静水压强分布图实例课件.ppt

1、 2-1 静水压强及其特性 2-2重力作用下静水压强的分布规律 2-3压强的计算基准和量度单位 2-4测量压强的仪器 2-5静水压强分布图 2-6 作用在平面上的静水总压力 2-7 作用在曲面上的静水总压力 2-8液体平衡微分方程 2-9重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡水静力学的主要内容教学基本要求教学基本要求 1、正确理解静水压强的两个重要的特性和等压面的性质。 2、掌握静水压强基本公式和物理意义，会用基本公式进行静水压强计算。 3、掌握静水压强的单位和三种表示方法：绝对压强、相对压强和真空度；理解位置水头、压强水头和测管水头的物理意义和几何意义。 4、掌握静水压强的测量方法和计算。 5

2、、会画静水压强分布图，并熟练应用图解法和解析法计算作用在平面上的静水总压力。 6、会正确绘制压力体剖面图，掌握曲面上静水总压力的计算。 7 、会计算液体的相对平衡学习重点学习重点 1、静水压强的两个特性及有关基本概念。 2、重力作用下静水压强基本公式和物理意 义。 3、静水压强的表示和计算。 4、静水压强分布图和平面上的流体总压力的计算。 5、压力体的构成和绘制以及曲面上静水总压力的计算。 6、处于相对平衡状态的液体中压强的计算。2-1 2-1 静水压强及其特性静水压强及其特性一、静水压强一、静水压强 静水压力：是指液体内部相邻两部分之间相互作用的力或指液体对固体壁面的作用力（或静止液体对其接

3、触面上所作用的压力）。其一般用符号p 表示，单位是kN或。 1. 平均静水压强如图2-所示它反映了受压面A上 静水压强的平均值。 点压强APpAPpAlim0图2-1二、静水压强的特性二、静水压强的特性 静水压强的方垂直指向受压面或沿受压面的内法线方向 这一特性可由反证法给予证明，如下图所示。pF切向应力作用力法向压强 静止液体中作用于同一点各个方向的静水压强都静止液体中作用于同一点各个方向的静水压强都相等。相等。 证明如下证明如下: :在静止流体中任取一微元四面体在静止流体中任取一微元四面体, ,对其进行对其进行受力分析受力分析. .pypxpzpn作用在ACD面上的流体静压强作用在ABC面

4、上的流体静压强作用在BCD面上的静压强作用在ABD和上的静压强图 微元四面体受力分析 表面力：（只有各面上的垂直压力即周围液体的静水压力）nnnZZZZYYYYXXXXdApdPdxdypdApdPdxdzpdApdPdydzpdApdP212121 质量力：（只有重力、静止）如图所示 其质量为 ，单位质量力在各方向上的分别为X、Y、Z，则质量力在各方向上的分量为dxdydzZdxdydzYdxdydzX61,61,610, 0, 0ZYXFFFdxdydz61以X方向为例：061),cos(dxdydzXXndApdApFnnXXX 因为 代入上式得： 当四面体无限地缩小到0点时，上述方程中

5、最后一项近于零，取极限得, 即 上式说明，在静止液体中，任一点静水压强的大小与作用面的方位无关，但液体中不同点上的静水压强可以不等，因此，静水压强是空间坐标的标量函数，即： dydzdAXndAxn21),cos(03XdxppnXnXppnZYXpppp),(ZYXpp dzzpdyypdxxpdp（2-22-2）2-22-2重力作用下静水压强的分布规律重力作用下静水压强的分布规律压强由两部分组成：压强由两部分组成：静水压强的基本方程静水压强的基本方程液面上的气体压强液面上的气体压强p0高度为高度为h的水柱产生的压强的水柱产生的压强gh在质量力只有重力的情况下在质量力只有重力的情况下, ,静

6、止液体中的压强符合如下规律静止液体中的压强符合如下规律: :0ppghpzcg静水压强的基本方程也可写成如下形式静水压强的基本方程也可写成如下形式: :式中式中c c为积分常数，由边界条件确定。为积分常数，由边界条件确定。静水压强基本方程的适用范围是静水压强基本方程的适用范围是: :重力场中连续、重力场中连续、均质、不可压缩流体均质、不可压缩流体。若在静止液体中任取两点若在静止液体中任取两点l l和和2 2，点，点1 1和点和点2 2压强各为压强各为p p1 1和和p p2 2，位置坐标各为位置坐标各为z z1 1和和z z2 2，则可把式，则可把式改写成另一表达式，即：改写成另一表达式，即：

7、 pzcggpzgpz2211121z2z2p静压强基本方程的几何意义和物理意义1p00 为了进一步理解静水压强基本方程式，现在来讨为了进一步理解静水压强基本方程式，现在来讨论该方程的物理意义和几何意义论该方程的物理意义和几何意义 1.1.物理意义物理意义 式中：式中： z z 的物理意义表示为单位重量流体对某一基准面的位的物理意义表示为单位重量流体对某一基准面的位置势能。置势能。 式中的式中的 表示单位重量流体的压强势能。表示单位重量流体的压强势能。 gp这可说明如下：如这可说明如下：如图图所示，容器离基准面所示，容器离基准面z z处开一个小孔，处开一个小孔，接一个顶端封闭的玻璃管接一个顶端

8、封闭的玻璃管( (称为测压管称为测压管) )，并把其内空气抽出，并把其内空气抽出，形成完全真空形成完全真空( (p=0p=0) )，在开孔处流体静压强，在开孔处流体静压强p p的作用下，流体的作用下，流体进入测压管，上升的高度进入测压管，上升的高度h=p/gh=p/g称为单位重量流体的压强称为单位重量流体的压强势能。位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能。势能。位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能。所以静水压强基本方程表示在重力作用下静止流体中各点的所以静水压强基本方程表示在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。这就是静止液体中的能量单位重量流体的总势能是相等的

9、。这就是静止液体中的能量守恒定律。守恒定律。2.2.几何意义几何意义 单位重量流体所具有的能量也可以用液柱高度单位重量流体所具有的能量也可以用液柱高度来表示，并称为水头。来表示，并称为水头。 式中：式中： z z 具有长度单位，如具有长度单位，如图图所示，所示，z z 是流体质点离基准面是流体质点离基准面的高度，所以的高度，所以z z的几何意义表示为单位重量流体的位置高的几何意义表示为单位重量流体的位置高度或位置水头。度或位置水头。 也是长度单位，它的几何意义表示为单位重也是长度单位，它的几何意义表示为单位重量流体的压强水头。位置水头和压强水头之和称为静水量流体的压强水头。位置水头和压强水头之

10、和称为静水头。所以该式也表示在重力作用下静止流体中各点的静头。所以该式也表示在重力作用下静止流体中各点的静水头都相等。水头都相等。 在实际工程中，常需计算有自由液面的静在实际工程中，常需计算有自由液面的静止液体中任意一点的静压强。止液体中任意一点的静压强。gpxzyp0AZApg 如图所示，在一密闭容器中盛有密度为的液体，若自由液面上的压强为p0、位置坐标为z0，则在液体中位置坐标为z的任意一点A的压强p可由该式得到，即 或 式中h=z0-z是静止流体中任意点在自由液面下的深度。 上式是重力作用下流体液体方程的又一重要形式。由它可得到三个重要结论：(1)在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按

11、线性规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。 (2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：一部分是自由液面上的压强p0；另一部分是该点到自由液面的单位面积上的液柱重量 。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h常数)的各点的静压强相等，即任一水平面都是等压面。gpzgpz00ghzzgpp)(00ghpp0ghZ0p0AhxzyZp0=pa 例题例题 已知：已知：p p0 0=98kN/m=98kN/m2 2， h=1mh=1m，求：该点的静水压强求：该点的静水压强h解：解：0232298/1000/9.8/11000107.8/ppghkN mkg mm smkN mppa在容器壁

12、面上同水深处的一点所受到的压强有多大？在容器壁面上同水深处的一点所受到的压强有多大？该点所受到的有效作用力有多大？该点所受到的有效作用力有多大？等压面等压面 在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。 1.1.等压面方程等压面方程 2. 2. 等压面特性等压面特性 等压面就是等势面。等压面就是等势面。 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。的等压面。 等压面不能相交等压面不能相交 绝对静止流体的等压面是水平面绝对静止流体的等压面是水平面 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面

13、两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面结论：同一种静止相连通的流体的等压面必是水平面（只有重结论：同一种静止相连通的流体的等压面必是水平面（只有重力作用下）自由表面、不同流体的交界面都是等压面。力作用下）自由表面、不同流体的交界面都是等压面。 0ZdzYdyXdx 一、压强的表示一、压强的表示 1. 1. 计算基准计算基准 绝对压强：以完全真空时的绝对零压强绝对压强：以完全真空时的绝对零压强(p(p0)0)为基准来计为基准来计量的压强称为绝对压强；量的压强称为绝对压强； 相对压强：相对压强： 以当地大气压强为基准来计量的压强称为相对压强。以当地大气压强为基准来计量的压强称为相对压强。 绝对压

14、强与相对压强之间的关系可在下面导出。当绝对压强与相对压强之间的关系可在下面导出。当自由液面上的压强是当地大气压强自由液面上的压强是当地大气压强p pa a时，则液体中任一点的时，则液体中任一点的压强可写成压强可写成 因为因为p p可以由压强表直接测得，所以又称计示压强。可以由压强表直接测得，所以又称计示压强。ghppa 2-3 2-3 压强的计算基准和量度单位压强的计算基准和量度单位appp 当流体的绝对压强低于当地大气压强时，就说该流体当流体的绝对压强低于当地大气压强时，就说该流体处于真空状态。例如水泵和风机的吸入管中，凝汽器、锅炉处于真空状态。例如水泵和风机的吸入管中，凝汽器、锅炉炉膛以及

15、烟囱的底部等处的绝对压强都低于当地大气压强，炉膛以及烟囱的底部等处的绝对压强都低于当地大气压强，这些地方的计示压强都是负值，称为这些地方的计示压强都是负值，称为真空或负压强真空或负压强，用符号，用符号p pv v表示，则表示，则 为了正确区别和理解绝对压强、计示压强和真空之间为了正确区别和理解绝对压强、计示压强和真空之间的关系，可用的关系，可用图图来说明。来说明。 pppav真空 绝对压强计示压强绝对压强图 绝对压强、计示压强和真空之间的关系 流体静压强的量度单位主要有三种流体静压强的量度单位主要有三种: :应力单位应力单位, ,大气压的大气压的倍数和液注高度。为了便于换算，现将常遇到的几种压

16、强单位倍数和液注高度。为了便于换算，现将常遇到的几种压强单位及其换算系数列于表中。及其换算系数列于表中。表表 压强的单位及其换算表压强的单位及其换算表0p 当地大气压强当地大气压强 在没有特别说明情况下，一在没有特别说明情况下，一般以般以1 1个工程大气压强计。故个工程大气压强计。故 例题例题 封闭盛水容器中的玻璃管两端开口，如图所示，已知玻璃管封闭盛水容器中的玻璃管两端开口，如图所示，已知玻璃管伸入水面以下伸入水面以下h h=1.5m=1.5m时，既无空气通过玻璃管进入容器，又无水进时，既无空气通过玻璃管进入容器，又无水进入玻璃管。试求此时容器内水面上的绝对压强入玻璃管。试求此时容器内水面上

17、的绝对压强 和相对压强和相对压强 。0p 解解 容器内水面上任一点和玻璃管底部上的压强间有如下关容器内水面上任一点和玻璃管底部上的压强间有如下关系系: :apghp0ghppa02N/m833855 . 181. 9100098100ap由式（由式（2 22626）求得）求得ghpppa002N/m147155 . 18 . 91000h h0pap 例题图例题图 例题例题 ：如图已知，：如图已知，p p0 0=98kN/m=98kN/m2 2，h=1mh=1m，求：该点的绝对压强及相对压强求：该点的绝对压强及相对压强p0=pah2098 1 9.8 1107.8/ppghkN m 解：解：2

18、107.8989.8/apppkN m例例2：如图已知，：如图已知， p p0 0=50kN/m=50kN/m2 2，h=1mh=1m，求：该点的绝对压强及相对压强求：该点的绝对压强及相对压强p0h解：解：2050 1 9.8 159.8/ppghkN m 259.89838.2/apppkN m pa相对压强为什么是负值？相对压强为什么是负值？ 什么位置处相对压强为零？什么位置处相对压强为零？29859.838.2/kapppkN m2.42.4测量测量压强的仪器压强的仪器1.1.测压管测压管2.2.U U型管测压计型管测压计3.3.差压计差压计4.4.微压计微压计;ghp如图可测水中大于大

19、气压的相对压强1、测压管0papAh 测压管 2、 U 形管测压计2211ghppghppma12ghghpppma 由于U形管1、2两点在同一等压面上， ，由此可得A点的相对压强21pp 当被测流体为气体时，由于气体的密度比较小，上式最后一项 可以忽略不计。1gh1h2h 当被测流体压强较大时，常采用图所示的U形管测压计在连续静止的汞中读出 、 。则有ap0pAp12m1h2h 【例题例题】 已知密闭水箱中的液面高度h4=60mm，测压管中的液面高度h1=100cm，形管中右端工作介质高度，如图所示。试求形管中左端工作介质高度h3为多少？ 【解解】 列11截面等压面方程，则 （a） 列22截

20、面等压面方程，则 （b）把式（a）代入式（b）中 =0.1365(m)=136.5(mm)(410H02hhgppa) 6 . 00 . 1 (0H2gpagpa0H24 . 0)()(32Hg340H02hhgphhgpa)2 . 0 ()6 . 0 (4 . 03Hg30H0H22hgphggpaa1000136001000136002 . 02 . 00HHg0HHg322h例题图 示 【例题例题】用双形管测压计测量两点的压强差，如图所示，已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200 mm，h4=300mm，h5=500mm，1=1000/m3，2=800/m3，3=13598/

21、m3，试确定和两点的压强差。 【解解】根据等压面条件，图中11，22，33均为等压面。可应用流体静力学基本方程式逐步推算。 P1=p2+1gh1 p2=p1-3gh2 p3=p2+2gh3 p4=p3-3gh4 pB=p4-1g(h5-h4) 逐个将式子代入下一个式子，则 pB=pA+1gh1-3gh2+2gh3-3gh4-1g(h5-h4) 所以 pA-pB= 1g(h5-h4)+3gh4 +3gh2-2gh3 -1g h1=9.8061000（0.5-0.3） +1334000.3-78500.2 +1334000.25-9.80610000.6 =67876（Pa）例题图示3、差压计 定

22、义：定义：ghpp21管道上部为倒U 形管式水柱差计，忽略空气密度，则计算公式为：gHpp21测量两点压强差的仪器叫做压差计。如图所示。水管下部为U形管式汞差压计，它的计算公式为：hHh2p1p差压计原理图4、 微压计 测量较小压强或压强差的仪器叫做微压计。如图所示就是其中一种。定义：定义：2phh1p1Al2A倾 斜 式 微 压 计原理图 因此，根据静水压强基本方程可得 倾斜式微压计是由一根倾角 可调的玻璃管（横截面面积为 ）和一个盛液体的小容器（横截面面积为 ）组成。如果斜管入口压强 和容器入口压强 相等，则容器内液面与斜管中的液面齐平；当 和 不相等时，例如 ，则斜管中液面将上升 ，容器

23、内液面下降 。 21pp h2A1p2p2p1p1Ah)(12hhgpp 由于容器内液面下降的体积与斜管中液面上升的体积相等，即有 lAAh21又sinlh 整理得lAAgpp)(sin2112 【例例2-1】如图所示为双杯双液微压计，杯内和形管内分别装有密度1=lOOOkg/m3和密度2 =13600kg/m3的两种不同液体，大截面杯的直径100mm，形管的直径d=10mm，测得h=30mm，计算两杯内的压强差为多少? 【解解】列12截面上的等压面方程 由于两边密度为1的液体容量相等，所以D2h2=d2h，代入上式得 =3709.6(pa)ghhhhgpghp21212111)(hgDdgp

24、p122221103. 0806. 910001 . 001. 01806. 91360022图2-172.5静水压强分布图静水压强分布图 即表示受压面上各点压强（大小和方向）分布的图形，简称静水压强图。 绘制规则：按一定的比例尺，用一定长度的线段代表流体静压强的大小。用箭头表示流体静压强的方向，并与该处作用面相垂直。在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分布图，当流体的表面压强为 时 ，即p与h呈线性关系，据此绘制流体静压强图。0php 压强分布示意图 静水压强分布示意图静水压强分布图实例静水压强分布图实例ABpaPa+gh画出下列画出下列AB或或ABC面上的静水压强分布图

25、面上的静水压强分布图0ppgh相对相对压强分布图ABghBABCABAB画出下列容器左侧壁面上的压强分布图2.62.6作用于平面壁上的静水总压力作用于平面壁上的静水总压力图解法图解法解析法解析法适用于任意形状平面适用于任意形状平面适用于矩形平面适用于矩形平面图解法图解法作用于矩形平面上的静水总压力的计算作用于矩形平面上的静水总压力的计算静水压强分布图静水压强分布图把某一受压面上压强随水深变化的函数关把某一受压面上压强随水深变化的函数关系表示成图形，称为静水压强分布图。系表示成图形，称为静水压强分布图。的绘制规则：的绘制规则：1.按一定比例按一定比例,用线段长度代表该点静水压强的大小用线段长度代

26、表该点静水压强的大小2.用箭头表示静水压强的方向用箭头表示静水压强的方向,并与作用面垂直并与作用面垂直静水总压力的大小静水总压力的大小:PFb 其中其中b为矩形受压面的宽度；为矩形受压面的宽度；为静水压强分布图形的面积；为静水压强分布图形的面积；静水总压力的方向：垂直并指向受压面静水总压力的方向：垂直并指向受压面静水总压力的作用点（压力中心或压心）：通过压强分静水总压力的作用点（压力中心或压心）：通过压强分布体的重心（或在矩形平面的纵对称轴上，且应通过压布体的重心（或在矩形平面的纵对称轴上，且应通过压强分布图的形心点）强分布图的形心点）举例【例题】如图所示，某挡水矩形【例题】如图所示，某挡水矩

27、形闸门，门宽闸门，门宽b=2m，一侧水深，一侧水深h1=4m，另一侧水深，另一侧水深h2=2m，试，试用图解法求该闸门上所受到的静用图解法求该闸门上所受到的静水总压力。水总压力。h1h2解法一：解法一：首先分别求出两侧的水压力，然后求合力。首先分别求出两侧的水压力，然后求合力。1 1111000 9.8 4 4 2156800156.822PFbghhbNkN 左左22111000 9.8 2 2 23920039.222PFbgh h bNkN 右右h1/3h2/3156.839.2117.6PPPFFFkN左右方向向右方向向右e依力矩定理：依力矩定理：1233PPPhhFeFF 左右可解得

28、：可解得：e=1.56m答答:该闸门上所受的静水总压力大小为该闸门上所受的静水总压力大小为117.6kN，方向向右，方向向右，作用点距门底作用点距门底1.56m处。处。合力对任一轴的力矩等于各分力对合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和。该轴力矩的代数和。解析法解析法作用于任意形状平面上的静水总压力作用于任意形状平面上的静水总压力hcCbCLCLO（b）M（b，L）dAhdFPsinPdFghdAgLdAsinsinPPAAAFdFgLdAgLdACALdAL A其中其中 为平面对为平面对Ob轴的面积矩轴的面积矩sinPccFgL Agh A所以静水总压力的大小为所以静水总压力的大小为

29、PcFp A其中其中pc为受压面形心点的压强；为受压面形心点的压强； A为受压面的面积。为受压面的面积。依力矩定理，依力矩定理，FPDD2sinsinPDPAAAFLL dFL gLdAgL dA其中其中 为平面对为平面对Ob轴的面积惯性矩，记为轴的面积惯性矩，记为2AL dA2bccIIL A整理可得静水总压力的压心位置：整理可得静水总压力的压心位置：cDccILLL A其中其中Ic表示平面对于通过其形心点且与表示平面对于通过其形心点且与Ob轴平行的轴线的面积惯性矩。轴平行的轴线的面积惯性矩。举例 【例题】一垂直放置的圆形平板闸【例题】一垂直放置的圆形平板闸门如图所示，已知闸门半径门如图所示

30、，已知闸门半径R=1m，形心在水下的淹没深度形心在水下的淹没深度hc=8m，试用，试用解析法计算作用于闸门上的静水总压解析法计算作用于闸门上的静水总压力。力。hchDFP解：解：2246PccFpAghRkNLO答：该闸门上所受静水总压力的大小为答：该闸门上所受静水总压力的大小为246kN，方向向右，方向向右，在水面下在水面下8.03m处。处。448.03CDCCCCRILLhmLAhA【例题【例题】某泄洪隧洞，在进口倾斜设置一矩形平板闸门（如图），倾角=60,门宽b=4m，门长L=6m，门顶的淹深h1=10m,若不计闸门自重时，问：沿斜面拖动闸门所需的拉力T为多少？（已知闸门与门 之间摩擦系

31、数f=0.25） 门上静水总压力的作用点在哪里？解：当不计门重时，T至少需克服闸门与门之间的摩擦力，故T=Pf为此，需求出P。 用图解法求P及其作用点。 如图画出其压力分布图，则 P=Ab=1/2 (h1+h2) Lb =2964KN 作用点距闸门底部的斜距 （ h1=10，h2=10+6sin） P距平面的斜距mehLLD71.14)60sin(1mhhhhLe79. 2)( 3)2(2121（也可用解析法求解）)(21sin1)(21sin21212221hhLbhhbdhbhdLbhPhh 例题 图示 【例题例题】 下图表示一个两边都承受水压的矩形水闸，如果两边的水深分别为h1=2m，h

32、2=4m，试求每米宽度水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。 【解解】 淹没在自由液面下h1深的矩形水闸的形心yc=hc=h1/2 每米宽水闸左边的总压力为 由压力中心公式确定的作用点F1位置 )(19612 298062121 12221111NghhhgAghFcAyIyycccD1例题图 示 其中通过形心轴的惯性矩IC=bh31/12，所以即即F1的作用点位置在离底1/3h=2/3m处。 淹没在自由液面下h2深的矩形水闸的形心yc=hc=h2/2。 每米宽水闸右边的总压力为 （） 同理F2作用点的位置在离底1/3h2=2/3m处。 每米宽水闸上所承受的净总压力为 F=F2-F1=784

33、48-19612=58836（） 假设净总压力的作用点离底的距离为h，可按力矩方程求得其值。围绕水闸底O处的力矩应该平衡，即 （m) 784484980621212222ghF331122hFhFFh56. 158836321961247844831122FhFhFh2-7 2-7 作用在曲面上的静水总压力作用在曲面上的静水总压力 实际工程中有许多承受液体总压力的曲面，实际工程中有许多承受液体总压力的曲面，主要是圆柱体曲面，如锅炉汽包、除氧器水箱、油主要是圆柱体曲面，如锅炉汽包、除氧器水箱、油罐和弧形阀门等。由于静止液体作用在曲面上各点罐和弧形阀门等。由于静止液体作用在曲面上各点的压强方向都垂

34、直于曲面各点的切线方向，各点压的压强方向都垂直于曲面各点的切线方向，各点压强大小的连线不是直线，所以计算作用在曲面上静强大小的连线不是直线，所以计算作用在曲面上静止液体的总压力的方法与平面不同。止液体的总压力的方法与平面不同。 一、总压力的大小和方向一、总压力的大小和方向 图图a a 和图和图b b所示为一圆柱形开口容器中某一部分所示为一圆柱形开口容器中某一部分曲面曲面ABAB上承受液体静止压强的情况。设曲面的宽度为上承受液体静止压强的情况。设曲面的宽度为b b，在在A A处取一微小弧段处取一微小弧段dsds，则作用在宽度为，则作用在宽度为b b、长度为、长度为dsds的的弧面弧面dAdA上仅

35、由液体产生的总压力为上仅由液体产生的总压力为AghsghbPdddCDBAxHhdPdPxdPzds图a) 作用在圆柱体曲面上的总压力图b) 作用在圆柱体曲面上的总压力 这一总压力在OX轴与OZ轴方向的分力为： （a） （b） 1 1水平分力水平分力 由图a和图b可知， ，代入到式(a)，则 因此，静止液体作用在曲面AB上的总压力在OX轴方向的分力，即水平分力为 （c） 式中 为曲面面积在垂直平面（OYZ坐标面）上的投影面积AX对OY轴的面积矩，它等于投影面积的形心到OY轴的距离与投影面积的乘积，即 。cosddpcosdpAghxsindsinddpAghPzxAAdcosdxxAghPdd

36、xcAxxAghAhgPdAxAhdAxcxAhAhd 该圆柱形曲面在垂直平面上的投影面积Ax=bH，其形心hc=H/2，则 由此可知，静止液体作用在曲面上的总压力的水平分力等于作用在这一曲面的垂直投影面上的总压力。Px作用线的位置位于自由液面下2/3H处。 2 2垂直分力垂直分力 由图a和图b可知，代入到式（b），则 因此静止液体作用在曲面AB上的总压力在OZ轴方向的分力，即垂直分力为 221gbHPxzzAghPddpAzzgVAhgPd 式中 是曲面AB与自由液面间的柱体体积， 在图a上就是面积OAB乘以曲面的宽度b，这个体积称为压力体。 由此可知，静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力

37、等于压力体的液体重量，Px的作用线通过压力体的重心。 3 3总压力的大小和方向总压力的大小和方向 求得了静止液体作用在曲面上水平分力Fx和垂直分力Fz后，就可确定静止液体作用在曲面上的总压力，即 总压力与垂线间夹角的正切为 AzAhdpAzVAhd22zxPPPzxPPtg 二、总压力的作用点二、总压力的作用点 总压力的作用线通过点总压力的作用线通过点px和和pz与作用线的与作用线的交点。总压力作用线与曲面的交点就是总压交点。总压力作用线与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用点，即压力中心。力在曲面上的作用点，即压力中心。三、压力体三、压力体压力体是所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分）到自压力

38、体是所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分）到自由液面或自由液面的延长面间投影所包围的一块空间体由液面或自由液面的延长面间投影所包围的一块空间体积。它的计算式积。它的计算式 是一个纯数学体积计算式。作用在曲面上的垂直分力的是一个纯数学体积计算式。作用在曲面上的垂直分力的大小等于压力体内液体的重量，并且与压力体内是否充大小等于压力体内液体的重量，并且与压力体内是否充满液体无关。为了说明这一点，满液体无关。为了说明这一点，作图作图c c，它表示由两个形，它表示由两个形状、尺寸和淹深完全相同的曲面状、尺寸和淹深完全相同的曲面abab和和a ab b所构成的容器，所构成的容器，容器内盛有某种液体。曲面容

39、器内盛有某种液体。曲面abab的压力体是过曲面的的压力体是过曲面的a a和和b b两点引垂线到液面所得两点引垂线到液面所得abcdabcd与容器的宽度构成的。曲面与容器的宽度构成的。曲面a ab b的压力体是过的压力体是过a a和和b bAzpAhVdhddcmmcPz图c 压力体的概念图Pz通常将液体和压力体处于受压曲面同侧的压力体称为实压力体或正压力体，如abcd，实压力体的 方向向下；将液体和压力体分布处于受压曲面异侧的压力体称为虚压力体或负压力体，如abcd， 方向向上。 举例zPzP压力体应由下列周界面所围成：压力体应由下列周界面所围成：（1）受压曲面本身）受压曲面本身（2）自由液面

40、或液面的延长面）自由液面或液面的延长面（3）通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面）通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面所作的铅垂平面ABABABC 四、静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序四、静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序 (1)将总压力分解为水平分力Px和垂直分力Pz。 (2)水平分力的计算， （如图c）。 (3)确定压力体的体积。 (4)垂直分力的计算， 方向由虚、实压力体（如图d）确定。 (5)总压力的计算， 。 (6)总压力方向的确定， 。 (7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。xcxAghPpzgVP22zxPPPzxPP /tgPx图c

41、水平水力的确定PzPz图d 压力体剖面图的绘制Pz的方向有两种可能性，向上或向下。压力体与液体位于曲面同侧时，向下；压力体与液体位于曲面异侧时，向上。 【例题例题】 求图e所示流体施加到水平放置的单位长度圆柱体上的水平分力和垂直分力：（a）如果圆柱体左侧的流体是一种计示压强为35kPa被密封的箱内的气体；（b）如果圆柱体左侧的流体是水，水面与圆柱体最高部分平齐，水箱开口通大气。 【解解】 （a）圆柱体表面所研究部分的净垂直投影为则35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水平分力为 Az=4-2(1-cos300) 1 则35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水平分力为 Fx=

42、pAz=354-2(1-cos300) 1 =353.75=130.5(kN) 圆柱体表面所研究部分的净水平投影为 Ax=2sin3001 则气体作用在单位长度圆柱体上的垂直分力为 Fz=pAx=352sin3001=35(kN) （b） Fx=ghcAx=9.81(1/23.73) (3.731) 1000=68.1（kN） Fz=gVp=9.811000(2100/360022+1/21 1.732+12) 1=100.5(KN) 图e 【例题例题】一弧形闸门如图所示，闸门宽度一弧形闸门如图所示，闸门宽度b=4m，圆心角，圆心角=45，半径，半径R=2m，闸门旋转轴恰与水面齐平。求水，闸门

43、旋转轴恰与水面齐平。求水对闸门的静水总压力。对闸门的静水总压力。解：闸门前水深为解：闸门前水深为ABhORsin2 sin451.414hRm水平分力：水平分力：1.4149.81.414 439.192PxcxcxFp Agh AkN铅直分力：铅直分力：211()22.3482PzFgVgRh h bkN静水总压力的大小：静水总压力的大小：2245.11PPxPzFFFkN静水总压力与水平方向的夹角：静水总压力与水平方向的夹角：arctan29.68PzPxFF静水总压力的作用点：静水总压力的作用点：ZDDsin2 sin29.681DZRm答：略。答：略。 【例题例题】 图f所示为一水箱，

44、左端为一半球形端盖，右端为一平板端盖。水箱上部有一加水管。已知h=600mm，R=150mm，试求两端盖所受的总压力及方向。 【解解】 （1）右端盖是一圆平面，面积为 A右=R2 其上作用的总压力有 F右=g(h+R)A右=g(h+R) R2 =1039.806(0.6+0.15) 3.140.152=520 （N） 方向垂直于端盖水平向右 （2）左端盖是一半球面，分解为水平方向分力Fx左和 垂直方向分力Fz左。 Fx左=g(h+R)Ax=g(h+R) R2 =1039.806(0.6+0.15) 3.140.152=520 （N） 方向水平向左 垂直方向分力由压力体来求，将半球面分成AB、B

45、E两部分，AB部分压力体为ABCDEOA，即图中左斜线部分，记为VABCDEOA，它为实压力体，方向向下；BE部分压力体为BCDEB，即图中右斜线部分，记为VBCDEB ，它为虚压力体，方向向上。因此总压力体为它们的代数和。 Vp= VABCDEOA -VBCDEB=VABEOA Vp正好为半球的体积，所以 Vp=1/2 4/3 R3 Pz左=g Vp= g2/3R3= 1039.8062/3 3.140.153=69.3(N) 方向垂直向下 总作用力为 （N） 合力通过球心与水平方向夹角为7 .5243 .695202222左左zxzPPP825375203 .69tgtg11 左左xzFF

46、图f2-8 2-8 液体平衡微分方程液体平衡微分方程一、液体平衡微分方程式一、液体平衡微分方程式 在静止流体中任取一边长为 dx ，dy 和dz 的微元平行六面体的流体微团，如图所示。现在来分析作用在这流体微团上外力的平衡条件。 由上节所述流体静压强的特性知，作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。设微元平行六面体中心点处的静压强为p，则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒（G.I.Taylor）级数展开，例如：在垂直于X轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为： 3332222d612d212dxxpxxpxxppzyxxppddd21pzyxxppddd21图 微元平行六面体x方向的受力

47、分析 略去二阶以上无穷小量后，分别等于 垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为： 同理，可得到垂直于y轴与z轴的微元面上的总压力分别为： yxzppdddz21 3332222d612d212dxxpxxpxxppxxppd21xxppd21zyxxppddd21zyxxppddd21zxyppdddy21zxyyppddd21yxzzppddd21 作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。若流体微团的平均密度为，则质量力沿三个坐标轴的分量为 ： 处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作用在其上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零。例如，对于x轴，则为 整理上式，并

48、把各项都除以微元平行六面体的质量dxdydz则得zyxXdddzyxYdddzyxZddd0dddddd21ddd21zyxfzyxxppzyxxppx01xpX同理得 写成矢量式 这就是流体平衡微分方程式，是在1755年由欧拉（Euler）首先推导出来的，所以又称欧拉平衡微分方程式。此方程的物理意义是：在静止流体中，某点单位质量流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推导这个方程中，除了假设是静止流体以外，其他参数(质量力和密度) 均未作任何限制，所以该方程组的适用范围是：静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。01ypY01pf01zpZX,Y,Z为单位质量力在各方向上的分力把上式两边分别乘

49、以dx，dy，dz，然后相加，得 流体静压强是空间坐标的连续函数，即 ，它的全微分为 所以 此式称为压强差公式。它表明：在静止流体中，空间点的坐标增量为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp，压强的增量取决于质量力。),(zyxppzzpyypxxppdddd)ddd(dzfyfxfpzyx)(ZdzYdyXdxdzzpdyypdxxp 二、流体平衡条件二、流体平衡条件 对于不可压缩均质流体，密度常数，可将平衡方程写成 上式左边是一个全微分，右边也是某一函数的全微分，令势数为W（x，y，z.），则W的全微分为：则有： 有势函数存在的力称为有势的力，由此得到一个重要的结论：只有在有势的质量

50、力作用下，不可压缩均质流体才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件。 ZdzYdyXdxpdzWZWYxWX.y.dzzWdyyWdxxWdW 三、等压面三、等压面 在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。 1.等压面方程 2. 等压面特性 等压面就是等势面。 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。 等压面不能相交 绝对静止流体的等压面是水平面 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面结论：结论：同一种静止相连通的流体的等压面必是水平面（只有重力作用下）自由表面、不同流体的交界面都是等压面。 0ZdzYdyXdx 下面以流体平衡微分方程式为基础，讨论质量力除下面以流体平