1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 第 1 课时 利用导数研究函数的单调性 一、选择题 1.函数 f(x) xln x， 则 ( ) A.在 (0， ) 上递增 B.在 (0， ) 上递减 C.在 ? ?0， 1e 上递增 D.在 ? ?0， 1e 上递减 解析 f(x)的定义域为 (0， ) ， f (x) ln x 1， 令 f (x)0 得 x1e， 令 f( x)0. 答案 C 3.已知函数 f(x) 12x3 ax 4， 则 “ a0” 是 “ f(x)在 R 上单调递增 ” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析
2、f( x) 32x2 a， 当 a0 时 ， f (x)0 恒成立 ， 故 “ a0” 是 “ f(x)在 R 上单调递增 ” 的充分不必要条件 . 答案 A 4.已知函数 y f(x)的图像是下列四个图像之一 ， 且其导函数 y f (x)的图像如图所示 ， 则该函数的图像是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由 y f( x)的图像知 ， y f(x)在 1， 1上为增函数 ， 且在区间 ( 1， 0)上增长速度越来越快 ， 而在区间 (0， 1)上增长速度越来越慢 . 答案 B 5.设函数 f(x) 12x2 9ln x在区间 a 1， a 1上单调递减 ， 则实数 a的取
3、值范围是 ( ) A.(1， 2 B.(4， C. ， 2) D.(0， 3 解析 f(x) 12x2 9ln x， f (x) x 9x(x0)， 当 x 9x 0 时 ， 有 00 且 a 13 ， 解得 10 得 x1. 答案 (1， ) 7.已知 a0 ， 函数 f(x) (x2 2ax)ex， 若 f(x)在 1， 1上是单调减函数 ， 则实数 a 的取值范围是 _. 解析 f( x) (2x 2a)ex (x2 2ax)ex x2 (2 2a)x 2aex， 由题意当 x 1， 1时 ， f (x)0 恒成立 ， 即 x2 (2 2a)x 2a0 在 x 1， 1时恒成立 . 令
4、g(x) x2 (2 2a)x 2a， 则有?g（ 1） 0 ，g（ 1） 0 ， 即?（ 1） 2（ 2 2a） （ 1） 2a0 ，12 2 2a 2a0 ， 解得 a34. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 ? ?34， 8.(2017 合肥模拟 )若函数 f(x) 13x3 12x2 2ax 在 ? ?23， 上存在单调递增区间 ， 则实数 a 的取值范围是 _. 解析 对 f(x)求导 ， 得 f( x) x2 x 2a ? ?x 122 14 2a. 当 x ? ?23， 时 ， f (x)的最大值为 f ? ?23 29 2a. 令 29 2a0， 解得 a 19. 所以实
5、 数 a 的取值范围是 ? ? 19， . 答案 ? ? 19， 三、解答题 9.(2016 北京卷 )设函数 f(x) xea x bx， 曲线 y f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程为 y (e 1)x 4. (1)求 a， b 的值； (2)求 f(x)的单调区间 . 解 (1) f(x) xea x bx， f (x) (1 x)ea x b. 由题意得?f（ 2） 2e 2，f （ 2） e 1， 即 ?2ea 2 2b 2e 2， ea 2 b e 1， 解得 a 2， b e. (2)由 (1)得 f(x) xe2 x ex， 由 f( x) e2 x(1 x ex 1)
6、及 e2 x0 知 ， f (x)与 1 x ex 1同号 . 令 g(x) 1 x ex 1， 则 g( x) 1 ex 1. 当 x( ， 1)时 ， g (x)0， g(x)在 (1， ) 上递增 ， g(x) g(1) 1 在 R 上恒成立 ， f (x)0 在 R 上恒成立 . f(x)的单调递增区间 为 (， ). 10.设函数 f(x) 13x3 a2x2 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)若 a0， 求函数 f(x)的单调区间； (2)设函数 g(x) f(x) 2x， 且 g(x)在区间 ( 2， 1)内存在单调递减区间 ， 求实数 a的取值范围 . 解 (1)由
7、已知得 ， f (x) x2 ax x(x a)(a0)， 当 x( ， 0)时 ， f (x)0； 当 x(0 ， a)时 ， f (x)0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为 ( ， 0)， (a， ) ， 单调递减区间为 (0， a). (2)g( x) x2 ax 2， 依题意 ， 存在 x( 2， 1)， 使不等式 g( x) x2 ax 2e2 017f(0) B.f(1)ef(0)， f(2 017)e2 017f(0) C.f(1)ef(0)， f(2 017)0 时 ， f(x)的增区间为 (0， 1)， 减区间为 (1， ) ； 当 a0. 当 g( t)0 ， 即 m 373 ， 所以 373m 9， 即实数 m 的取值范围是 ? ? 373 ， 9 .
