人教版八上13.4-最短路径问题课件.ppt

1、八年级八年级 上册上册陈巷中学王洪波陈巷中学王洪波已知直线已知直线l和直线和直线l外一点外一点P，在点，在点P 与直与直线线l连接的线段中，哪一条最短？连接的线段中，哪一条最短？ 垂线段最短垂线段最短Pl这是两根互相平行的水管，由于工程需要，现这是两根互相平行的水管，由于工程需要，现在要用一根水管把它们接通。这是设计草图，在要用一根水管把它们接通。这是设计草图，你认为选用哪根水管最节省材料，为什么？你认为选用哪根水管最节省材料，为什么？如图所示，从如图所示，从A地到地到B地有三条路可供选择，地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 两点之间两

2、点之间,线段最短线段最短FEDCBA已知已知： 如如图，图，A，B在直线在直线L的两侧，在的两侧，在L 上求上求 一点一点P，使得使得PA+PB最小。最小。 P 两点之间两点之间,线段最短线段最短连接连接AB,AB,线段线段ABAB与直线与直线L L的交点的交点P P ，就是所求。，就是所求。如图，要在燃气管道如图，要在燃气管道L L上修建一个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向A A、B B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？输气管线最短？P所以泵站建在点所以泵站建在点P P可使输气管线最短可使输气管线最短应用问题问题1相传，古

3、希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？A精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识知识回答了这个问题这个问题后来被称为回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马

4、问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ AlABCC转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？分析：分析：A（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把）我们能否把A、B两点转化到直线两点转化到直线l 的异侧呢？的异侧呢？ （3）利用什么知识可以实现转化目标？）利用什么知识可以实现转化目标？分析：分析：lABClABC思考思考你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABC 作法：作法： 作点作点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B

5、 B/ /. . 连接连接ABAB/ /, ,交直线交直线l l于点于点P.P. 点点P P的位置即为所求的位置即为所求. .思考思考你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABCC证明：证明：在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边 问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区向居民区A A、B B提供牛奶，奶站应建在什么地方，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从才能使从A A、B B到它的距

6、离之和最短到它的距离之和最短 练习练习已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，在内部任意一点，在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使，组成三角形，使三角形周长最小三角形周长最小.BCDE分析：分析：当当ABAB、BCBC和和ACAC三条边的长度恰好能够体现在三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小一条直线上时，三角形的周长最小 已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，在内部任意一点，在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使，组成三角形，使三角形周长最小三角形周长最小.分别作点分别作点A

7、关于关于OM，ON的对称的对称点点A，A；连接连接A，A，分别交，分别交OM，ON于于点点B、点、点C，点点B、点、点C即为所求即为所求如图：牧马人某一天要从如图：牧马人某一天要从A低出发，先到草低出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请你帮他确定这一天的最短路线。处，请你帮他确定这一天的最短路线。ABABA/B/PQ最短路线：最短路线：A P Q BA P Q BlMN如图，如图，A和和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥桥MN.桥造在何处才能使从桥造在何处才能使从A到到B的路径的路径AMNB最短

8、？最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA造桥选址问题）造桥选址问题）分析分析：lABCaBAbMNA 如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A，使AA等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？作法：作法：1.1.将点将点B B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E E， 2.2.连接连接AEAE交河对岸与点交河对岸与点M,M, 则点则点M M为建桥的位置，为建桥的位置，MNMN为所建的桥为所建的桥。证明：由平移的性质，得证明：由平移的性质，得 BNEM B

9、NEM 且且BN=EM, MN=CD, BN=EM, MN=CD, BDBDCE, BD=CE,CE, BD=CE,所以所以A.BA.B两地的距两地的距: :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在若桥的位置建在CDCD处，连接处，连接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,则则ABAB两地的距离为：两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE, AC+CE+MNAC+CE+MNAE+M

10、N,AE+MN,即即AC+CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以桥的位置建在所以桥的位置建在CDCD处，处，ABAB两地的路程最短。两地的路程最短。ABMNECD如图，小河边有两个村庄如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自要在河边建一自来水厂向村庄来水厂向村庄A与村庄与村庄B供水。供水。 (1)若要使厂部到若要使厂部到A,B村庄的距离相等，则应选择村庄的距离相等，则应选择在哪建厂？在哪建厂？（2）若要使厂部到）若要使厂部到A,B村的水管最省料，应建在村的水管最省料，应建在什么地方？什么地方？A村村B村村课堂小结AB线段公理：两点之间，线段最短.最短路径问题垂线

11、段性质：垂线段最短.BAlaBAbMNAlABCB如图，荆州古城河在如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，处直角转弯，河宽相同，从从A处到达处到达B处，须经两座桥：处，须经两座桥：DD，EE（桥宽不（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使的，怎样架桥可使ADDEEB的路程最短？的路程最短？ 能力提升 你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识.如图，四边形ABCD是长方形的球桌台面，有两个球分别位于P、Q两点上，先找出P点关于BC的对称点P，连接PQ交BC于M点，则P处的球经BC反弹后，会击中Q处的球. 请回答：如果使P球先碰撞台边BC反弹碰撞台边AD后，再击中Q球，该如何撞击呢?（画出图形）作业作业ACDBPQA村村B村村