常态分配的机率计算方法课件.ppt

1、第第 6 章章連續機率分配本章內容本章內容6.1 均勻機率分配 6.2 常態機率分配 6.3 二項機率的常態近似 6.4 指數機率分配2連續機率分配連續機率分配對離散隨機而言，機率函數 f(x) 提供隨機變數x 的特定值所對應的機率值。對連續隨機變數而言，也有一種函數類似機率函數，稱為機率密度函數機率密度函數 (probability density function) 。計算連續隨機變數的機率可說是計算在此區間之內任何隨機變數值的機率。3第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第226-227頁頁連續機率分配連續機率分配連續隨機變數的機率定義另一個涵義之一是任何特定隨機變數值的機率值為 0

2、。6.1節將介紹均勻機率分配以說明連續隨機變數的相關概念。4第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第226-227頁頁f (x) x均勻 x1 x2 x1 x2指數xf (x)x1 x2xf (x)6.1均勻機率分配均勻機率分配以面積衡量機率5第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第227-229頁頁均勻機率分配均勻機率分配只要機率值與區間長度成比例時，此隨機變數即為均勻分配。均勻機率分配均勻機率分配(uniform probability distribution)的機率密度函數6第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第227頁頁1( )0axbf xba 其他均勻機率分配實例均勻機率

3、分配實例班機由芝加哥飛往紐約的飛行時間，假設我們得到大量的實際飛行資料，並獲知飛行時間為 120 分鐘至 140 分鐘之內任一分鐘的機率都是相同的。飛行時間和機率密度函數可用均勻機率分配表示為7第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第227頁頁1/ 20120140( )0 xf x其他均勻機率分配實例均勻機率分配實例圖 6.1 是此機率密度函數的圖形。對飛行時間的隨機變數而言，a120而b140。8第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第227-228頁頁均勻機率分配實例均勻機率分配實例以飛行時間的例子而言，可接受的機率是：飛行時間介於 120分鐘到 130 分鐘的機率是多少？也就是 P

4、(120 x 130) 是多少？由於飛行時間必須介於 120 分鐘到 140 分鐘之間，而且是均勻分配，我們可以說 P(120 x 130) 0.50。接下來，我們將說明此機率值可以利用介於 x 120 到 130 的 f (x) 圖形下方面積求得 (見圖 6.2) 。9第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第227頁頁均勻機率分配實例均勻機率分配實例10第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第228頁頁均勻機率分配實例均勻機率分配實例以面積衡量機率以面積衡量機率圖6.2 中介於120 至130 間，f (x) 圖形下方的面積。此區域是長方形，長方形面積是寬度乘以高度。寬度是130 120

5、 10，而高度是機率密度函數 f (x) 1/20，面積則為寬度 高度 10(1/20) 10/20 0.50。一旦確認了機率密度函數 f (x)，x 介於較小的x1與較大的 x2 之間的機率，可以經由計算 x1 到 x2 區間的f (x) 圖形下方的面積而得到。11第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第228頁頁均勻機率分配實例均勻機率分配實例以面積衡量機率以面積衡量機率已知飛行時間的均勻機率分配，及機率函數圖形下方的面積就等於機率，我們便可以回答關於飛行時間的機率問題。例如，飛行時間為 128 分鐘到 136 分鐘的機率是多少？區間的寬度是 1361288，高度則是 f (x)1/20

6、，所以，P(128 x 136)8(1/20)0.40。請注意 P(120 x 140)20(1/20)1，也就是說機率密度函數下的總面積等於 1。此一特性對所有的連續機率分配皆成立，而且此特性可類比為離散機率函數之總和等於 1。對連續機率密度函數而言，任一 x 值的 f (x) 0 也是必要的，這個條件亦可類比為離散機率函數的 f (x) 0。第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第226頁頁 12均勻機率分配實例均勻機率分配實例以面積衡量機率以面積衡量機率相對於離散隨機變數處理連續隨機變數，有兩個主要的不同點：我們不再說某一特定變數值的機率值，而是隨機變數值在某一區間的機率。隨機變數在已

7、知區間 x1 至 x2 的機率值，定義為在x1 至 x2區間、機率密度函數圖形下方的面積。因為單一點是某個長度為 0 的區間，意味著連續隨機變數在任何特定值時的機率是 0 。這也表示，無論是否包含區間的端點，並不會影響某個特定區間的隨機變數的機率值。13第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第228頁頁均勻機率分配均勻機率分配x 的期望值的期望值x 的變異數的變異數14第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第228頁頁( )2abE x2()( )12baVar x均勻機率分配實例均勻機率分配實例應用這些公式來計算從芝加哥到紐約的飛行時間之均勻分配，我們可以得到：標準差為變異數的正平方根，

8、因此， 5.77分鐘。15第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第228頁頁2(120 140)( )1302(140 120)( )33.3312E xVar x評註評註為了進一步瞭解機率密度函數的機率不是高度，可以觀察下列的均勻機率分配： 在 x 值為 0 到 0.5 之間的機率密度函數 f (x) 高度為 2。然而，我們都瞭解機率值一定不會大於 1。因此，不能視機率密度函數值 f (x) 為機率值 x。16第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第229頁頁其他 05 . 00 2)(xxf6.2常態機率分配常態機率分配常態曲線 標準常態機率分配計算任何常態機率分配的機率 Grear

9、輪胎公司的問題17第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第231-239頁頁常態機率分配常態機率分配常態機率分配常態機率分配 (normal probability distribution) 可以說是描述連續隨機變數最重要的機率分配。常態分配的運用範圍很廣，諸如身高、體重、測驗分數、科學測量、降雨量及其他類似值。18第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第231頁頁常態機率分配常態機率分配常態機率分配其中 = 平均數 = 標準差 = 3.14159e = 2.7182819第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第231頁頁22121)(xexf常態機率分配常態機率分配20第第6章章 連

10、續機率分配連續機率分配 第第231頁頁常態機率分配常態機率分配特性1. 所有常態分配是由兩種參數來決定其特徵：平均數 和標準差 。2. 常態曲線的最高點落在平均數，平均數同時也是分配的中位數和眾數。21第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第232頁頁常態機率分配常態機率分配特性3. 常態分配的平均數可以是任意數值：負值、零或正值，下圖是三個標準差相同但平均數不同( 10、0 及20 ) 的三個常態分配。22第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第232頁頁常態機率分配常態機率分配特性4. 常態分配是對稱的，以平均數為對稱的中心點，平均數左邊的曲線是右邊曲線的鏡像，常態分配曲線的尾部向兩端

11、無限延長，而且理論上並不會與水平軸接觸。由於曲線是對稱的，常態分配的偏度為 0。23第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第232頁頁常態機率分配常態機率分配特性5. 標準差可以決定曲線的寬度與扁平程度，標準差較大的曲線較寬較扁平，這表示資料比較分散。24第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第232頁頁常態機率分配常態機率分配特性6. 常態隨機變數的機率可以由曲線下方的面積求得。常態分配曲線下所涵蓋的總面積為 1。由於分配是對稱的，平均數以左的曲線下方的總面積是 0.50，平均數以右的曲線下方的總面積也是 0.50。25第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第232頁頁常態機率分配常態

12、機率分配特性7. 較常用的區間機率百分比為68.3% 的常態隨機變數值落在離平均數 1 個標準差內的範圍內。95.4% 的常態隨機變數值落在離平均數 1 個標準差內的範圍內。99.7% 的常態隨機變數值落在離平均數 1 個標準差內的範圍內。圖6.4 是(a)、(b)、(c) 的圖示。26第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第232頁頁常態機率分配常態機率分配27第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第233頁頁標準常態機率分配標準常態機率分配隨機變數具有常態分配且其平均數為 0、標準差為 1 時，稱此變數具有標準常態機率分配標準常態機率分配 (standard normal probab

13、ility distribution)。標準常態密度函數28第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第233頁頁2221)(zezf標準常態機率分配標準常態機率分配字母 z 常被用來代表這個特殊的常態隨機變數。29第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第233頁頁標準常態機率分配實例標準常態機率分配實例標準常態隨機變數的 z 值若小於或等於1.0，則其相對應的機率將是多少？也就是 P( z 1.00) 是多少？下圖中的陰影部分即為此面積或機率。30第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第234頁頁標準常態機率分配實例標準常態機率分配實例參考本書封面內頁的標準常態機率表，對應於 z1.00

14、的累積機率是標記為 1.0 的列及標記為 0.00 的行的交會處。首先，在表的左欄找到 1.0，然後在機率表的最上列找到 0.00。之後檢視表格，1.0 與 0.00 交會處的數值為 0.8413；因此， P(z 1.00)0.8413。下方是部分機率表，顯示上述步驟。31第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第234頁頁標準常態機率分配實例標準常態機率分配實例32第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第234頁頁標準常態機率分配實例標準常態機率分配實例為了示範第二類問題的機率計算，我們要說明計算 z值介於 0.50 與 1.25 之間的機率，也就是 P( 0.50 z 1.25) 。由機

15、率表中找到P (z 1.25) = 0.8944 P (z z 0.50) = 0.3085所以 ( 0.50 z 1.25) = 0.8944 0.3085 = 0.585933第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第234-235頁頁標準常態機率分配實例標準常態機率分配實例34第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第235頁頁標準常態機率分配實例標準常態機率分配實例計算 z 值至少為 1.58 的機率，也就是 P(z 1.58) 。機率表中位於 z 1.5 列及 z 0.08 行的相交處的值是 0.9429，所以 P(z , 1.58) 0.9429。然而，因為整個曲線下方的面積為 1

16、，P (z $ 1.58) 10.9429 0.0571。機率表示如下圖。35第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第235頁頁標準常態機率分配實例標準常態機率分配實例假定我們要找出某個 z 值，使得大於此 z 值的機率是 0.10 。下圖是此問題的圖示。36第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第236頁頁標準常態機率分配實例標準常態機率分配實例從最左欄及最上列找到對應 z 值是 1.28，因此在z 1.28 以左的面積接近0.9000 ( 實際為 0.8997 )。 根據題目的要求，z 值大於 1.28 的機率約為 0.10。37第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第236頁頁計算

17、任何常態分配的機率計算任何常態分配的機率轉換成標準常態分配一個有平均數 ，標準差 的常態分配隨機變數 x 轉換為標準常態 z 值的公式。38第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第237頁頁xz常態分配的機率計算方法常態分配的機率計算方法當 x 值等於平均數 時， z() / 0。因此，當 x 值等於平均數 時，所對應的 z 值為 0。現在假設 x 值大於平均數一個標準差，也就是 x時，運用式 (6.3)，可以算出對應的 z 值為 z ()/ /1。換句話說，我們可以將 z 值解釋為常態隨機變數 x 距離其平均數 的標準差的倍數。39第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第237頁頁常態分

18、配的機率計算方法常態分配的機率計算方法假設有平均數 10 及標準差 2 的常態分配，隨機變數 x 介於 10 到 14 間的機率值為何？利用式 (6.3)，可求得當 x10 時， z (x) /(1010) / 20 且當 x14 時， z (1410) / 24 / 22。故欲求 x 介於 10 到 14 間的機率值，就等於是求 z 介於標準常態分配 0 到 2 之間的機率值。也就是說，我們要求的隨機變數 x 值的區域面積，剛好等於平均數到距平均數兩個標準差間的面積，利用 z 2.00 及封面內頁的標準常態分配機率表，可得 P( z 2) = 0.9772，由於 P( z 0) = 0.50

19、00，我們可以計算出 P( 0.00 z 200) = P( z 2) P ( z 0) = 0.9772 0.5000 = 0.4772。因此，x 介於10 到 14 之間的機率為 0.4772。40第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第237頁頁Grear 輪胎公司的問題輪胎公司的問題Grear 輪胎公司最近發展出新的輻射鋼圈輪胎，預計將透過全國連鎖商店進行銷售。由於該輪胎是新產品，Grear 的管理當局相信哩程保證將是顧客接受與否的重要因素之一。在還未訂定哩程保證方案時，他們想先知道新輪胎的哩程測試資料。Grear 的工程師團隊由實際道路測試結果估計平均哩程數可達 36,500 哩，

20、標準差為 5,000 哩。此外，可合理假設所蒐集資料是常態分配，則輪胎哩程超過 40,000 哩的機率是多少？此問題可以利用圖 6.6 的深色區域來回答。41第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第237頁頁Grear 輪胎公司的問題輪胎公司的問題42第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第238頁頁Grear 輪胎公司的問題輪胎公司的問題當 x40,000，我們得到參考圖 6.6 的下方， x40,000對應的標準常態分配 z 值等於0.70。運用標準常態機率表，可以看到標準常態曲線下，在 z 0.70 左方的面積為 0.7580。因此，1.000 0.7580 0.2420 是 z 大

21、於 0.70，也是 x 超過 40,000 的機率。我們可以判定大約有 24.2% 的輪胎耐用哩程超過 40,000 哩。43第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第237-238頁頁40,00036,50035000.7050005000 xzGrear 輪胎公司的問題輪胎公司的問題現在假設 Grear 輪胎公司想要提出的哩程保證是若新輪胎未達到此保證哩程，該公司就免費更換新輪胎給顧客。那麼應該訂定多少哩程數，才可使獲得優惠者不超過總數的 10%？這個問題可以用圖 6.7 說明。44第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第238頁頁Grear 輪胎公司的問題輪胎公司的問題45第第6章章

22、連續機率分配連續機率分配 第第238頁頁Grear 輪胎公司的問題輪胎公司的問題根據圖 6.7，在未知的保證哩程數以左的面積是 0.10 。所以，我們要找出 z 值，此 z 值以左的面積是 0.10。運用標準常態分配機率表，可以看出對應的 z 值是1.28 。因此， z 1.28 是對應於 Grear 輪胎公司的保證哩程數的標準常態隨機變數值。46第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第238頁頁Grear 輪胎公司的問題輪胎公司的問題要找出對應於 z 1.28 的常態分配 x 值，我們可以運用下列換算：又 36,500且 5000 x 36,500 1.28(5000) 30,10047第

23、第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第238-239頁頁28. 1 28. 1 28. 1xxxzGrear 輪胎公司的問題輪胎公司的問題因此，哩程標準訂為 30,100 哩，可以符合約有 10% 的輪胎未達保證哩程數，或許 Grear 公司會根據此項資訊，而將哩程保護訂在 30,000 哩。48第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第239頁頁6.3 二項機率的常態分配近似值二項機率的常態分配近似值二項隨機變數是 n 個試驗中成功的次數，二項機率關心的是 n 個試驗中成功次數 x 的機率。如果試驗的次數很大，不論是用手算或是使用計算機，要求得二項機率函數的計算都很困難。在np 5 及 n

24、(1p) 5 時，使用常態分配可很容易地求出二項分配的近似值，我們令 = np 及 來定義常態曲線。49(1)npp第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第242頁頁二項機率的常態分配近似值二項機率的常態分配近似值求連續機率分配的機率值，必須算出機率密度函數下方的圖形面積。因此，任特定隨機變數值的機率為 0。所以，要以常態近似法求出 12 次成功的二項機率近似值，要求算的是介於 11.5 到 12.5 之間的常態曲線下方面積。我們稱由 12 加減的 0.5 為連續校正因子連續校正因子 (continuity correction factor)。因為要以連續分配來近似離散分配的值，因此要以連

25、續校正因子校正。離散二項分配的機率值P(x12) 可以利用連續常態分配的 P(11.5 x 12.5) 來近似之。50第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第242-243頁頁二項機率的常態分配近似值二項機率的常態分配近似值將常態分配轉換為標準常態分配，以計算 P(11.5 x 12.5) 。我們可以利用下列的式子：以及運用常態標準機率表，可找到 12.5 以左的曲線下方面積是 0.7967 (見圖 6.8)。同樣地，11.5 以左的曲線下方的面積是 0.6915。因此，介於 11.5 到 12.5 之間的面積是 0.7967 0.6915 = 0.1052。在 100 次試驗中，12 次成

26、功的常態分配近似值是 0.1052。51第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第243頁頁512 83. 030 .105 .12.xxz 在511 50. 030 .105 .11.xxz 在二項機率的常態分配近似值二項機率的常態分配近似值52第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第242頁頁二項機率的常態分配近似值二項機率的常態分配近似值如果想知道 100 張發票中，13 張(含)以下有錯誤的機率。圖 6.9 顯示近似此二項分配機率為常態曲線下方的面積。請注意，使用連續校正因子的結果是，我們要以 13.5 來求近似機率。對應於 x13.5 的 z 值是標準常態機率表顯示，在 z = 1

27、.17 以左的曲線下方的面積是0.8790。100 張發票中，13 張(含)以下有錯誤的機率是陰影的部分。53第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第243頁頁13.510.01.173.0z二項機率的常態分配近似值二項機率的常態分配近似值54第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第243頁頁6.4指數機率分配指數機率分配計算指數分配的機率 卜瓦松分配與指數分配的關係55第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第245-247頁頁指數機率分配指數機率分配常被用來描述完成工作所需時間的連續機率分配是指數機率分配指數機率分配 (exponential probability distribut

28、ion) 。指數隨機變數可以用來描述隨機變數，諸如車輛到達洗車廠的時間間隔、貨車裝貨時間，以及公路路面損壞的間隔距離等。56第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第245頁頁指數機率分配指數機率分配指數機率密度函數 其中 = 期望值或平均值57第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第245頁頁/1( ) 0 xxf xe指數機率分配指數機率分配58第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第245頁頁計算指數分配機率的方法計算指數分配機率的方法如同其他連續機率分配，分配曲線下的區段面積就是隨機變數在該區段內的機率。Schips 碼頭的例子中，裝貨時間少於 (含) 6 分鐘的機率 P(x 6)

29、 是圖 6.10 中 x0 到 x6 之間的曲線下面積；同樣地，裝貨時間少於 (含) 18 分鐘的機率 P(x 18) 則是 x0 到 x18 之間的曲線下面積。另外，裝貨時間為 6 分鐘到 18 分鐘的機率 P(6 x 18) 則是計算 x6 到 x18 之間曲線下的面積59第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第245頁頁計算指數分配機率的方法計算指數分配機率的方法指數分配：累積機率60第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第246頁頁/001)(xexxP計算指數分配機率的方法計算指數分配機率的方法 Schips 碼頭的例子，x裝貨時間且 15分鐘，套用式 (6.5)所以，裝貨時間少

30、於 (含) 6分鐘的機率為 使用式 (6.5)，則裝貨時間少於 (含) 18分鐘的機率則為 因此，裝貨時間介於 6 分鐘到 18 分鐘的機率等於 0.6988 0.32970.3691。我們可以用相同的方法算出任何區間的機率值。61第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第246頁頁0/150()1xP xxe 6/15(6)10.3297P xe 18/15(18)10.6988P xe 計算指數分配機率的方法計算指數分配機率的方法前述例子的裝貨所需平均時間為 15分鐘。指數分配的性質之一是，平均數與標準差相等。因此，裝貨時間的標準差15分鐘，變異數為 2(15)2225。62第第6章章 連

31、續機率分配連續機率分配 第第246頁頁卜瓦松分配與指數分配的關係卜瓦松分配與指數分配的關係63第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第246頁頁卜瓦松分配適合用來表示某一區間內的事件發生次數的機率指數分配可以描述二次事件發生的時間間隔的機率卜瓦松分配與指數分配的關係卜瓦松分配與指數分配的關係假設洗車場的來車數量呈卜瓦松機率分配，平均每小時 10 輛汽車，則以 x 表示到達車數的卜瓦松機率函數將是由於平均到達車數為每小時 10 輛，則連續到達的 2 輛汽車之間的時間間隔為64第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第246頁頁1010( )!xef xx小時/車輛車小時 1 . 0 10 1卜瓦松分配與指數分配的關係卜瓦松分配與指數分配的關係因此，對應的指數分配是平均數為 0.1小時車；而指數機率密度函數為65第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第247頁頁/0.1101( )100.1xxf xee評註評註如圖 6.10 所示，指數分配是右偏分配。事實上，指數分配的偏度是 2 。指數分配恰好可以讓我們瞭解此種偏度分配形狀。66第第6章章 連續機率分配連續機率分配 第第247頁頁End of Chapter 667