1、函数函数函数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数的关系纽绅中学纽绅中学问题问题1：指数函数指数函数y=ax与对数函数与对数函数y=loga x(a0,a1)有什么关系有什么关系?称这两个函数互为称这两个函数互为反函数反函数对应法则互逆对应法则互逆y=loga xy=axx=loga y指数换对数变换变换x,y指数函数y=ax(a0,a1)对数函数y=logax(a0,a1)反函数问题问题2：观察在同一坐标系内函数观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数与函数y=2x的的图像图像,分析它们之间的关系分析它们之间的关系.函数函数y=log2x的图像与的图像与函数函数y=2x的
2、图像关于的图像关于直 线直 线 y = x 对 称对 称(1,0)(0,1)Oxyy=log2xy=2xy=xP(b,a)Q(a,b)函数函数y=f(x)的图像和的图像和它的反函数的图像它的反函数的图像关于直线关于直线y=x对称对称注意：yf1(x) 读作：“f逆x”表示反函数，不是-1次幂（倒数）的意思。反函数反函数1）定义域和值域互换；定义域和值域互换；2）对应法则互逆；对应法则互逆；3）图像关于直线图像关于直线y=x对称；对称；指数函数指数函数y=ax(a0,a1)与与对数函数对数函数y=logax(a0,a1)互为反函数互为反函数例例1 写出下列对数函数的反函数写出下列对数函数的反函数
3、:(1)y =lgx; .log231xy 解解 (1)对数函数对数函数y=lgx,它的底数是它的底数是它的反函数是指数函数它的反函数是指数函数10y=10 x 函数有三要素：定义域、对应关系、值域函数有三要素：定义域、对应关系、值域xy31(2)对数函数对数函数,log31xy 它的底数是它的底数是31它的反函数是指数函数它的反函数是指数函数例例2 写出下列指数函数的反函数写出下列指数函数的反函数:(1)y=5x .322xy解解(1)指数函数指数函数y=5x,它的底数是它的底数是5,它的反函数它的反函数是对数函数是对数函数 y=log5x(2)指数函数指数函数 ,它的底数是它的底数是 ,它
4、的反函数它的反函数是对数函数是对数函数 xy32log32xy32例3求函数32（R）反函数，并在同一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。解：由32（R ）得32所以21（R）的反函数是（R ）32经过两点（0，2）， （2/3，0）32 经过两点（2，0）， （0 ，2/3 ）320 xy3232想一想：函数32的图象和它的反函数 32 的图象之间有什么关系？求函数反函数的步骤求函数反函数的步骤:3 求原函数的值域，即求原函数的值域，即反函数的定义域反函数的定义域1 反解，反解，即解出即解出x，用，用y表示表示x2 x与与y互换，习惯互换，习惯用用x表示自变量，表示自变量，y表示表示函数值
5、函数值4 写出写出反函数及它的定义域反函数及它的定义域 bf(a)af1(b)点（b,a）在反函数yf1(x) 的图像上点（a,b）在函数yf(x)的图像上(1,0)(0,1)Oxyy=log2xy=2xy=xP(b,a)Q(a,b)结论结论: 例例44函数函数f(x)loga (x1)(a0且且a1)的的反函数反函数的图象的图象经过点经过点(1, 4)，求，求a的值的值.解解:依题意依题意,得得) 14(log1a. 3, 13log:a即abf(a)af1(b)点（b,a）在反函数yf1(x) 的图像上点（a,b）在函数yf(x)的图像上215124f xxxf 例 ：已知函数（ ）（）求
6、出 （ ）的值。21 4525.xxxx 解：令 ，解之得：又，bf(a)af1(b)点（b,a）在反函数yf1(x) 的图像上点（a,b）在函数yf(x)的图像上理论迁移理论迁移 例例4 4 已知函数已知函数 . .（1 1）求函数）求函数f(x)f(x)的定义域和值域；的定义域和值域；（2 2）求证函数）求证函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线 y=xy=x对称对称. . 2( )log (12 )xf x 小结小结反函数的概念反函数的概念定义域和值域互换定义域和值域互换对应法则互逆对应法则互逆图像关于直线图像关于直线y=x对称对称指数函数指数函数y=ax(a0,a1)与与对数函数对数函数y=logax(a0,a1)互为反函数互为反函数
