[研究生入学考试]第八章第二节偏导数及其在经济分课件.ppt

1、总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第二节第二节 偏导数及其在经济分析中的应用偏导数及其在经济分析中的应用高阶偏导数高阶偏导数偏导数的定义、几何意义及计算方法偏导数的定义、几何意义及计算方法第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学偏导数在经济分析中的应用偏导数在经济分析中的应用小结小结 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系内容回顾内容回顾 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 2.多元函数极限的概念（求极限）多元函数极限的概念（求极限）3.多元函数连续的概念多元函数连续的概念4.闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性

2、任意性）1.多元函数的定义（定义域）多元函数的定义（定义域）内容回顾内容回顾化二元函数为一元函数，极限的四则运算法则，化二元函数为一元函数，极限的四则运算法则，无穷小的性质，重要极限，代入法无穷小的性质，重要极限，代入法 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 一元函数变化率概念一元函数变化率概念)()()(limlim00000 xfxxfxxfxyxx 多元函数的偏导数多元函数的偏导数 是指这个函数对其中一个自变是指这个函数对其中一个自变 量的变化率量的变化率, ,而其它自变量保持不变而其它自变量保持不变. . 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 偏增量偏增量一、偏导数的定义、

3、几何意义及计算法一、偏导数的定义、几何意义及计算法对其中一个自变量的变化率对其中一个自变量的变化率,而其它自变量保持不变而其它自变量保持不变.1.偏导数的定义及其计算法偏导数的定义及其计算法 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 偏导函数定义偏导函数定义 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 有关偏导数的几点说明有关偏导数的几点说明：1.2. 求分段点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分段点、不连续点处的偏导数要用定义求；与一元函数类似与一元函数类似, ,多元分段函多元分段函数在分段点处的导数数在分段点处的导数, ,需用定需用定义求义求,

4、 ,这属于基本微分法这属于基本微分法. .).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 解解 xfxffxx 0 , 00 ,0lim)0 , 0(00 ).0 , 0(yf xxx 0|0|lim0 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 求解求解xf 求导数求导数暂时看作常量而对暂时看作常量而对把把xyyf 求导数求导数暂时看作常量而对暂时看作常量而对把把yx3.计算方法同一元函数的导数计算方法同一元函数的导数有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：( (请自己写出请自己写出) )?),( zyxfy?),( zyxfz4.偏导数的概念可以推广到二元以

5、上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 解法一解法一 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 同一元函数的求导方法完全相同同一元函数的求导方法完全相同 解法二解法二)2, 1(xz )2, 1(yz 462 xx1)62( xx8 1 xz231yy 2)23( yy7 2

6、yz 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 解解 xz,111xyxxyyyxyy yz,1lnyxxy 例例2 求函数求函数 的偏导数的偏导数 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 偏导数记号是一个偏导数记号是一个说明说明: :不能看作不能看作分子与分母的商分子与分母的商 ! !此例表明此例表明, ,整体记号整体记号, , 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 2.偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设y

7、xfzyxfyxM 如图如图这是一条平这是一条平面曲线的方面曲线的方程程 0),(yyyxfz00),(00 xxyxfxddxfxxyy 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 几何意义几何意义: : 0),(yyyxfz00),(00 xxyxfxddxfxxyy 00),(00yyyxfyddyfxxyy 0),(xxyxfz 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 二、偏导数存在与连续的关系二、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. .偏导数存在偏导数存在 连续连续. .一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续连续，多元函数中在某点偏导数存在

8、多元函数中在某点偏导数存在 连续连续，为什么不连续为什么不连续? ? 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 不一定不一定点点连连续续，在在)00(),(22yxyxf 结论结论: :多元函数的偏导数与连续多元函数的偏导数与连续之间没有必然联系之间没有必然联系. . xxxxxfxffxxxx 0200000000 limlim,lim,反之，反之，例如，例如，连续连续 偏导数存在偏导数存在. . 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 ),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 纯偏导纯偏导混合偏导混

9、合偏导定义定义1 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .三、高阶偏导数三、高阶偏导数类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数例如例如，z = f (x , y) 关于关于 x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为3322)(xzxzx z = f (x , y)关于关于x 的的n 1阶偏导数阶偏导数, ,再关于再关于y 的一阶的一阶) (y yxznn 1偏导数为偏导数为11 nnxz 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz

10、 ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 yxe22 练习练习 求函数求函数yxez2 .23xyz 解解 xz 22xz) ( 223xyzxxyz yz xyz2 yxz2 22 yz注意注意: :前几例均有前几例均有,22xyz

11、yxz 这一结论总成立吗这一结论总成立吗?yxe2 yxe22 yxe2 yxe22 yxe22 yxe24 的二阶偏导数及的二阶偏导数及 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 例如例如, , 对三元函数对三元函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx 说明说明: :本定理对本定理对n元函数的高阶混合导数也成立元函数的高阶混合导数也成立. .函数在其定义区域内是连续的函数在其定义区域内是连续的, , 故求初等函数的高阶导故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序数可以选择方便的求导顺序. .),(),(),(zyxfzyxf

12、zyxfxyzzxyyzx 因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , ,当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点 (x , y , z) 连续时连续时, , 有有而初等而初等 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 证证 xu 22xu利用对称性利用对称性, ,有有,3152322ryryu 222222zuyuxu 例例6 证明函数证明函数222,1zyxrru 满足拉普拉斯满足拉普拉斯0222222 zuyuxu u方程方程xrr 21rxr 2131r xrrx 4352331rxr 5232231rzrzu 52223)(33rzyxr 2r 0 第八章

13、第八章 上页上页 下页下页 返回返回 解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 . 02222 yuxu例例7 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 在一元函数微分学中在一元函数微分学中, ,我们引出了边际和弹性的概念我们引出了边际和弹性的概念, ,来分来分别表示经济函数在一点的变化率和相对变化率别表示经济函数在一点的变化率和相对变化率, ,这些概念也可这

14、些概念也可以推广到多元函数微分学中去以推广到多元函数微分学中去, ,并被赋予了丰富的经济含义并被赋予了丰富的经济含义. .四、偏导数在经济分析中的应用四、偏导数在经济分析中的应用实例实例 某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时, ,除关心本品除关心本品牌电视机的价格取向外牌电视机的价格取向外, ,更关心其他品牌同类型电视机的价更关心其他品牌同类型电视机的价格情况格情况, ,以决定自己的营销策略以决定自己的营销策略. .即该品牌电视机的销量即该品牌电视机的销量 是是它的价格它的价格 和其他品牌电视机价格和其他品牌电视机价格 的函数的函数. .AQAPBP BAA

15、PPfQ, APBP通过分析其边际通过分析其边际 及及 可知道可知道, , 随着随着 及及 变化而变化而变化的规律变化的规律. .AQAAPQ BBPQ 偏边际与偏弹性偏边际与偏弹性 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 的的函函数数，即即及及消消费费者者的的收收入入和和分分别别是是两两种种商商品品的的价价格格和和的的需需求求量量与与么么两两种种商商品品彼彼此此相相关关，那那假假设设yPPQQBABA2121,1.需求函数的边际分析需求函数的边际分析)3( ).,(),(212211 yPPgQyPPfQ数数：可可以以得得到到以以下下六六个个偏偏导导,2221212111yQPQPQyQ

16、PQPQ 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 ,2221212111yQPQPQyQPQPQ 的的偏偏边边际际需需求求的的需需求求函函数数关关于于称称为为商商品品其其中中111PAPQ 经经济济意意义义：固固定定时时，和和消消费费者者的的收收入入的的价价格格当当商商品品yPB2.求求量量的的近近似似改改变变量量的的需需商商品品的的价价格格变变化化一一个个单单位位时时商商品品AA的的偏偏边边际际需需求求的的需需求求函函数数关关于于称称为为商商品品yAyQ 1经经济济意意义义：.的的需需求求量量的的近近似似改改变变量量位位时时商商品品A变变化化一一个个单单固固定定时时，消消费费者者的的收收

17、入入当当21,PP 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 001221 PQPQ和和如如果果个个价价格格说说明明两两种种商商品品中中任任意意一一.两两种种商商品品为为替替代代品品，减减少少，此此时时称称求求量量需需求求量量增增加加，另另一一个个需需减减少少，都都将将使使其其中中一一个个BA001221 PQPQ和和如如果果个个价价格格说说明明两两种种商商品品中中任任意意一一.21为为互互补补品品两两种种商商品品，同同时时增增加加，此此时时称称和和减减少少，都都将将使使BAQQ上上升升，固固定定，一一般般地地，若若12,PyP减减少少，1Q. 011 PQ即即,2221212111yQPQ

18、PQyQPQPQ 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 .),(),(),(),(),(),(两两点点间间的的弹弹性性到到从从对对称称为为函函数数之之比比的的相相对对改改变变量量与与自自变变量量相相对对改改变变量量的的处处偏偏导导数数存存在在，函函数数对对在在弹弹性性：xxxxyxfxxzzxxxyxfyxfyxxfzzxyxyxfzxx zxxzxxzzExEzxyxyxfxxx.lim),(),(0 的的弹弹性性：处处对对在在zyyzyyzzEyEzyyy.lim0 同同理理：2.需求函数的偏弹需求函数的偏弹性性 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 ABBABABAAAAAA

19、AAAQPPQEPEQPQQPPQEPEQPQ.:.: 交交叉叉弹弹性性对对弹弹性性对对交叉偏弹性交叉偏弹性),(),(BABBAAPPgQPPfQ 解解: :15 XYPQ2401015152120 YQ625. 02401015 YXXYXYQPPQE则则 时时商商品品的的交交叉叉弹弹性性，求求当当，某某商商品品的的需需求求函函数数为为1510152120 YXXYYPPPPQ例例8 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 解：解：鸡肉价格的变化率鸡肉价格的变化率猪肉需求量的变化率猪肉需求量的变化率 XYE%25. 4%585. 0 鸡肉价格的变化率鸡肉价格的变化率化率化率所以，猪肉需

20、求量的变所以，猪肉需求量的变XYE交叉弹性的值反映两种商品间的相关性：交叉弹性的值反映两种商品间的相关性： 当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品；当交当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品；当交叉弹性小于零时，两商品为互补品；当交叉弹性等于叉弹性小于零时，两商品为互补品；当交叉弹性等于零时，两商品为相互独立的商品零时，两商品为相互独立的商品. . 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 例例10.)2()1(5,50102501202交交叉叉弹弹性性对对的的弹弹性性；对对时时求求有有关关，为为：喷喷墨墨打打印印机机的的价价格格以以及及彩彩色色，与与自自身身的的价价格格某某数数码码相相机机的的

21、销销售售量量BAAABABBAABAAPQPQPPPPPQPPQ 解解：AAAAAAAAQPPQEPEQPQ.: 弹弹性性对对2210250120.250BBAAAPPPPP )10(2501202502BBAAPPPP 1015,50 AABAEPEQPP时时 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 ABBABABAQPPQEPEQPQ.: 交交叉叉弹弹性性对对210250120).210(BBABBPPPPP 25,50 BABAEPEQPP时时例例10.)2()1(5,50102501202交交叉叉弹弹性性对对的的弹弹性性；对对时时求求有有关关，为为：喷喷墨墨打打印印机机的的价价格格

22、以以及及彩彩色色，与与自自身身的的价价格格某某数数码码相相机机的的销销售售量量BAAABABBAABAAPQPQPPPPPQPPQ 第八章第八章 上页上页 下页下页 返回返回 1. 偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义（偏增量比的极限）；记号；几何意义定义（偏增量比的极限）；记号；几何意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续 混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义小结小结3. 高阶偏导数的定义与求法高阶偏导数的定义与求法（逐次求导法）（逐次求导法）4. 偏边际，偏弹性偏边际，偏弹性总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 作作 业业P311 T1(偶数偶数)，T2，T4(2), T5, T6预习：预习： 第三节第三节第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学