角形内心的定义、线面角的定义、球的性质、余弦定理逐一判断即可.【详解】把直角四面体放在长方体中，如下图所示.：由题意可知：底面，因为底面，所以，因此有，因为之间大小关系不确定，所以之间的大小关系也不确定，到三角形三边的距离之间的大小关系也不确定，所以不能确定是否为的内心，因此本结论不正确；：因为侧棱、两两垂直，所以，由余弦定理可知：，因此是锐角，同理也是锐角，所以为锐角三角形，所以本结论正确；：由可知：，因为，所以，因为函数在上单调递增，所以，因此本结论正确；：直角四面体外接球就是该长方体的外接球，所以该外接球的半径为该长方体对角线长的一半，因此该外

18、接球的半径为：，所以该外接球的表面积为：，因此本结论正确，故选：D12. 函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，的零点到轴的最近距离小于，且在单调递增，则以下结论不正确的是（ ）A. B. 为非奇非偶函数C. 当时，有2条对称轴D. 【12题答案】【答案】C【解析】【分析】根据题意，进而可得为的一个零点，且，再根据正弦函数的图象性质，逐个判断选项即可得答案.【详解】由已知得，设的最小正周期为，且，依题意得，为的一个零点，且明显为非奇非偶函数，故A和B正确；且，所以，所以在上，有且只有一个零点，可得，化简得，故的取值范围为，故D正确；又因为，由于为的一个零点，因为，故该，因为为的一个零点

19、，所以，在时，明显可见，有不可能有2条对称轴，故C不正确；故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在正方体中，点、分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_.【13题答案】【答案】【解析】【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，异面直线与所成角的余弦值：，故答案为：14. 已知数列满足，且，则_.【14题答案】【答案】,【解析】【分析】由递推关系分析得到数列是首项为,公比为的等比数列，求得其通项公式，然后得到数列的通项公式，进而利用错位相减求和法求得结果.【详解】，又，数列是首项为,公比为的等比数列，,，

20、两式相减得：,故答案为：,15. 写出一个同时具有下列性质的函数_.；，有；，且，有；【15题答案】【答案】或、等（答案不唯一）；【解析】【分析】由条件分析函数性质后写解析式【详解】对于，得为偶函数，对于，化简得，故在上单调递减，对于，故在上为下凸函数，取，显然满足，且，则，由基本不等式知，而故，满足性质综上，得（答案不唯一）；故答案为：或、等（答案不唯一）；16. 已知直线：，其中，成等差数列，则直线恒过定点_，若，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为_.【16题答案】【答案】 . . 【解析】【分析】由等差数列得到，从而得到直线恒过的定点坐标，结合题目条件得到点M的轨迹方程为圆，则的最大

21、值为N点与圆心的距离加上半径，从而求出答案.【详解】由题意得：，所以恒过点，因为过点作直线的垂线，垂足为，所以点M轨迹方程为以PA为直径的圆，圆心为，即，半径为，所以轨迹方程为：，则的最大值为NB的长度加上半径，由于，所以的最大值为.故选：，三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知为非直角三角形，.（1）证明：；（2）求的最小值.【17题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据已知条件和三角的内角和定理及诱导公式，再利用两角和

22、的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可证明；（2）根据已知条件和三角的内角和定理及诱导公式，再利用正余弦定理的边角化及基本不等式即可求解.【小问1详解】，.又为非直角三角形，.【小问2详解】由，得及正弦、余弦定理，得，即，.当且仅当时等号成立.的最小值为.19. 已知四棱锥中，底面为正方形，平面，、分别为、的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【19题答案】【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判定定理建立空间直角坐标系，结合空间向量的数量积运算进行求解证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】面，面，又，面，平面即平面，又

23、平面，以为坐标原点，以、方向分别为，轴正向建立空间直角坐标系，则，；【小问2详解】，令平面的法向量，由得，令，则，令平面的法向量，由，得，令，则，又因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.21. 为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm58596061626364656667686970717273合计个数2113561931164421221100经计算，样本直径的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表

24、示相应事件的概率）,；.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.（i）从设备的生产流水线上随机抽取3件零件，计算其中次品件数的数学期望；（ii）从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数的概率分布列和数学期望.【21题答案】【答案】（1）性能等级为丙 （2）（i）；（ii）分布列见解析，【解析】【分析】（1）计算三个概率：，比较可得答案；（2）（i）根据二项分布的期望公式可得结果；（ii）根据题意得到的所有可能取值，再计算出

25、相应的概率，可得分布列和数学期望.【小问1详解】因为，所以，.因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.【小问2详解】因为， 所以样本中次品共10件，可估计设备生产零件的次品率为（i）由题意可知，于是.（ii）由题意可知的可能取值为0，1，2.，.次品件数的分布列为012.23. 已知椭圆：的左焦点为，斜率为1的直线交椭圆于、两点，的中点坐标为.（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上在第一象限有一点的横坐标为，点、是椭圆上异于点的不重合的两点，且，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.【23题答案】【答案】（1） （2）证明见解析，【解析】【分析】（1）利用点差法得，再根据且可求出和即可得

26、解；（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，与椭圆方程联立，设，根据韦达定理得到，利用以及，求出，代入到可得直线过定点及定点坐标，当斜率不存在时，经验证符合题意.【小问1详解】设，则，两式相减得，得，因为的中点坐标为，所以，所以，所以，由且知，椭圆的方程为.【小问2详解】由点的横坐标为以及点在第一象限可得点的纵坐标为，所以，当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入，消去得，得，.，所以，即，即，即，将，代入并化简得，所以，或当时，直线过，舍去；当时，直线过恒过.当斜率不存在时，即，综上所述所在直线恒过定点.25. 已知函数.（1）当时，判断的零点个数；（2）设，若存在，使成立，求实数的取值范围.

27、【25题答案】【答案】（1）的零点个数为3个 （2）【解析】【分析】（1）利用导数得到函数的单调性，结合零点存在性定理可判断出结果；（2）转化为存在，使得成立，再构造函数，利用导数求出最小值，代入可求出结果.【小问1详解】当时，当时，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，因为时，恒成立，所以为的唯一零点.当，令，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减.，在和上各有一个零点.综上，的零点个数为3个.【小问2详解】因为，所以为奇函数，若存在，使成立，等价于若存在，使成立，即成立，即成立，即成立，即成立，令，令，则，于是，在上单调递减，.当，函数在上单调递增，即，此时不合题意；当，函数在上

28、单调递减，符合题意.当时，存在，使得，即，当时，由在上单调递减可得，所以，当时，由在上单调递减可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，解得，综上，实数取值范围为.【点睛】方法点睛：能成立，转化为；能成立，转化为；恒成立，转化为；恒成立，转化为.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）27. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴，建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上直径为2的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点（

29、异于极点）的极径；（2）曲线的参数方程为（为参数）.若曲线和曲线相交于除极点以外的，两点，求线段的长度.【27题答案】【答案】（1）极坐标方程为，极径为 （2）2【解析】【分析】（1）先求出曲线的直角坐标方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的极坐标方程；联立曲线与曲线的极坐标方程，消去可得结果；（2）将曲线的参数方程化为直角坐标方程，再化为极坐标方程，联立曲线和曲线的极坐标方程，消去得到两点的极径后相加即可得解.【小问1详解】曲线的直角坐标方程为，即，将，代入并化简得的极坐标方程为，.由消去，并整理得，或.所求异于极点的交点的极径为.【小问2详解】由消去参数得曲线的普通方程为，曲线的极坐标方程为和由和得曲线与曲线两交点的极坐标为，为极点.选修4-5：不等式选讲29. 已知函数（1）若，求实数的取值范围；（2）若对任意，恒成立，求实数的值【29题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接结合对数运算解绝对值不等式即可；（2）法一：令，化简得到，分别分类讨论求出和的最值，即可求解；法二：将转化为，两边同时平方整理得，讨论，和即可求解.【小问1详解】，即，或，或，；【小问2详解】方法一：令，则由题意，即，令，则，令，则，即，；方法二：对恒成立对恒成立，当即时，恒成立；当即时，则，（舍）当即时，则显然不成立，综上：