3-1-向量组的线性关系汇总课件.ppt

1、上页下页铃结束返回首页第三章第三章 向量空间初步向量空间初步3.1 向量组的线性关系向量组的线性关系3.2 向量组的秩向量组的秩3.3 向量空间向量空间 3.4 欧氏空间欧氏空间 上页下页铃结束返回首页一、一、n 维向量及其线性运算维向量及其线性运算二、向量组的线性组合二、向量组的线性组合 三、向量组的线性相关性三、向量组的线性相关性 3.1 向量组的线性关系向量组的线性关系上页下页铃结束返回首页一、一、n 维向量及其线性运算维向量及其线性运算v n 维向量空间维向量空间 Rn1212R(,)|,Rnnna aaa aa Rn 中任一元素称为一个中任一元素称为一个 n 维向量维向量. 称称 a

2、i 为向量为向量 a (a1, , an) 的的第第 i 个坐标个坐标分量分量. 以以 ai (i 1, , n)为第为第 i 个坐标的向量可写成列形式个坐标的向量可写成列形式1naaa 坐标全为零的向量称为坐标全为零的向量称为零向量零向量, 记为记为 0. 坐标完全一样的两向量坐标完全一样的两向量 a, b 称为称为相等向量相等向量, 记为记为 a b.上页下页铃结束返回首页v 向量的加法运算向量的加法运算 设向量设向量 a (a1, , an), b (b1, , bn), 定义定义11(,)nnababab称称 a b 为为 a 与与 b 的和的和.v 向量的数乘运算向量的数乘运算 规定

3、规定1(,)nkakaka 称称 ka 为数为数 k 与向量与向量 a 的乘积的乘积. 称称 (- -1)a 为向量为向量 a 的的负向量负向量, 记为记为 - -a. 设向量设向量 a (a1, , an), k 为实数为实数, 定义定义()baba- - - 向量的加法与数乘两种运算统称为向量的向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算线性运算.上页下页铃结束返回首页例例2 设设 x x1, , x xn- -r 为方程组为方程组 Ax 0 的一个的一个基础解系基础解系, 二、向量组的线性组合二、向量组的线性组合 Ax 0 的任一解向量的任一解向量 x,1 1n rn rxkk-xxxx

4、 若干同维向量的集合若干同维向量的集合, 称称向量组向量组. 向量组的一部分称向量组的一部分称部分组部分组.例例1 设设 1(1,0,0),e 2(0,1,0),e ,(0,0,1),ne 1 12 2n naa ea ea e称称 e1, e2, , en 为为 n 维维单位坐标向量组单位坐标向量组. 任一向量任一向量 a (a1, a2, , an) 可唯一地表示为可唯一地表示为 则对则对存在一组数存在一组数 k1, , kn-r , 使使上页下页铃结束返回首页v 线性组合线性组合 给定向量组给定向量组 a1, , am ,对任一数组对任一数组 k1, , km, 称向量称向量1 1mmb

5、k ak a为向量组为向量组 a1, , am 的一个线性组合的一个线性组合, 称称 k1, , km 为这个为这个线性组合的线性组合的表示表示系数系数. 并称并称 b 可由可由 a1, , am 线性表示线性表示.例例3 设矩阵设矩阵 A (a1, , am ), 则方程组则方程组 Ax b 有一组解有一组解 xi ki (i 1, , m), 也即也即1 1mmbk ak a 线性线性方程方程组组 Ax b 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是: 向量向量 b 可由矩阵可由矩阵 A 的的列向量组列向量组线性表示线性表示. 约定约定: 非特别交待时非特别交待时, 向量都采用向量都采用列形

6、式列形式.上页下页铃结束返回首页TTT121(,)aaxb 例例4 判断向量判断向量 1(4,3, 1,11)b -与与 2(4,3,0,11)b 是否为是否为 向量组向量组 1(1,2, 1,5),a -2(2, 1,1,1)a -的线性组合的线性组合. 若是若是,写出表示式写出表示式.解解 同时解方程组同时解方程组 TTT121(,)aaxb 和和 TTT122(,).aaxb TTTT1212(,)aabb1244055503340999r-124421331110511111- - -1022011100010000r的解为的解为122,1.xx因此因此 1122.baaTTT122(

7、,)aaxb 无解无解, 因此因此 b2 不可由不可由 a1, a2 线性表示线性表示.上页下页铃结束返回首页三、向量组的线性相关性三、向量组的线性相关性 线性线性方程方程组组 Ax b 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是: 向量向量 b 可由矩阵可由矩阵 A 的的列向量组列向量组线性表示线性表示. 若线性若线性方程方程组组 Ax b 有有无穷多无穷多解解, 则向量则向量 b 可用可用矩阵矩阵 A 的列向量组的列向量组的无穷多个的无穷多个线性线性组合来线性表示组合来线性表示. 设向量设向量 b 有两个线性表示式有两个线性表示式1 1mmbh ah a和和1 1mmbl al a则则111

8、()()0mmmhl ahla- b 的两个表示式不同的两个表示式不同, 也即存在一组也即存在一组不全为零不全为零的数的数 111,mmmkhlkhl-使成立使成立1 10mmk ak a此时此时, 称向量组称向量组 a1, , am 线性相关线性相关.上页下页铃结束返回首页那么称那么称 a1, , am 线性相关线性相关.k1, , km , 使使v 线性相关性线性相关性 设有向量组设有向量组 a1, , am , 如果存在一组如果存在一组不全为零不全为零的数的数1 10mmk ak av 基本性质基本性质 (1) 若向量若向量 b 可由向量组可由向量组 a1, , am 线性表示线性表示,

9、 当当 a1, , am 线性相关时线性相关时, 表示式不唯一表示式不唯一; 当当 a1, , am 线性无关时线性无关时, 表示式唯一表示式唯一. (2) 若部分组线性相关若部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关则整个向量组也线性相关.(3) 若向量组线性无关若向量组线性无关, 则任一部分组也线性无关则任一部分组也线性无关.则向量组则向量组 b, a1, , am 线性相关线性相关.否则否则, 称称 a1, , am 线性无关线性无关.上页下页铃结束返回首页1 10mmk ak a a1, , am 线性无关线性无关, 也即向量方程也即向量方程只有零解只有零解.1 10mmx ax av

10、定理定理1 m 元方程组元方程组 Ax 0 只有零解的充要条件是只有零解的充要条件是 R(A) m.v 线性相关性线性相关性 那么称那么称 a1, , am 线性相关线性相关.k1, , km , 使使 设有向量组设有向量组 a1, , am , 如果存在一组如果存在一组不全为零不全为零的数的数否则否则, 称称 a1, , am 线性无关线性无关. 设矩阵设矩阵 A (a1, , am),的充分必要条件是的充分必要条件是 R(A) m. 则向量组则向量组 a1, , am 线性无关线性无关上页下页铃结束返回首页1 10mmk ak a 设矩阵设矩阵 A (a1, , am),v 定理定理1的充

11、分必要条件是的充分必要条件是 R(A) m. v 线性相关性线性相关性 方阵方阵 A 的列向量组线性相关的充要条件是的列向量组线性相关的充要条件是 | A | 0. 齐次线性方程组的基础解系线性无关齐次线性方程组的基础解系线性无关. 则向量组则向量组 a1, , am 线性无关线性无关那么称那么称 a1, , am 线性相关线性相关.k1, , km , 使使 设有向量组设有向量组 a1, , am , 如果存在一组如果存在一组不全为零不全为零的数的数否则否则, 称称 a1, , am 线性无关线性无关. a1, , am 线性无关线性无关, 也即向量方程也即向量方程只有零解只有零解.1 10

12、mmx ax a上页下页铃结束返回首页解解1 例例5 讨论向量组讨论向量组 1(1, 1,1),a -2(1, , 1),aa-3( ,1,2)aa 的线性相关性的线性相关性.设方阵设方阵TTT123(,),Aaaa 化化 A 为行阶梯形为行阶梯形:1111112aAa - - -11011022aaaa-11022011aaaa-121102200(1)(4)aaaa-当当 a - -1, 4 时时, R(A) 3, a1, a2, a3 线性无关线性无关;当当 a - -1 或或 a 4 时时, R(A) 2, a1, a2, a3 线性相关线性相关.上页下页铃结束返回首页当当 a - -

13、1 或或 a 4 时时, | A | 0, , a1, a2, a3 线性相关线性相关.解解1 例例5 讨论向量组讨论向量组 1(1, 1,1),a -2(1, , 1),aa-3( ,1,2)aa 的线性相关性的线性相关性.设方阵设方阵TTT123(,),Aaaa 则则当当 a - -1, 4 时时, | A | 0, a1, a2, a3 线性无关线性无关;11|11(1)(4)112aAaaa - - -上页下页铃结束返回首页证证1 x bx bx b1 12 23 30将将 b1, b2, b3 的表示式代入的表示式代入, 并整理得并整理得12112321233()(2)0(223)x

14、xaxxxaxxxa- - -因因 a1, a2, a3 线性无关线性无关, 故有故有 121231230202230 xxxxxxxx- - 由于此方程组的系数行列式由于此方程组的系数行列式11012110223- - - - - 故方程组只有零解故方程组只有零解 x1 x2 x3 0, 设存在一组数设存在一组数 x1, x2, x3, 使使所以所以 b1, b2, b3 线性无关线性无关.例例6 设向量组设向量组 a1, a2, a3 线性无关线性无关, 试证向量组试证向量组 b1, b2, b3 也线性无关也线性无关.11232,baaa-212322,baaa - -3233baa上页

15、下页铃结束返回首页把已知条件合写成把已知条件合写成123123110(,)(,)121223b b ba aa- -记作记作 B AK. 因因 | K | - -1, 所以所以 K 可逆可逆,于是于是 R(B) R(A).因因 A 的列向量组线性无关的列向量组线性无关, 所以所以 R(A) 3, 从而从而 R(B) 3.因此因此 B 的的3个列向量线性无关个列向量线性无关, 也即也即 b1, b2, b3 线性无关线性无关.例例6 设向量组设向量组 a1, a2, a3 线性无关线性无关, 试证向量组试证向量组 b1, b2, b3 也线性无关也线性无关.11232,baaa-212322,b

16、aaa - -3233baa证证2 上页下页铃结束返回首页则向量则向量 b 可由可由 a1, , ar 线性表示线性表示. 设向量组设向量组 a1, , ar 线性无关线性无关, v 定理定理2证明证明 故存在一组不全为故存在一组不全为 0 的数的数1 10rrk ak akb假设假设 k 0, 则则 k1, , kr 不全为不全为0, 且有且有1 10rrk ak a这与这与 a1, , ar 线性无关矛盾线性无关矛盾. 因此因此 k 0, 于是于是11 1()rrbkk ak a- - - -若若 a1, , ar, b 线性相关线性相关, 因因 a1, , ar, b 线性相关线性相关,

17、 k1, , kr , 使使v 定理定理2* 设向量组设向量组 a1, , ar 线性无关线性无关, 若向量若向量 b 不可由向量组不可由向量组a1, , ar 线性表示线性表示, 则则 a1, , ar, b 线性无关线性无关. 上页下页铃结束返回首页例例7 设向量组设向量组 a1, a2, a3 线性相关线性相关, 向量组向量组 a2, a3, a4 线性无线性无关关, 证明证明 (1) a1 能由能由 a2, a3 线性表示线性表示;(2) a4 不能由不能由 a1, a2, a3 线性表示线性表示.证明证明 (1) 因因 a2, a3, a4 线性无关线性无关, 故部分组故部分组 a2

18、, a3 线性无关线性无关,而而 a1, a2, a3 线性相关线性相关, 因此因此 a1 能由能由 a2, a3 线性表示线性表示.(2) 用反证法用反证法. 假设假设 a4 能由能由 a1, a2, a3 线性表示线性表示,能由能由 a2, a3 线性表示线性表示,从而从而 a4 也能由也能由 a2, a3 线性表示线性表示,a2, a3, a4 线性相关线性相关, 这与这与 a2, a3, a4 线性无关矛盾线性无关矛盾.由由(1) 知知 a1v 定理定理2所以所以则向量则向量 b 可由可由 a1, , ar 线性表示线性表示. 设向量组设向量组 a1, , ar 线性无关线性无关, 若若 a1, , ar, b 线性相关线性相关,上页下页铃结束返回首页作作 业业 习题习题3-1上页下页铃结束返回首页v 齐次通解结构定理齐次通解结构定理 设设 x x1, , x xn- -r (r R(A)为为 n 元方程组元方程组 Ax 0 的解的解, 且且满足条件满足条件 R(x x1 1, , , , x xn- -r) n- - r, 则则 Ax 0 的通解为的通解为1 1,n rn rxkk-xxxx(k1, , kn- -r 为任意数为任意数) 称称 x x1, , x xn- -r 为方程组为方程组 Ax 0 的一个的一个基础解系基础解系.