2019届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4二次函数的再研究与幂函数学案（文科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.4 二次函数与幂函数 最新考纲 考情考向分析 1.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质 2.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题 3.了解幂函数的概念 4.结合函数 y x， y x2， y x3， y 1x， y 12x的图象，了解它们的变化情况 . 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度 . 1二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式： f(x) ax2 bx c

2、(a0) 顶点式： f(x) a(x m)2 n(a0) ，顶点坐标为 (m， n) 零点式： f(x) a(x x1)(x x2)(a0) ， x1， x2为 f(x)的零点 (2)二次函数的图像和性质 解析式 f(x) ax2 bx c(a0) f(x) ax2 bx c(a0， 0，当 ? abc 且 a b c 0， 则它的图像可能是 ( ) 答案 D 解析 由 a b c 0 和 abc 知， a0， c0，排除 C. 6已知函数 y 2x2 6x 3， x 1,1，则 y 的最小值是 _ 答案 1 解析 函数 y 2x2 6x 3 的图像的对称轴为 x 321， 函数 y 2x2

3、6x 3 在 1,1上是减少的， ymin 2 6 3 1. 题型一 求二次函数的解析式 典例 (1)已知二次函数的图像过点 (0,1)，对称轴为 x 2，最小值为 1， 则它的解析式为_ 答案 f(x) 12x2 2x 1 解析 依题意可设 f(x) a(x 2)2 1， 又其图像过点 (0,1)， 4 a 1 1， a 12， f(x) 12(x 2)2 1 12x2 2x 1. (2)已知二次函数 f(x)与 x 轴的两个交点坐标为 (0,0)和 ( 2,0)且有最小值 1，则 f(x)_. 答案 x2 2x 解析 设函数的解析式为 f(x) ax(x 2)， 所以 f(x) ax2 2

4、ax，由 4a0 4a24a 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 得 a 1，所以 f(x) x2 2x. 思维升华 求二次函数解析式的方法 跟踪训练 (1)已知二次函数 f(x) ax2 bx 1(a， b R 且 a0) ， x R，若函数 f(x)的最小值为 f( 1) 0，则 f(x) _. (2)若函数 f(x) (x a)(bx 2a)(a， b R)是偶函数，且它的值域为 ( ， 4，则该函数的解析式 f(x) _. 答案 (1)x2 2x 1 (2) 2x2 4 解 析 (1)设函数 f(x)的解析式为 f(x) a(x 1)2 ax2 2ax a， 由已知 f(x) ax

5、2 bx 1， a 1， 故 f(x) x2 2x 1. (2)由 f(x)是偶函数知 f(x)图像关于 y 轴对称， a ? ? 2ab ，即 b 2， f(x) 2x2 2a2， 又 f(x)的值域为 ( ， 4， 2 a2 4，故 f(x) 2x2 4. 题型二 二次函数的图像和性质 命题点 1 二次函数的图像 典例 两个二次函数 f(x) ax2 bx c 与 g(x) bx2 ax c 的图像可能是 ( ) 答案 D 解析 函数 f(x)图像的对称轴为 x b2a，函数 g(x)图像的对称轴为 x a2b，显然 b2a与 a2b同号，故两个函数图像的对称轴应该在 y 轴的同侧只有 D

6、 满足 命题点 2 二次函数的单调性 典例 函数 f(x) ax2 (a 3)x 1 在区间 1， ) 上是减少的，则实数 a 的取值范围是=【 ;精品教育资源文库 】 = ( ) A 3,0) B ( ， 3 C 2,0 D 3,0 答案 D 解析 当 a 0 时， f(x) 3x 1 在 1， ) 上递减，满足题意 当 a0 时， f(x)的对称轴为 x 3 a2a ， 由 f(x)在 1， ) 上是减少的知? a2x m 恒成立，则实数m 的取值范围是 _ 答案 ( ， 1) 解析 f(x)2x m 等价于 x2 x 12x m，即 x2 3x 1 m0， 令 g(x) x2 3x 1

7、m， 要使 g(x) x2 3x 1 m0 在 1,1上恒成立， 只需使函数 g(x) x2 3x 1 m 在 1,1上的最小值大于 0 即可 g(x) x2 3x 1 m 在 1,1上是减少的， g(x)min g(1) m 1. 由 m 10，得 m0，则实数 a 的取值范围为 _ 答案 ? ?12， 解析 由题意得 a 2x 2x2对 1 x 4 恒成立， 又 2x 2x2 2? ?1x 12 2 12， 14 1x 1， ? ?2x 2x2 max 12， a 12. 题型三 幂函数的图像和性质 1已知点 ? ?33 ， 3 在幂函数 f(x)的图像上，则 f(x)是 ( ) A奇函数

8、 B偶函数 C定义域内的减函数 D定义域 内的增函数 答案 A 解析 设 f(x) x ，由已知得 ? ?33 3，解得 1，因此 f(x) x 1，易知该函数为=【 ;精品教育资源文库 】 = 奇函数 2若四个幂函数 y xa， y xb， y xc， y xd在同一坐标系中的图像如图所示，则 a， b， c，d 的大小关系是 ( ) A d c b a B a b c d C d c a b D a b d c 答案 B 解析 由幂函数的图像可知，在 (0,1)上幂函数的指数越大，函 数图像越接近 x 轴，由题图知 a b c d，故选 B. 3若 a0，则 0.5a， 5a， 5 a的大

9、小关系是 ( ) A 5 a5a0.5a B 5a0.5a5 a C 0.5a5 a5a D 5a5 a0.5a 答案 B 解析 5 a ? ?15 a， 因为 a0 时 ， 函数 y xa在 (0， ) 上是减少的 ， 且 150.55， 所以 5a0.5a5 a. 思维升华 (1)幂函数的形式是 y x ( R)，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式 (2)在区间 (0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近 x 轴 (简记为 “ 指大图低 ”) ，在区间 (1， ) 上，幂函数中指数越大，函数图像越远离 x 轴 (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函

10、数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用 典例 (12 分 )设函数 f(x) x2 2x 2， x t， t 1， t R，求函数 f(x)的最小值 思想方法指导 研究二次函 数的性质，可以结合图像进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图像的影响，进行分类讨论 规范解答 解 f(x) x2 2x 2 (x 1)2 1， x t， t 1， t R，函数图像的对称轴为 x 1.2分 当 t 1 1，即 t 0 时，函数图像如图 (1)所示，函数 f(x)在区间 t， t 1上为减函数， =【 ;精品教育资源文库 】

11、 = 所以最小值为 f(t 1) t2 1； 5 分 当 t1 t 1，即 0 t1 时，函数图像如图 (2)所示，在对称轴 x 1 处取得最小值，最小值为 f(1) 1； 8 分 当 t 1 时，函数图像如图 (3)所 示，函数 f(x)在区间 t， t 1上为增函数， 所以最小值为 f(t) t2 2t 2.11 分 综上可知， f(x)min? t2 1， t 0，1， 0 t1 ，t2 2t 2， t 1.12 分 1若函数 f(x) (m 1)x2 2mx 3 为偶函数，则 f(x)在区间 ( 5， 3)上 ( ) A先减少后增加 B先增加后减少 C是减少的 D是增加的 答案 D 2 (2018 江西九江七校联考 )若幂函数 f(x) (m2 4m 4) 2 68mmx 在 (0， ) 上为增函数，则 m 的值为 ( ) A 1 或 3 B 1 C 3 D 2 答案 B 解析 由题意得 m2 4m 4 1， m2 6m 8 0， 解得 m 1. 3已知函数 f(x) ax2 x 5 的图像在 x 轴上方，则 a 的取值范围是 ( ) A.? ?0， 120 B.? ? ， 120 C.? ?120， D.? ? 120， 0 答案 C