高等量子力学17-角动量耦合演示文稿课件.ppt

1、121212211mmjjmjmj讨论角动量讨论角动量J1和和J2的共同本征矢量的共同本征矢量zJJJJ,22221与与J=J1+J2（的共同本征矢量）的本征矢量的共同本征矢量）的本征矢量jmjj21之间的关系，是两组基矢之间的关系。之间的关系，是两组基矢之间的关系。23-1 23-1 两个角动量的耦合两个角动量的耦合 互相对易的两个角动量算符互相对易的两个角动量算符J1和和J2，它们的，它们的矢量和矢量和算符是算符是 21JJJJ1和和J2可以是系统可以是系统两个子系统的角动量两个子系统的角动量，这时，这时J就是就是大系统的总角动量；也可以是大系统的总角动量；也可以是同一个系统不同的角同一个

2、系统不同的角动量动量，如一个电子的轨道角动量和自旋角动量，这，如一个电子的轨道角动量和自旋角动量，这时时J就是电子的总角动量。就是电子的总角动量。23 23 角动量的耦合角动量的耦合2一、一、Clebsch-Gordan系数（系数（CG系数）系数）任何系统所在的任何系统所在的Hilbert空间总可以写成两个空间空间总可以写成两个空间的直积：的直积： 其中其中 不受空间转动的影响，不受空间转动的影响， 在空间转动时要发生相应的变化。在空间转动时要发生相应的变化。 后一空间的基矢后一空间的基矢jm就是这个系统角动量本征矢量。就是这个系统角动量本征矢量。 jmjj2122JzJ222mj子系统子系统

3、2的相应量为的相应量为，和和22)(21JJJzzzJJJ21和和大系统的总角动量为大系统的总角动量为21JzJ111mj设子系统设子系统1的角动量算符为的角动量算符为，本征矢量为，本征矢量为和和本征矢量为本征矢量为32211mjmj描写大系统的态矢量随空间转动而变的那一描写大系统的态矢量随空间转动而变的那一部分，从两个子系统角度讲是在空间部分，从两个子系统角度讲是在空间jmjj21中，而从大系统的角度讲，是在空间中，而从大系统的角度讲，是在空间中，两组基矢所张的空间是同一个空间，两组中，两组基矢所张的空间是同一个空间，两组基矢可以通过一个幺正变换相联系。基矢可以通过一个幺正变换相联系。 ，4

4、和和 ，1j2j2211mjmjjmjj21取固定的取固定的和和的关系为的关系为12212121221121mmjmjjmmjjmjmjjmjj式中式中 22112121mjmjmmjj可写成可写成 122121221121mmjjjmmmSmjmjjmjj式中式中 jmjjmmjjSjjjmmm21212121212121jjjmmmS21jj是在这是在这确定的子空间中的两组基矢变换的确定的子空间中的两组基矢变换的2121mmjj不耦合表象：不耦合表象：jmjj21 耦合表象：耦合表象： 幺正矩阵，称为幺正矩阵，称为CG系数系数，Wigner系数或矢量耦合系数。系数或矢量耦合系数。5二、由二

5、、由j1和和j2确定确定j1. 重要关系重要关系j1和和j2取定的子空间，从不耦合表象看，是取定的子空间，从不耦合表象看，是(2j1+1)(2j2+1)维的。耦合表象的基矢也应该是维的。耦合表象的基矢也应该是(2j1+1)(2j2+1)个，由此看个，由此看j的取值范围。的取值范围。对对23.3 122121221121mmjjjmmmSmjmjjmjj两边用两边用zzzJJJ21分别作用，有分别作用，有12212122112121)(mmjjjmmmzzzSmjmjJJjmjjJ即即 12212122112121)(mmjjjmmmSmjmjmmjmjjm由此得由此得 21mmm6mm jm2

6、211mjmj设设，即，即可以表示成可以表示成的叠加，的叠加，122121221121mmjjjmmmSmjmjjmjj21JJJyxiJJJ上式两边用上式两边用作用（作用（）， 当左边的当左边的m由于受到由于受到J的作用变为的作用变为m时，时，(-j mj)，右边的，右边的m1和和m2也由于受到也由于受到J1和和J2的作用的作用取不同的值，而且不会所有的项都成为取不同的值，而且不会所有的项都成为0，这样，这样23.3式仍然成立，这证明，若对某一个式仍然成立，这证明，若对某一个m，|jm在此空间，则所有的在此空间，则所有的2j+1个个|jm必然也在此空间。必然也在此空间。 72. j的最大值和

7、最小值的最大值和最小值最大的最大的j应该是应该是j1+j2。 反证之：设反证之：设jj1+j2的的|jm也可表示为也可表示为|j1m1|j2m2的的叠加，用叠加，用J+=J1+J2+分别作用于等号两边若干次，分别作用于等号两边若干次，使左边为使左边为|jj(jj1+j2），这时右边各项已全部为），这时右边各项已全部为0，此时此时m=m1+m2已不再满足。所以已不再满足。所以jj1+j2是不可能是不可能的。的。8设最小值为设最小值为x，根据耦合表象和不耦合表象的基，根据耦合表象和不耦合表象的基矢数目相等，有矢数目相等，有 12 1) 1(2 1)(2) 12)(12(212121xjjjjjj右

8、边是一个等差级数，共右边是一个等差级数，共(j1+j2-x+1)，这样有，这样有) 1(2 12 1)(2) 12)(12(212121xjjxjjjj由此得由此得 2212)(jjx即最小的即最小的j值是值是|j1-j2|，最后得，最后得21212121, 2, 1,jjjjjjjjj9三、三、CG系数的正交性关系系数的正交性关系CG系数系数2121jjjmmmS是幺正矩阵元，满足正交性关系：是幺正矩阵元，满足正交性关系：ISS 11122221212121*jjmmmjjjjmjjjmmmjjmmmjSS ISS 2121221121212121*jjjjjmmmmjjmjjmjmmjjj

9、mmmSS式中式中 212121*2121mmjjjmjjSjjmjmm事实上，事实上，CG系数的国际标准值都是实数，所以系数的国际标准值都是实数，所以21212121212121212121*jjjmmmjjmjmmSjmjjmmjjmmjjjmjjS1023-2 CG系数的计算系数的计算一、一、m=j的特殊情况的特殊情况2121jjjmmmS21mma若若m=j，将，将简写为简写为，根据，根据CGCG系数的定义系数的定义122121221121mmjjjmmmSmjmjjmjj有有 1221),(21221121mmmmjmmamjmjjjjj21,mm符号对符号对的取值范围进行了明确的限

10、制。的取值范围进行了明确的限制。zzzJJJ2121mma计算计算时利用两个性质：等号两边都是时利用两个性质：等号两边都是jmm210jjJ的本征矢量，本征值为的本征矢量，本征值为；利用；利用的性质。的性质。 111221),()(021221121mmmmjmmamjmjJJjjJ12211221),(),(21221122122111mmmmmmmmjmmamjmjJjmmamjmjJ即：即： 12211221),() 1)(1,),() 1)(1,21222222112111112211mmmmmmmmjmmamjmjmjmjjmmamjmjmjmj22.53 22 1mm11 1mm1

11、212121211221111, 11211222222 1,12,1, 1()(1)( 1, ) 1,1()(1)( 1, )m mmmmmmmj mj mjmjmammjj mj mjmjmammj 12上式第二项再做代换，上式第二项再做代换，122 mm，有有21, 1222222111221),1() 1)(1,1,mmmmjmmamjmjmjmj1211, 1222222111221),()(1(,1,mmmmjmmamjmjmjmj上式第一项再做代换，上式第一项再做代换，111 mm，有有1221211,11112211), 1() 1)(1,1,mmmmjmmamjmjmjmj1

12、211, 1111122111221), ()(1(1,mmmmjmmamjmjmjmj与星式比较，则第二项代换后等于星式第一项，第一项代换后与星式比较，则第二项代换后等于星式第一项，第一项代换后等于星式第二项，所以由第二项代换后等于星式第一项得：等于星式第二项，所以由第二项代换后等于星式第一项得：1211, 1222222111221),()(1(,1,mmmmjmmamjmjmjmj1221),() 1)(1,2111112211mmmmjmmamjmjmjmj13),() 1)()(1(211, 1111122222121jmmamjmjmjmjammmm11212121,3, 32,

13、2jjjmmmmmmaaaa得递推公式：得递推公式： 递推下去，得递推下去，得即即m1增大到最大增大到最大j1，m2减小到最小减小到最小j-j1。（。（m1+m2=j）最终：最终： amjmjmjmjamjmm)!()!()!()!() 1(221122111121 其中其中 11,1221)!2()!()!(jjjajjjjjjja与与m1,m2无关的常数，可以用无关的常数，可以用|j1j2jj的归一化条件得的归一化条件得出出a即即23.16式，代入式，代入23.14，得，得 2121jjjjmmS23.1723.17式式14二、一般的CG系数的2121jjjmmmS的求法根据根据 1,)

14、1)(mjmjmjjmJ易推出易推出 jmmjmjjjjJmjmj)!()!()!2()()(次次mj Jmj （即作用（即作用之后，之后，）由此得由此得 jjJmjjmjjmjjmj)()!()!2()!(21所以所以 jjjjJmjmjmjjmjjmjjmjmjSmjjjjmmm212211212211)()!()!2()!(2121取其负共轭，利用取其负共轭，利用 21JJJ21*JJJ22112121*)()!()!2()!(2121mjmjJJjjjjmjjmjSmjjjjmmm，得，得 15由二项式定理得由二项式定理得smjssmjJJsmjsmjJJ)()()!( !)!()(2

15、121则有则有 222111221121)()()!( !)!()(mjJmjJsmjsmjmjmjJJsmjssmj)!()!()!()!()!()!()!()!(,)!( !)!(22222222111111112211smjmjmjsmjmjmjmjsmjsmjmjsmjmjsmjsmjsmjs将此式代入将此式代入23.18式，利用式，利用23.17式（式（m=j的情况）为的情况）为“边界边界”条件，条件， 注意到注意到2121jjjmmmS得到得到CG系数的最后结果：系数的最后结果：23.19式（式（Edmonds） 为实数，为实数，16),(212121mmmSjjjmmm)!()!

16、()!()!()!1()!()!()!()!()!() 12(2211212121221121mjmjjjjjjjjjjmjmjmjmjjjjjssmjsmjjsmjsmjssmjjsmj)!()!()!( !)!()!() 1(1211121111 式中：满足式中：满足m=m1+m2，求和变量的取值范围是不使，求和变量的取值范围是不使分母括号中的量为负的所有正整数；分母括号中的量为负的所有正整数；j1, j2, m1, m2可可以取整数，也可以取半数。以取整数，也可以取半数。mj时，时，1 2120j jm m jmS17等价的等价的Racah形式：形式： )!1()!()!()!() 12

17、(),(21211221212121jjjjjjjjjjjjjmmmSjjjmmm)!()!()!()!()!()!(22221111mjmjmjmjmjmjzzzmjzmjzjjjz)!()!()!( !1) 1(221121.)!()!(12112zmjjzmjj注意各值关系和范围：注意各值关系和范围：21mmmjmj21212121, 2, 1,jjjjjjjjj，18三、查三、查CG系数表系数表j1j21 212j jm m jmS121112121jjS212121210, 1 ,21,21jjjjjmmmSS212121210, 0,21,21jjjjjmmmSS12121211,

18、 1 ,21,21jjjjjmmmSS?210, 0,21,21jjS?210, 1 ,21,21jjS 1923-3 CG系数和转动矩阵系数和转动矩阵一、一、CG系数与转动群表示之间的关系系数与转动群表示之间的关系JnnieD)()()(111111111111nnJnjmmmiDmjmjemjD)()(122222222222nnJnjmmmiDmjmjemjD20于是在直积空间中有于是在直积空间中有2211)(221121)(mjmjemjmjDiJJnn)(21212121,2211njjmmmmmmDmjmj 式中式中 )()()(212121nnnjjjjDDD 对耦合表象基矢对耦

19、合表象基矢jmjj212)J(JJ212zJ，它是，它是和和的本征矢量，因而也是转动群的一个不可约表示的基矢：的本征矢量，因而也是转动群的一个不可约表示的基矢：)()(212121nnJnjmmmiDjmjjjmjjejmjjD21以上两套基矢通过以上两套基矢通过CG系数联系起来：系数联系起来： 212121221121jjjmmmmmSmjmjjmjj 其逆变换是：其逆变换是： jmmjmmjjSjmjjmjmj12122112121)(令令(23.24)两边经受一个转动两边经受一个转动Q，则有，则有jmmmmmSmjQDmjQDjmjjQD212122211121)()()(jmmmmmm

20、mmmmmjjSDDmjmj212121212121,212211)(23.25)代入代入 21212121212121,21121)()(mmmmmjjmmmmmmmjjmmmjSDDSmjjj利用矩阵相乘利用矩阵相乘 , 21121)( 21mjjmmjjjSDDSmjjj22将此式与将此式与23.2323.23式相比较，得式相比较，得)()(, 21121QDSDDSjmmjjjmmjjj)(111QDjmm)(222QDjmm这是这是CG系数与转动群的表示之间的重要关系式。系数与转动群的表示之间的重要关系式。和和二者的直积矩阵也是转动群的一个表示，上式表二者的直积矩阵也是转动群的一个表

21、示，上式表明，两个不可约表示的直积是可约的，其约化矩明，两个不可约表示的直积是可约的，其约化矩阵就是以阵就是以CGCG系数作为矩阵元的矩阵系数作为矩阵元的矩阵S。（在被。（在被S矩阵作用后，直积矩阵被块对角化）矩阵作用后，直积矩阵被块对角化）都是转动群都是转动群Q的不可约表示，的不可约表示，23二、二、CG系数的一个普遍公式系数的一个普遍公式由由23.26得得 121SSDDDjjj写成矩阵元的形式为写成矩阵元的形式为 2121212121,1)()(mmmmjjjmmmmjDDSSD 两边乘以两边乘以)(*QDj，并对，并对Q积分，积分， )(QDjmm因为因为是完全已知的，所以可以求出是完

22、全已知的，所以可以求出CGCG系数系数2121jjjmmmS的普遍公式：（的普遍公式：（23.2723.27）。）。2423-4 CG系数和系数和3j符号符号一、CG系数的性质系数的性质1. 在在jmjjmmjjSjjjmmm2121212121中，中，j1、j2和和j可以是整数，可以是整数，12jjj 整数以及三角形条件：以及三角形条件： 12121200 0jjjjjjjjjm1、m2和和m必须满足：必须满足： 12mmm只有满足这些条件，只有满足这些条件，CG系数才不为零。系数才不为零。也可以是半数，但必须满足：也可以是半数，但必须满足： 252. CG系数是实数系数是实数1 21 21

23、 2121212*j jj jj jm m jmm m jmjmm mSSS1 2121 21 21 212j j mmj j jmj j jm j j mm3. CG系数满足幺正性条件系数满足幺正性条件1 21 2121212j jj jj m m mm m jmj jm mm mSS1 21 212121122j jj jm m jmjmm mm mm mjmSS 261 2121 21 21212111111,22221,(1)(1)(1)(1)(1)(1)j jm m jmj jj jmmjmm mjmj jm mSjjm mSjjm mS4.其他关系其他关系1 2122 11221(

24、 1)j jjjjj jm m jmm m jmSS 1 2121 21 21212111111,22221,(1)(1)(1)(1)(1)(1)j jm m jmj jj jmmjmm mjmj jm mSjjm mSjjm mS27二二3j符号符号1.定义：定义：12121 2121 212( 1),21jjmjjjj j m mj j jmmmmj2.对称性质：对称性质：123231312123231312jjjjjjjjjmmmmmmmmm123123123123231312jjjjjjjjjmmmmmmmmm123213132321213132321123123( 1)jjjjjjj

25、jjjjjmmmmmmmmmjjjmmm 283.相关公式的相关公式的3j符号表示符号表示2112121 2112212 ( 1)21jjmm mjjjj j jmjj mj mmmm 211211221 212 ( 1)21jjmjmjjjj mj mjj j jmmmm3 333121231231231233 121j jm mm mjjjjjjmmmmmmj1122331231233123123 (21)m mm mj mjjjjjjjmmmmmm123123123123123 ( 1)jjjjjjjjjmmmmmm 2923-5 323-5 3个角动量的耦合个角动量的耦合考虑一个系统有

26、三个不同的，互相对易的角动量考虑一个系统有三个不同的，互相对易的角动量321J,J,J11mj22mj的情况。设它们的本征矢量分别为的情况。设它们的本征矢量分别为，33mj和和。三个角动量的矢量和，即系统的总角动量为。三个角动量的矢量和，即系统的总角动量为321JJJJ一、耦合表象基矢的构造一、耦合表象基矢的构造描写这个系统的描写这个系统的HilbertHilbert空间中的角动量有关空间中的角动量有关) 3 . 2 , 1( imjii的直积空间，的直积空间，的部分是三个空间的部分是三个空间其基矢是其基矢是332211mjmjmj30第一套：第一套： 先将先将1J2J和和耦合，令耦合，令 2

27、112JJJ则则 212J,J,J2221zJ12和和四个算符的共同本征矢量是四个算符的共同本征矢量是2112122121212211121221mmmjjjmmjjmjmjmjjj然后根据然后根据 32JJJ1再把再把12J3J和和耦合，得到耦合，得到31231231231233121221312mmjmjjmmjjmjmjjjjmjj123213123123121212212121332211mmmmjmjjmmjjmjjjmmjjmjmjmj它们是六个算符它们是六个算符zJJJJJJ,2212232221的共同本征矢量。的共同本征矢量。 312J3J第二套：先将第二套：先将和和 耦合，令

28、耦合，令323JJJ223J1J然后再将然后再将和和耦合耦合 231JJJ与前类似，可以得到另一套基矢与前类似，可以得到另一套基矢23123123123123233211231mmjmjjmmjjmjjjmjjmjj233212312312312323323232332211mmmmjmjjmmjjmjjjmmjjmjmjmj由一个幺正变换联系起来：由一个幺正变换联系起来：12231312312231jjmjjjmjjjmjjjmjj定义定义Racah系数系数W) 12)(12();(23122313122312321jjjjjjjjjjjjjjW两套基矢都是空间两套基矢都是空间332211m

29、jmjmj中的基矢组，中的基矢组，32二、二、Racah系数的计算系数的计算由由23.68左乘左乘332211mjmjmj得得 jmjjmjmjmjjmjjmmjjmjjjmmjjm231332211231231231232332323223又可证明又可证明 jmjjmjmjmjjjjjjjWjjjmjjmmjjmjjjmmjjmj231332211231232123123123123211212212121);() 12)(12(1212所以所以 232312312312323323232mjmjjmmjjmjjjmmjj);() 12)(12(23123212312312312312121

30、22121211212jjjjjjWjjjmjjmmjjmjjjmmjjmj33并将式中的并将式中的j12和和m12改为改为j12和和m12,得得232312312312323323232mjmjjmmjjmjjjmmjj);() 12)(12(2312321231231231231212122121211212jjjjjjWjjjmjjmmjjmjjjmmjjmj 两边乘以两边乘以2121121221mmjjmjjj再对再对m1,m2取和，取和，232123123123123233232322121121221mmmjmjjmmjjmjjjmmjjmmjjmjjj);() 12)(12(23

31、123212312312312312jjjjjjWjjjmjjmmjj利用利用CG系数的幺正性系数的幺正性得得34两边再乘以两边再乘以312312312mmjjjmjj，对，对m12,m3取和，最后得取和，最后得) 12)(12(1);(23122312321jjjjjjjjWjmjjmmjjmjjjmmjjmjjjmmjjmmjjjmjjmmmmm231231231232332323212122121213123123122312321 Racah系数用系数用CG系数表示的公式。系数表示的公式。35CG系数是完全已知的，所以系数是完全已知的，所以Racah系数原则上已系数原则上已经求出。经过

32、化简得到经求出。经过化简得到Racah系数的普遍公式：系数的普遍公式：)()()()() 1();(cdebdfacfabeefabcdWdcbazzfdbzfcazedczcbazz)!()!()!()!()!1()()!()!()!(1zfecbzfedazdcba 在上式中在上式中 )!1()!()!()!()(cbaacbcbacbaabc3623-6 6j符号和符号和9j符号符号目前文献上在使用目前文献上在使用RacahRacah系数时，常用对称性更系数时，常用对称性更为明显的为明显的6j6j符号，而当遇到四个角动量耦合时又符号，而当遇到四个角动量耦合时又会使用会使用9j9j符号。符

33、号。一、一、6j符号符号定义：定义： ( 1)(;)a b c dabeW abcd efdcf 通常写成：通常写成： 332211ljljlj37332211ljljljThe 6j symbol the coupling probability for three angular momenta.is related toIt is valid when0ij 0il21321jjjjj32132lljll31231lljll21321lljll(triangle relations) )(321jjj)(321ll j)(312l lj)(213l lj38二、二、9j符号符号在研究四个

34、角动量耦合时会遇到在研究四个角动量耦合时会遇到9j符号，例如原子符号，例如原子系统中的系统中的LS耦合和耦合和jj耦合之间的关系。耦合之间的关系。设有四个互相对易的角动量设有四个互相对易的角动量J1,J2,J3,J4 ，则在，则在HilbertHilbert空间空间44332211mjmjmjmj中，可以建立两组新的基矢：中，可以建立两组新的基矢：jmjjjjjj,)( ,)(34431221jmjjjjjj,)( ,)(24421331对于给定的对于给定的J1,J2,J3,J4，这两组基矢是以一个幺正，这两组基矢是以一个幺正矩阵互相变换的，矩阵互相变换的，9j符号就是这个变换矩阵的矩阵符号就

35、是这个变换矩阵的矩阵元乘以一个参数，其定义为元乘以一个参数，其定义为39) 12)(12)(12)(12(,)( ,)(,)( ,)(241334122442133134431221241334431221jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjThe 9j symbol 963852741jjjjjjjjjcoupling probability for four angular momenta.is related to theIt is valid when0ij21321jjjjj54654jjjjj87987jjjjj41741jjjjj52852jjjjj63963j

36、jjjj409j9j符号具有很高的对称性，对于行和列的偶数次对符号具有很高的对称性，对于行和列的偶数次对调，对于两个对角线的反射，调，对于两个对角线的反射，9j9j符号都不改变数值；符号都不改变数值；对于行和列的奇数次对调，对于行和列的奇数次对调，9j9j符号只差一个符号符号只差一个符号(-1)s，s为其中所有为其中所有9 9个量之和。当个量之和。当9j9j符号有一个量为符号有一个量为0 0时，有时，有00( 1)(21)(21)0b c efabeeeeeabecdefdbcfadcfeffffcadfb 419j9j符号还有以下关系：符号还有以下关系：2(21)(21)(21)(21)(

37、1)eeffghh mfbghabeabeghcdfcdfefghkghkabeacgabecdfdbhdcfghklmklmk 4223-7 LS耦合和耦合和jj耦合耦合以具有两个价电子的原子为例，讨论这一双电子以具有两个价电子的原子为例，讨论这一双电子系统的态矢量的角向部分。系统的态矢量的角向部分。一、基矢的选择、基矢的选择设两电子的轨道角动量和自旋角动量分别为设两电子的轨道角动量和自旋角动量分别为L L1 1,L,L2 2和和S S1 1,S,S2 2，则根据前面的讨论，在这一双电子的，则根据前面的讨论，在这一双电子的HilbertHilbert空间中可以有两组基矢系统。第一组是：空间中

38、可以有两组基矢系统。第一组是：jmSssLl lLSjm,)( ,)(212143在这组基矢描写的状态中，总轨道角动量在这组基矢描写的状态中，总轨道角动量L=L1+L2的的大小和总自旋角动量大小和总自旋角动量S=S1+S2的大小以及总角动量的大小以及总角动量J的大小和的大小和z分量取确定值。这组基矢称为分量取确定值。这组基矢称为LS耦合的基耦合的基矢。矢。另一组基矢系统为另一组基矢系统为jmjsljsljmjj,)( ,)(22211121这组基矢表示的态中，两粒子的总角动量这组基矢表示的态中，两粒子的总角动量J1=L1+S1和和J2=L2+S2大小以及系统的总角动量大小以及系统的总角动量J的

39、大小和的大小和z分分量取确定值，这组基矢称为量取确定值，这组基矢称为jj耦合基矢耦合基矢。jmSssLl lLSjm,)( ,)(212144二、系统的二、系统的Hamiltonian和和Schrdinger方程的解方程的解 1对此双电子系统，其哈密顿为对此双电子系统，其哈密顿为222112210201)()(LSLS11rfrfreHHH式中式中H0为电子在原子核及其余电子（原子实）的为电子在原子核及其余电子（原子实）的场中的哈密顿：场中的哈密顿：)(2120iiiiVPmHR)2 , 1( i（23.91）等式右边最后三项是双电子系统中最重）等式右边最后三项是双电子系统中最重要的两种相互作

40、用：要的两种相互作用： 1221re是两电子间的是两电子间的静电相互作用静电相互作用， 第四第五项则是两电子各自的自旋轨道相互作用第四第五项则是两电子各自的自旋轨道相互作用(简称简称“旋轨耦合旋轨耦合”)。45 2. Schrdinger方程的解方程的解 系统的系统的Schrdinger方程的解方程的解 EH当两电子完全没有相互作用的时候（包括没有当两电子完全没有相互作用的时候（包括没有旋轨耦合），旋轨耦合），此时此时 02010HHHHLS耦合态耦合态 LSjm或或jj耦合态耦合态 jmjj21都可以是都可以是Schrdinger方程的解方程的解 为与径向方程有关的参数为与径向方程有关的参数

41、 46 两电子只有静电相互作用两电子只有静电相互作用由于由于r12（1/r12也一样）具有空间转动不变性，它也一样）具有空间转动不变性，它 肯定与肯定与L对易，而（对易，而（23.93）式是）式是zJJSLH,2220 的共同本征矢量，的共同本征矢量， 1221re与这些算符都对易，与这些算符都对易，EreH)(12210的解肯定取的解肯定取LS耦合耦合23.93的形式。的形式。 再加上较小的旋轨耦合作用再加上较小的旋轨耦合作用这种作用可以作为微扰来处理，根据微扰理论，这种作用可以作为微扰来处理，根据微扰理论，态函数与（态函数与（23.93）比较差一个较小的修正。（以）比较差一个较小的修正。（

42、以23.93形式作为形式作为0级波函）级波函） 所以所以Schrdinger方程方程47 只考虑旋轨耦合，不考虑静电相互作用只考虑旋轨耦合，不考虑静电相互作用 比如静电相互作用远小于旋轨耦合作用比如静电相互作用远小于旋轨耦合作用 此时此时Schrdinger方程为方程为 ErfrfH)()(22210LSLS11 因为容易证明因为容易证明 zzyyxxLSLSLSLS与与222,SLJ对易对易 所以上述方程的解必然是所以上述方程的解必然是jj耦合耦合的（的（23.94）的形式。）的形式。（11LS 21J与与对易，对易，22LS 22J与与对易）对易）所以当二电子静电相互作用较大时，态函数基本上取所以当二电子静电相互作用较大时，态函数基本上取LS耦合形式，而自旋轨道相互作用较大时取耦合形式，而自旋轨道相互作用较大时取jj耦合。耦合。 采取何种耦合方式，在于寻找与系统哈密顿量相对易的角动量。采取何种耦合方式，在于寻找与系统哈密顿量相对易的角动量。