第2讲频率及概率概念、古典概率课件.ppt

1、一、频率一、频率 1. 1. 频率的定义频率的定义 定义定义1 1：在相同的条件下，进行了：在相同的条件下，进行了n 次试验，在这次试验，在这n 次次试验中，事件试验中，事件A发生的次数发生的次数 nA称为事件称为事件A发生的频数发生的频数. . 比比值值nA /n称为事件称为事件A发生的发生的频率频率，记为记为fn(A)，即即 fn (A)= nA /n. 历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。出现正反面的机会均等。 实例实例1 1 Dewey G. 统计了约统计了约438023个英语单词中各字母个英语单词中各字母出

2、现的频率，出现的频率， 发现各字母出现的频率不同：发现各字母出现的频率不同：A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016Y: 0.0202 Z: 0.0006频率稳定性的实例频

3、率稳定性的实例 实例实例2 2 近百年世界重大地震近百年世界重大地震. .其中其中“重大重大”的标准：的标准： 震级震级7 7级左右；级左右；死亡死亡5000人以上人以上. . 时 间 地 点 级别 死亡1905.04.04 印度印度克什米尔地区克什米尔地区 8.0 8.0 8888万万1906.08.17 智利智利瓦尔帕莱索港地区瓦尔帕莱索港地区 8.4 8.4 2 2万万1917.01.20 印度印度尼西亚巴厘岛尼西亚巴厘岛 1.51.5万万1920.12.16 中国中国甘肃甘肃 8.6 8.6 1010万万1923.09.01 日本日本关东地区关东地区 7.9 7.9 14.214.2万

4、万1935.05.30 巴基斯坦巴基斯坦基达基达地区地区 7.5 7.5 5 5万万1948.06.28 日本日本福井地区福井地区 7.37.3 0.510.51万万1970.01.05 中国中国云南云南 7.7 7.7 1 1 万万1976.07.28 中国中国河北省唐山河北省唐山 7.87.8 24.224.2万万 时 间 地 点 级别 死亡1978.09.16 伊朗伊朗塔巴斯镇地区塔巴斯镇地区 7.9 1.5万万 1995.01.17 日本日本阪神工业区阪神工业区 7.2 0.6万万1999.08.17 土耳土耳其伊兹米特市其伊兹米特市 7.4 1.7万万2003.12.26 伊朗伊朗克

5、尔曼省克尔曼省 6.8 3万万2004.12.26 印尼印尼苏门答腊岛附近海域苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万万2008.05.12 中国中国四川省文川四川省文川 8.0 7万万世界每年发生大地震频率约为世界每年发生大地震频率约为1414% % 实例实例2 2 近百年世界重大地震近百年世界重大地震. .其中其中“重大重大”的标准：的标准： 震级震级7 7级左右；级左右；死亡死亡50005000人以上人以上. .世界性大流感发生频率世界性大流感发生频率1/401/401/301/3019181918年年 西班牙型流感西班牙型流感 H1N1 H1N1 亚型亚型19571957年年 亚洲型流感亚

6、洲型流感 H2N2 H2N2 亚型亚型19681968年年 中国香港型流感中国香港型流感 H3N2 H3N2 亚型亚型19971997年年 中国香港型流感中国香港型流感 H5N1 H5N1 亚型亚型 实例实例3 3 近百年世界重大流感近百年世界重大流感4 4亿人感染亿人感染 50005000万人死亡万人死亡2020天传遍美国天传遍美国 半年席卷全球半年席卷全球 李宇春 周笔畅 张靓颖3528308票 3270840票1353906票 实例实例4 4 20052005年年8 8月月2626日日“超女超女”决赛决赛手机投票总数手机投票总数 8153054李宇春 得票频率得票频率 43.27%周笔畅

7、 得票频率得票频率 40.12%张靓颖 得票频率得票频率 16.61%得票频率可被视为获胜概率得票频率可被视为获胜概率0.40.61 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 40.21.00.20.40.8250.502470.4940.440.422560.5020.4980.5120.5240.51622250.5021240.48180.36270.542512492510.502262258试验试验序号序号5 nHnHn50 nHn500 n()nfH()nfH()nfH 实例实例5 5 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷5 5次、次、5050次、次、500500次，各做次，各做7 7遍遍

8、观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率. .波波动动最最小小随随n的增大，频率的增大，频率f 呈现出稳定性呈现出稳定性在在1/2处波动较大处波动较大在在1/2处波动较小处波动较小K.K.皮尔逊皮尔逊nHn实验者实验者德德. .摩根摩根蒲丰蒲丰K.K.皮尔逊皮尔逊204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005fn(H)的增大的增大n21fn(H) 结论结论 （1 1）频率有随机波动性，即对于同样的）频率有随机波动性，即对于同样的n，所得的，所得的fn(H)不一定相同；不一定相同； （2 2）抛硬币次数）抛硬币次数n

9、较小时，频率较小时，频率fn(H) 的随机波动幅的随机波动幅度较大，但随度较大，但随n的增大，的增大， 频率频率fn(H)呈现出稳定性呈现出稳定性. .即当即当n逐渐增大时频率逐渐增大时频率fn(H) 总是在总是在0.50.5附近摆动，而逐渐稳定附近摆动，而逐渐稳定于于0.5.0.5.一、频率一、频率 1. 1. 频率的定义频率的定义 2. 2. 频率的性质频率的性质 (1) 非负型：非负型：0 fn(A) 1； (2) 规范性：规范性：fn(S)1； fn( )=0； (3) 可加性：若可加性：若AB ，则则 fn(A B) fn(A) fn(B).可推广到有限个两两互斥事件的和事件可推广到

10、有限个两两互斥事件的和事件()()()()nnnnnnf AAAf Af Af A1212 二、概率二、概率 定义定义 将随机试验将随机试验E重复作重复作n次，其中事件次，其中事件A出现出现nA次次, ,则事件则事件A发生的频率为发生的频率为 若当若当n较大时，频较大时，频率在某一个数率在某一个数p附近波动，则称附近波动，则称p数为事件数为事件A在试验在试验E下的下的统计概率统计概率. .记作记作P( (A)=)=p.( ),nAfAnn 1. 1.概率的统计定义概率的统计定义对本定义的评价对本定义的评价优点：直观优点：直观 易懂易懂缺点：粗糙缺点：粗糙 模糊模糊不便不便使用使用lim()()

11、PnnfAP A 说明说明 1) 1) 一般用频率作为概率的近似值，这个定义并一般用频率作为概率的近似值，这个定义并不要求所做的试验属于古典模型，因此便于在实际中应用，不要求所做的试验属于古典模型，因此便于在实际中应用，但要得到比较准确的概率近似值，需要做大量的重复但要得到比较准确的概率近似值，需要做大量的重复试验试验. . 2) 2) 频率当频率当n较小时波动幅度比较大，当较小时波动幅度比较大，当n逐渐增大时，逐渐增大时，频率趋于稳定值，这个从本质上反映事件在试验中出频率趋于稳定值，这个从本质上反映事件在试验中出现可能性大小的稳定值就是事件的统计概率现可能性大小的稳定值就是事件的统计概率.

12、.的增大的增大n21fn(H)稳定性稳定性某一定数某一定数频率的性质频率的性质 (1) 非负性：非负性：0 fn(A) 1； (2) 规范性：规范性：fn(S)1； fn( )=0； (3) 可加性：若可加性：若AB ，则则 fn(A B) fn(A) fn(B).可推广到有限个两两互斥事件的和事件可推广到有限个两两互斥事件的和事件()()()()nnnnnnf AAAf Af Af A1212 nfP (1) 非负性：非负性：0 P P(A) 1； (2) 规范性：规范性：P(S)1； P( )=0； (3) 可加性：若可加性：若AB ，则则 P(A B) P(A) P(B).可推广到有限个

13、两两互斥事件的和事件可推广到有限个两两互斥事件的和事件()()()()nnP AAAP AP AP A 1212概率的性质概率的性质如果事件如果事件 两两互不相容，则两两互不相容，则,nA AA12()()()()kkP AAAP AP AP A 1212可列可加性可列可加性()()kkkkPAP A 11二、概率的定义二、概率的定义 1. 1.概率的统计定义概率的统计定义 2. 2.概率的概率的公理化定义公理化定义其中 为两两互不相容的事件.,21AA 设设S是是随机试验随机试验E 的的样本空间，若能找样本空间，若能找到一个法则，使得对于到一个法则，使得对于E 的每一事件的每一事件 A 赋于

14、赋于一个实数，记为一个实数，记为P ( A ), 称之为事件称之为事件 A 的的概率，这种赋值满足下面的三条公理：概率，这种赋值满足下面的三条公理：(1) 非负性：非负性：,( )ASP A 0(2) 规范性规范性：( )P S 111)(iiiiAPAP(3) 可列可加性：可列可加性：.().P 10证证 设设(, ,),nAn 1 2 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得()nnPPA 1()nnP A 1()nP 1( )P 0().P 0,.nijnAA Aij 1,显然显然.().P 102. 有限可加性有限可加性: 设设 ,nA AA12两两互不相容，那么niiniiAPAP1

15、1)(证证 取取nnAA 12, ,.ijA Aiji j 1 2 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 nAAAP21 kkAP1 1)(kkAP()()nkkkk nP AP A 11).()()(21nAPAPAP ()( )( ), ( )( ).P BAP BP A P AP B3. 设设A、B是两个随机事件，且是两个随机事件，且AB，则，则BA证证()ABBABA()BAA ( )( )()P BP AP BA()P BA 0( )( ).P AP B )()()(APBPABP .().P 102. 有限可加性有限可加性: 设设 ,nA AA12两两互不相容，那么niinii

16、APAP11)(证证1)()( SPAP( ).P A1SA 4. 对任意一个随机事件对任意一个随机事件A，则则( ).P A 1()( )( ), ( )( ).P BAP BP A P AP B3. 设设A、B是两个随机事件，且是两个随机事件，且AB，则，则.().P 102. 有限可加性有限可加性: 设设 ,nA AA12两两互不相容，那么niiniiAPAP11)(5. 对任意一个随机事件对任意一个随机事件A，则则( )( ).P AP A1证证,( )AAS AAP S 1).(1)(APAP ( )()P SP AA1)()(APAP ()( )( ), ( )( ).P BAP

17、BP A P AP B3. 设设A、B是两个随机事件，且是两个随机事件，且AB，则，则.().P 102. 有限可加性有限可加性: 设设 ,nA AA12两两互不相容，那么niiniiAPAP11)(4. 对任意一个随机事件对任意一个随机事件A，则则( ).P A 15. 对任意一个随机事件对任意一个随机事件A，则则( )( ).P AP A1()( )( ), ( )( ).P BAP BP A P AP B3. 设设A、B是两个随机事件，且是两个随机事件，且AB，则，则.().P 102. 有限可加性有限可加性: 设设 ,nA AA12两两互不相容，那么niiniiAPAP11)(4. 对

18、任意一个随机事件对任意一个随机事件A，则则( ).P A 16. .加法公式：对任意两个事件加法公式：对任意两个事件A, , B, , 有有 )()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP证证A AB B由图可得由图可得 ABBABA ABAB P ABP AP BAB又由性质又由性质3得得因此得因此得)()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP ()( )( ).P ABP AP B推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况n个事件和的情况个事件和的情况)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikj

19、iAAAPAAAP ()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC 右端共有右端共有 项项. .12 n 解解 设设A=小王小王能答出甲能答出甲类问题类问题, B=小王能答出小王能答出乙类乙类问题问题.(1)6 . 01 . 07 . 0)()()(ABPAPBAP(2)8 . 0)()()()(ABPBPAPBAP(3)()()().P ABP ABP AB10 2 例例1 1 小王参加小王参加“智力大冲浪智力大冲浪”游戏游戏, ,他能答出甲、乙他能答出甲、乙二类问题的概率分别为二类问题的概率分别为0.70.7和和0.2,0.2,两类问题

20、都能答出的两类问题都能答出的概率为概率为0.1.0.1.求求 (1)(1)小王答出甲类而答不出乙类问题的概小王答出甲类而答不出乙类问题的概率；率；(2)(2)小王小王至少有一类问题能答出的概率；至少有一类问题能答出的概率；(3)(3)两类两类小小王王问题都答不出的概率问题都答不出的概率. . ()ABA SBAAB 例例2 2 设设A , B满足满足P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, ,在何条件下，在何条件下，P(AB) 取得最大取得最大( (小小) )值？最大值？最大( (小小) )值是多少？值是多少？解解)()()()(ABPBPAPBAP)()()()(BAPBP

21、APABP3 . 01)()(BPAP最小值在 时取得. 1)(BAP6 . 0)()(APABP 最小值 最大值最大值在 时取得. ()( )P ABP B ()().P ABP B 0 7 例例2 中回答当中回答当 时时, 取得取得最小值是否最小值是否正确？正确？ABS )(BAP这相当于问如下命题是否成立这相当于问如下命题是否成立答：不成立答：不成立 ！ABS ()P AB 1 式是式是“羊肉包子打狗羊肉包子打狗 ” ”有去路有去路, ,没回路没回路为什么呢？学了几何概型便会明白为什么呢？学了几何概型便会明白. 定义定义 如果随机试验如果随机试验E E 具有下列特点：具有下列特点： (1

22、) (1) 样本空间包含的基本事件的总数是有限个；样本空间包含的基本事件的总数是有限个； (2) (2) 每个基本事件等可能的发生每个基本事件等可能的发生. .则称则称E 为为古典古典( (等可能等可能) )概型概型 设试验设试验E的样本空间由的样本空间由n个样本点构成，个样本点构成，A为为E的任的任意一个事件，且包含意一个事件，且包含m个样本点，则事件个样本点，则事件A出现的概率出现的概率记为记为: : 计算公式计算公式 .ASVmAP AnV所包含样本点的个数样本点总数 例例3 3 （无放回地摸球）无放回地摸球）设袋中有设袋中有4 4只白球和只白球和2 2只黑球，只黑球，现从袋中无放回地依

23、次摸出现从袋中无放回地依次摸出2 2只球，求这只球，求这2 2只球都是白球的只球都是白球的概率概率. .2A 摸得 只球都是白球样本空间包含的基本事件总数为样本空间包含的基本事件总数为26SVCA所包含基本事件的总数为所包含基本事件的总数为24AVC 2426ASVCP AVC故.52 解解，由已知条件，由已知条件 例例4 4（有放回地摸球）有放回地摸球）设袋中有设袋中有4 4只红球和只红球和6 6只黑球，现只黑球，现从袋中有放回地摸球从袋中有放回地摸球3 3次，求前次，求前2 2次摸到黑球、第次摸到黑球、第3 3 次摸到次摸到红球的概率红球的概率. . 解解 A=前前2 2次摸到黑球、第次摸

24、到黑球、第3 3 次摸到红球次摸到红球第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6种种第第2 2次摸到黑球次摸到黑球第第1 1次摸球次摸球第第2 2次次摸球摸球10种种第第3 3次次摸球摸球10种种10种种6种种第第3 3次摸到红球次摸到红球 4种种310 10 10 10 ,SV 6 6 4,AV 36 6 40.11410ABVP AV 故 例例5 5 把把4 4个球放到个球放到3 3个杯子中去个杯子中去, ,求第求第1 1、2 2个杯子中各个杯子中各有两个球的概率有两个球的概率, , 其中假设每个杯子可放任意多个球其中假设每个杯子可放任意多个球. . 33334 4个球放到个球放到3 3个杯子的所

25、有放法个杯子的所有放法种种433333 2种种24C2种种22C因此第因此第1 1、2 2个杯子中各个杯子中各有两个球的概率为有两个球的概率为422243CCp .272 解解 例例6 6 在房间里有在房间里有1010个人，分别佩戴从个人，分别佩戴从1 1号到号到1010号的纪号的纪念章念章 ， 任选任选3 3个记录其纪念章的号码个记录其纪念章的号码. . （1 1）求最小号码为）求最小号码为5 5的概率；的概率； （2 2）求最大号码为）求最大号码为5 5的概率的概率. . 解解 设设A=任选任选3 3个记录其纪念章最小号码为个记录其纪念章最小号码为5 5 , ,B=任任选选3 3个记录其纪

26、念章最大号码为个记录其纪念章最大号码为5.5.310,SVC25,AVC253101( ),12CP AC24.BVC243101( ).20CP BC由已知条件由已知条件所求概率分别为所求概率分别为 解解 设设A=第第1 1至第至第4 4个杯子各放一个球个杯子各放一个球,由已知条件由已知条件44410( )ASVPP AVP789101234 2101 例例7 7 把把4 4个球放到个球放到1010个杯子中去，每个杯子只能放一个杯子中去，每个杯子只能放一个球，求第个球，求第1 1至第至第4 4个杯子中各放一个球的概率个杯子中各放一个球的概率. .44AVP410,SVP所以所以 例例8 8

27、在在1-20001-2000的整数中随机地取一个数，问取到的整的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被数既不能被6 6整除，又不能被整除，又不能被8 8整除的概率是多少整除的概率是多少? ? 解解 设设A=取到的数能被取到的数能被6 6整除整除 ，B=取到的数能被取到的数能被8 8整除整除 。)(BAP)()(BAPBAP )(1BAP 1( )( )()P AP BP AB 200083.24ABV故所求概率为故所求概率为)(BAP.43200083200025020003331 2000250,8BV2000333,6AV33325083(),(),().200020002000P A

28、P BP AB )()()(1ABPBPAP 由已知条件由已知条件 例例9 9（分房模型）（分房模型）设有设有k个不同的球个不同的球, ,每个球等可能地每个球等可能地落入落入N个盒子中（个盒子中（ ）, ,设每个盒子容球数无限设每个盒子容球数无限, ,求求下列事件的概率下列事件的概率: : （1 1）某指定的）某指定的k个盒子中各有一球；个盒子中各有一球； （2 2）某指定的一个盒子恰有）某指定的一个盒子恰有m个球个球( ); ( ); （3 3）某指定的一个盒子没有球；）某指定的一个盒子没有球； （4 4）恰有）恰有k个盒子中各有一球；个盒子中各有一球； （5 5）至少有两个球在同一盒子中；

29、）至少有两个球在同一盒子中； （6 6）每个盒子至多有一个球）每个盒子至多有一个球. .Nk kmkSVN3(1)kAVN2(1)mk mAkVCN4!kANVC k5!kkANVNC k6!kANVC k1!AVk解解kSVN设设(1)(1)(6)(6)的各事件分别为的各事件分别为 ，则，则 61AA 1!AVk11!()AkSVkP AVNkkNNkCAP!)(4kkNNAP) 1()(3kmkmkNNCAP) 1()(2kkNkNkCNAP!)(5)(14AP3(1)kAVN2(1)mk mAkVCN4!kANVC k5!kkANVNC k6!kANVC k)()(46APAP 假设每人

30、的生日在一年假设每人的生日在一年365365天中的任一天是等可能的天中的任一天是等可能的, ,即都等于即都等于1/365,1/365,求求6464个人中至少有个人中至少有2 2人生日相同的概率人生日相同的概率. . 64 64个人生日各不相同的概率为个人生日各不相同的概率为 641365164365364365 p故故6464个人中至少有个人中至少有2 2人生日相同的概率为人生日相同的概率为 643651643653643651 p.997. 0 解解分房模型的应用分房模型的应用 1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验, 使其成为等可能概型. 3o 计算古典概率时须

31、注意应用概率计算的有关公式, 将复杂问题简单化. 如例9. 2o 样本空间包含的基本事件总数随试验设计的不同而不同，一般样本空间包含的基本事件总数越小越好.计算古典概率注意事项计算古典概率注意事项 若P(A) 0.01, 则称A为小概率事件. .小概率事件 一次试验中小概率事件一般是不会发生的. 若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件. .小概率原理 ( 即实际推断原理 ) 例例1010 区长办公室在某一周曾接待过在某一周曾接待过1212次来访次来访, ,已知已知所有这所有这1212次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有

32、规定的推断接待时间是有规定的. . 解解 假设接待站的接待时间没有规定假设接待站的接待时间没有规定, ,且各来访者在且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么一周的任一天中去接待站是等可能的，那么1212次接待来次接待来访者都是在周二、周四的概率为访者都是在周二、周四的概率为 121272 p0000003.0 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的，从而可知小概率事件在实际中几乎是不可能发生的，从而可知接待时间是有规定的接待时间是有规定的. .几何概率几何概率 定义定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量（长度，面积，体积）相同

33、的子区域是等可一点落在度量（长度，面积，体积）相同的子区域是等可能的，则事件能的，则事件A的概率可定义为的概率可定义为SSAPA )( (其中其中S是样本空间的度量，是样本空间的度量， 是构成事件是构成事件A的子区域的度的子区域的度量量) )这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为几何几何概率概率. .AS 说明说明 当古典概型的试验结果为当古典概型的试验结果为连续无穷连续无穷多个时，多个时，就就归结为几何概率归结为几何概率. . 例例1111 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等

34、待报时的时间短于十分钟的知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率概率. .9点10点10分钟 分析分析 不妨认为此人听到报时的整点为不妨认为此人听到报时的整点为10点，那么它点，那么它打开收音机的时间应该在打开收音机的时间应该在9点与点与10点之间点之间.60分钟101( )606ASP AS解解 所求概率所求概率解解 设设 分别为甲、乙两人到达的时刻，则分别为甲、乙两人到达的时刻，则y,x.0,0TyTx .xyt 例例1212（会面问题）会面问题） 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在0 0到到T T 这段时间这段时间内，在预定地点会面内，在预定地点会面. . 先到的人等候另一个

35、人，经过时间先到的人等候另一个人，经过时间t ( (tT) )后离去后离去. . 设每人在设每人在0 0 到到T T 这段时间内各时刻到达该这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连. . 求甲、乙两求甲、乙两人能会面的概率人能会面的概率. .那末两人会面的充要条件为那末两人会面的充要条件为故所求的概率为故所求的概率为正正方方形形面面积积阴阴影影部部分分面面积积 p 222TtTT .112 Ttxoy T Ttxy tyx t若以若以 表示平面上点表示平面上点的坐标，则有的坐标，则有y,x 例例1313 甲、乙两人约定在甲、乙两人约定在

36、下午下午1 1时到时到2 2时之间到某站乘公时之间到某站乘公共汽车，又这段时间内有四班共汽车，又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分公共汽车，它们的开车时刻分别为别为 1:15、1:30、1:45、2:00. . 假定甲、乙两人到达车站的时假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在刻是互相不牵连的，且每人在1 1时到时到2 2时的任何时刻到达车站是时的任何时刻到达车站是等可能的等可能的. .如果它们约定如果它们约定 (1) (1) 见车就乘见车就乘; ; (2) (2) 最多等一辆车最多等一辆车. .求甲、乙同乘一车的概率求甲、乙同乘一车的概率. . 解解 设设x, y分别为分

37、别为甲、乙两人到达的时甲、乙两人到达的时刻刻，则有则有,x21 . 21 yxoy 1 2 见车就乘的概率为见车就乘的概率为: :正正方方形形面面积积阴阴影影部部分分面面积积 p 2212414 41 45:1 30:1 15:1 1 2 15:1 30:1 45:1甲、乙同乘一车充分甲、乙同乘一车充分必要条件为必要条件为1|4xy 最多等一辆车，甲、最多等一辆车，甲、乙同乘一车的概率为乙同乘一车的概率为 .8521161341 pxoy 1 2 45:1 30:1 15:1 1 2 15:1 30:1 45:1甲等多等了一辆车甲等多等了一辆车乙等多等了一辆车乙等多等了一辆车甲、乙乘同一辆车甲

38、、乙乘同一辆车小结小结最简单的随机现象最简单的随机现象古典概型古典概型古典概率古典概率几何概型几何概型 .ASVmAP AnV所包含样本点的个数样本点总数一、一、 频率（波动）频率（波动） 概率（稳定）概率（稳定） n二、概率性质二、概率性质小结小结. ( )( ).51P AP A.()( )( ).3 ABP BAP BP A.().P 102.()( )( )ABP ABP AP B.( ).41P A 6.()( )( )()P ABP AP BP AB思考题思考题 1. 1. 从从5 5双不同的手套中任取双不同的手套中任取4 4只，求只，求 (1) (1) 恰有两只恰有两只配成一双的

39、概率？配成一双的概率？(2) (2) 至少有至少有2 2只配成一双的概率？只配成一双的概率？ 2. 2. n个人每人携带一件礼品参加联欢会。联欢会开个人每人携带一件礼品参加联欢会。联欢会开始后，先把所有礼品编号，然后每人各抽取一个号码，始后，先把所有礼品编号，然后每人各抽取一个号码，按号码领取礼品。试求按号码领取礼品。试求 (1) (1) 所有参加联欢会的人都得到所有参加联欢会的人都得到别人赠送的礼品的概率；别人赠送的礼品的概率；(2) (2) 恰好恰好k个人拿到自己的礼品个人拿到自己的礼品的概率。的概率。 H5N1禽流感病毒属于甲型流感病毒的一个高致病性亚型，其中的H和N分别代表病毒表面的两

40、种蛋白质，H是血凝素（hemagglutinin ) ，就如病毒的钥匙，它能打开 和 侵 入 人 类 或 动 物 的 细 胞 ； N 是 神 经 氨 酸 酶(neuraminidase)，其作用是破坏细胞，使病毒在感染者体内自由传播。N蛋白共有9个类型，分为N1N9，H蛋白有15个类型，即H1H15，不同的N蛋白和H蛋白结合，组成不同的病毒类型，毒性和传播速度也不同。H5N1病毒就包括了H5蛋白和N1蛋白病毒的毒性很强，病禽的死亡率几乎可达100%。 H5N1禽流感病毒属于甲型流感病毒的一个高致病性亚型，其中的H和N分别代表病毒表面的两种蛋白质，H是血凝素(hemagglutinin )，就如

41、病毒的钥匙，它能打开和 侵 入 人 类 或 动 物 的 细 胞 ； N 是 神 经 氨 酸 酶(neuraminidase)，其作用是破坏细胞，使病毒在感染者体内自由传播。N蛋白共有9个类型，分为N1N9，H蛋白有15个类型，即H1H15，不同的N蛋白和H蛋白结合，组成不同的病毒类型，毒性和传播速度也不同。H5N1病毒就包括了H5蛋白和N1蛋白。H5N1病毒1961年首次在南非被发现，病毒的毒性很强，病禽的死亡率可达100%。 人类感染H5N1病例 1. 1997年8月，香港报告了全球首个感染H5N1禽流感病毒死亡的病例，死者是个3岁男孩；在那次的禽流感爆发中，共有18个人受到传染，6人死亡，

42、香港杀鸡150万只； 2. 2003年2月，香港再次出现H5N1病毒，两人受到传染，一人死亡； 3. 2003年12月，越南出现第一个人感染H5N1病毒死亡病例，死者是个8岁女孩。至今越南已经有92人受到传染，42人死亡，是所有受影响国家里受传染和死亡人数最多的； 4. 2004年1月，泰国报告第一个禽流感死亡病例，死者是个六岁男童。目前泰国共发生人感染禽流感病例20例，死亡13人； 5. 2005年7月，印尼出现首个人感染禽流感死亡，死者是一个38岁的男子、以及他的两个分别为1岁和9岁女儿。印尼至今已经有9个受感染病例，5个人死亡。 6. 从2004年12月至今，柬埔寨报告了四个人受感染的病

43、例，四人死亡。 上世纪爆发的全球性大流感 （1）西班牙流感 时间：1918年-1919年 病毒类型：H1N1型西班牙流感病毒 死亡人数:估计5000万人 引发原因：直接由变异的禽流感病毒进入人体而引起 最初爆发地点：美国，但是因为新闻媒体首先报道了西班牙的流感爆发，所以才被称作西班牙流感。 （2）亚洲流感 时间：1957年-1958年 病毒类型: H2N2型 死亡人数：100万人 最初爆发地点：中国，同年传遍世界 引发原因：禽流感病毒与人类流感病毒结合以后，禽流感病毒的基因进入了人流感病毒中。 （3）香港流感 时间：1968年-1969年 病毒类型：H3N2型 死亡人数：75万人 最初爆发地：

44、香港 引发原因：H2N2型流感病毒后来发生变化，形成的新病毒所引起 19331933年，苏联数学家柯尔莫年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，克构，给出了概率的严格定义，克服了概率古典定义与统计定义的服了概率古典定义与统计定义的局限性，使概率论有了迅速的发局限性，使概率论有了迅速的发展展. . 1939 1939年任苏联科学院院士年任苏联科学院院士. .先先后当选美后当选美, ,法法, ,意意, ,荷荷, ,英英, ,德德 等国等国的外籍院士及皇家学会会员的外籍院士及皇家学会会员. . 为为2020世纪最有影响的俄国数学家世纪最有

45、影响的俄国数学家. .( A. H. 1903-1987 ) 柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献献. .他建立了在测度论基础上的概率论公理系统他建立了在测度论基础上的概率论公理系统, , 奠定了近代概奠定了近代概率论的基础率论的基础. .他又是随机过程论的奠基人之一他又是随机过程论的奠基人之一, ,其主要工作包括其主要工作包括: : 20 20年代年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作关于强大数定律、重对数律的基本工作; 1933; 1933年在年在概率论的基本概念概率论的基本概念一文中提出的概率论公理体系一文中提出的概

46、率论公理体系( (希尔伯特希尔伯特第第6 6问题问题) ) 30 30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程; ; 用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论; ; 40 40年代完成独立和的弱极限理论年代完成独立和的弱极限理论, ,经验分布的柯尔莫哥洛夫统经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等计量等; ; 1980 1980年由于它在调和分析年由于它在调和分析, , 概率论概率论, ,遍历理论及动力系统方面遍历理论及动力系统方面出色的工作获沃尔夫奖出色的工作获沃尔夫奖; ; 他十分重视数学教育他十分重视数学教育, ,在他的指引下在他的指引下, ,大批数学家在不同的领大批数学家在不同的领域内取得重大成就域内取得重大成就. .其中包括其中包括.M.M. .盖尔范德盖尔范德,B.,B. .阿诺尔德阿诺尔德, , .西奈依等人西奈依等人. . 他还非常重视基础教育他还非常重视基础教育, , 亲自领导了中学亲自领导了中学 数学教科书的编写数学教科书的编写工作工作. .