1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 综合法、分析法、反证法 一、选择题 1.若 a， b R， 则下面四个式子中恒成立的是 ( ) A.lg(1 a2)0 B.a2 b2 2(a b 1) C.a2 3ab2b2 D.ab1， a m 1 m， b m m 1， 则以下结论正确的是 ( ) A.ab B.a m m 1 0(m 1)， 1m 1 m40， 6 72 2 5. 答案 6 72 2 5 7.用反证法证明命题 “ a， b R， ab 可以被 5 整除 ， 那么 a， b 中至少有一个能被 5 整除 ” ，那么假设的内容是 _. 答案 都不能被 5 整除 8.下列条件： a
2、b0， ab0， b0， a0 成立 ， 即 a， b 不为 0 且同号即可 ， 故 能使 ba ab 2成立 . 答案 三、解答题 9.若 a， b， c 是不全相等的正数 ， 求证： lga b2 lgb c2 lgc a2 lg a lg b lg c. =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明 a， b， c (0， ) ， a b2 ab 0， b c2 bc 0， a c2 ac 0. 又上述三个不等式中等号不能同时成立 . a b2 b c2 c a2 abc 成立 . 上式两边同时取常用对数 ， 得 lg? ?a b2 b c2 c a2 lg abc， lga b2 lgb c
3、2 lgc a2 lg a lg b lg c. 10.设数列 an是公比为 q 的等比数列 ， Sn是它的前 n 项和 . (1)求证： 数列 Sn不是等比数列； (2)数列 Sn是等差数列吗？为什么？ (1)证明 假设数列 Sn是等比数列 ， 则 S22 S1S3， 即 a21(1 q)2 a1 a1 (1 q q2)， 因为 a1 0， 所以 (1 q)2 1 q q2， 即 q 0， 这与公比 q0 矛盾 ， 所以数列 Sn不是等比数列 . (2)解 当 q 1 时 ， Sn na1， 故 Sn是等差数列； 当 q1 时 ， Sn不是等差数列 ， 否则 2S2 S1 S3， 即 2a1
4、(1 q) a1 a1(1 q q2)， 得 q 0， 这与公比 q0 矛盾 . 综上 ， 当 q 1 时 ， 数列 Sn是等差数列；当 q1 时 ， 数列 Sn不是等差数列 . 11.已知函数 f(x) ? ?12x， a， b 是正实数 ， A f? ?a b2 ， B f( ab)， C f? ?2aba b ， 则 A，B， C 的大小关系为 ( ) A.A B C B.A C B C.B C A D.C B A 解析 a b2 ab 2aba b， 又 f(x) ? ?12x在 R 上是减函数 ， f? ?a b2 f( ab) f? ?2aba b . 答案 A 12.设 a， b
5、， c 均为正实数 ， 则三个数 a 1b， b 1c， c 1a( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.都大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2 解析 a 0， b 0， c 0， ? ?a 1b ? ?b 1c ? ?c 1a ? ?a 1a ? ?b 1b ?c 1c 6， 当且仅当 a b c 1 时 ，“ ” 成 立 ，故三者不能都小于 2， 即至少有一个不小于 2. 答案 D 13.如果 a a b ba b b a， 则 a， b 应满足的条件是 _. 解析 a a b b (a b b a) a(a b) b(b a) ( a b)(
6、a b) ( a b)2( a b). 当 a0 ， b 0 且 a b 时 ， ( a b)2( a b)0. a a b ba b b a成立的条件是 a0 ， b 0 且 a b. 答案 a0 ， b 0 且 a b 14.(2015 安徽卷 )设 n N*， xn是曲线 y x2n 2 1 在点 (1， 2)处的切线与 x 轴交点的横坐标 . (1)求数列 xn的通项公式； (2)记 Tn x21x23? x22n 1， 证明： Tn 14n. (1)解 y (x2n 2 1) (2n 2)x2n 1， 曲线 y x2n 2 1 在点 (1， 2)处的切线斜率为2n 2， 从而切线方程
7、为 y 2 (2n 2)(x 1). 令 y 0， 解得切线与 x 轴的交点的横坐标 xn 1 1n 1 nn 1， 所以数列 xn的通项公式xn nn 1. (2)证明 由题设和 (1)中的计算结果知 ， Tn x21x23? x22n 1 ? ?122?342? ? ?2n 12n2. 当 n 1 时 ， T1 14. 当 n2 时 ， 因为 x22n 1 ? ?2n 12n2 （ 2n 1）2（ 2n） 2 （ 2n 1） 2 1（ 2n） 2 2n 22n n 1n ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 Tn? ?122 12 23? n 1n 14n.综 上可得，对任意的 n N*， 均有 Tn 14n.
