张厚粲-第七章-参数估计课件.ppt

1、第七章第七章 参数估计参数估计第一节第一节 点估计点估计 区间估计区间估计 标准误标准误一一 总体参数估计的基本原理总体参数估计的基本原理根据样本统计量对相应总体参数所作的估计叫作总体参根据样本统计量对相应总体参数所作的估计叫作总体参数估计。数估计。总体参数估计分为点估计和区间估计。总体参数估计分为点估计和区间估计。由样本的标准差估计总体的标准差即为点估计；而由样由样本的标准差估计总体的标准差即为点估计；而由样本的平均数估计总体平均数的取值范围则为区间估计。本的平均数估计总体平均数的取值范围则为区间估计。1.良好的点估计量应具备的条件无偏性无偏性 如果一切可能个样本统计量的值与总体参数值偏差如

2、果一切可能个样本统计量的值与总体参数值偏差的平均值为的平均值为0 0，这种统计量就是总体参数的无偏估计量。，这种统计量就是总体参数的无偏估计量。有效性有效性 当总体参数不止有一种无偏估计量时，某一种估计当总体参数不止有一种无偏估计量时，某一种估计量的一切可能样本值的方差小者为有效性高，方差大者量的一切可能样本值的方差小者为有效性高，方差大者为有效性低。为有效性低。 一致性一致性当样本容量无限增大时，估计量的值能越来越接近当样本容量无限增大时，估计量的值能越来越接近它所估计的总体参数值，这种估计是总体参数一致性估它所估计的总体参数值，这种估计是总体参数一致性估计量。计量。充分性充分性一个容量为一

3、个容量为n n的样本统计量的样本统计量, ,应能充分地反映全部应能充分地反映全部n n个数据所反映的总体的信息。个数据所反映的总体的信息。2.区间估计与标准误以样本统计量的抽样分布（概率分布）为理论依据，以样本统计量的抽样分布（概率分布）为理论依据，按一定概率的要求，由样本统计量的值估计总体参数值的所按一定概率的要求，由样本统计量的值估计总体参数值的所在范围，称为总体参数的在范围，称为总体参数的区间估计区间估计。对总体参数值进行区间估计，就是要在一定可靠度上对总体参数值进行区间估计，就是要在一定可靠度上求出总体参数的求出总体参数的置信区间置信区间的上下限。的上下限。置信区间置信区间置信度，即置

4、信度，即置信概率置信概率，是作出某种推断时正确的可能，是作出某种推断时正确的可能性（概率）。性（概率）。置信区间置信区间，也称置信间距（，也称置信间距（confidence interval,CI）是）是指在某一置信度时，总体参数所在的区域距离或区域长度。指在某一置信度时，总体参数所在的区域距离或区域长度。置信区间是带有置信概率的取值区间。置信区间是带有置信概率的取值区间。显著性水平对总体平均数进行区间估计时，置信概率表示做出对总体平均数进行区间估计时，置信概率表示做出正确推断的可能性，但这种估计还是会有犯错误的可能。正确推断的可能性，但这种估计还是会有犯错误的可能。显著性水平显著性水平( (

5、significance level) )就是指估计总体参数落在就是指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错误的概率，用符号某一区间时，可能犯错误的概率，用符号表示。表示。 P P- -区间估计的原理与标准误区间估计的原理与标准误取值范围与概率的矛盾。（取值范围与概率的矛盾。（0.050.05和和0.010.01）原理：样本分布理论原理：样本分布理论区分三种不同性质的分布：总体分布：总体内个体数值的频数分布总体分布：总体内个体数值的频数分布样本分布：样本内个体数值的频数分布样本分布：样本内个体数值的频数分布抽样分布：某一种统计量的概率分布抽样分布：某一种统计量的概率分布图显示样本平均数与总体平均

6、数的平均误差不超过图显示样本平均数与总体平均数的平均误差不超过1 1 的概率的概率为为0.6827,0.6827,不超过不超过1.961.96 的概率为的概率为0.9545,0.9545,不超过不超过2.582.58 的概率为的概率为0.99730.9973。即：。即： 当当t t =1 =1时，时，F F( (t t) = 0.6827) = 0.6827 当当t t =1.96 =1.96时，时，F F( (t t) = 0.9545) = 0.9545 当当t t =2.58 =2.58时，时，F F( (t t) = 0.9973) = 0.9973概率度概率度t t与概率与概率F F

7、( (t t) )的对应关系是：概率的对应关系是：概率F F( (t t) )越大，则概率度越大，则概率度t t值越大，估计的可靠性越高，样本统计量与总体参数之间正负离差值越大，估计的可靠性越高，样本统计量与总体参数之间正负离差的变动范围也越大。对于的变动范围也越大。对于t t每取一个值，概率保证程度每取一个值，概率保证程度F F( (t t) )有一个唯有一个唯一确定的值与之对应。因此人们制定一确定的值与之对应。因此人们制定 正态分布概率表正态分布概率表 第二节第二节 总体平均数的估计总体平均数的估计平均数抽样分布的几个定理从总体中随机抽出容量为从总体中随机抽出容量为n n的一切可的一切可能

8、样本的平均数之平均数等于总体的平均数。能样本的平均数之平均数等于总体的平均数。容量为容量为n n的平均数在抽样分布上的标准差的平均数在抽样分布上的标准差（即平均数的标准误），等于总体标准差除以（即平均数的标准误），等于总体标准差除以n n的平的平方根。方根。)(XEnX区间估计的注意事项区间估计的注意事项要知道与所要估计的参数相对应的样本要知道与所要估计的参数相对应的样本的值，的值，以及样本统计量的理论分布；以及样本统计量的理论分布； 要求出该种统计量的要求出该种统计量的； 要确定在多大的要确定在多大的上对总体参数作估计，再通上对总体参数作估计，再通过某种理论概率分布表，找出与某种可靠度相对应

9、的该分布过某种理论概率分布表，找出与某种可靠度相对应的该分布横轴上记分的横轴上记分的，才能计算出总体参数的，才能计算出总体参数的的上的上下限。下限。 标准误标准误某种统计量在抽样分布上的标准差，称为标准误。某种统计量在抽样分布上的标准差，称为标准误。用来衡量用来衡量。标准误越小，表明样本统计量与总。标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。因此，标准误是统计推断推断总体参数的可靠度越大。因此，标准误是统计推断的指标。的指标。 平均数区间估计的基本原理 通过样本的平均数估计总体的

10、平均数通过样本的平均数估计总体的平均数, ,首先假定该样本首先假定该样本是随机取自一个正态分布的母总体是随机取自一个正态分布的母总体( (或非正态总体中的或非正态总体中的n n3030的样本的样本) )，而计算出来的实际平均数是无数容量为，而计算出来的实际平均数是无数容量为n n的的样本平均数中的一个。样本平均数中的一个。 根据样本平均数的分布理论，可以对总体平均数进行估根据样本平均数的分布理论，可以对总体平均数进行估计，并以概率说明其正确的可能性。计，并以概率说明其正确的可能性。一总体平均数区间估计的基本步骤根据样本的数据，计算样本的平均数和标准差；根据样本的数据，计算样本的平均数和标准差；

11、计算平均数抽样分布的标准误；计算平均数抽样分布的标准误；确定置信概率或显著性水平；确定置信概率或显著性水平；根据样本平均数的抽样分布确定查何种统计表；根据样本平均数的抽样分布确定查何种统计表；计算置信区间；计算置信区间；解释总体平均数的置信区间。解释总体平均数的置信区间。一、总体平均数估计的步骤一、总体平均数估计的步骤1.1.根据实得样本的数据，计算样本平均数与标准差根据实得样本的数据，计算样本平均数与标准差2.2.计算标准误计算标准误（1 1） 已知已知（2 2） 未知未知3.3.确定置信水平或显著性水平确定置信水平或显著性水平4.4.根据样本平均数的抽样分布，确定查何种统计表根据样本平均数

12、的抽样分布，确定查何种统计表 总体方差已知，总体方差已知，Z Z分布；未知，分布；未知，t t分布分布5.5.计算置信区间计算置信区间（1 1）正态分布表，置信区间）正态分布表，置信区间（2 2）t t分布，置信区间分布，置信区间6 6。解释总体平均数的置信区间。解释总体平均数的置信区间例题：某小学例题：某小学1010岁全体女童身高历年来标准差为岁全体女童身高历年来标准差为6.256.25厘米，现从该校随机抽厘米，现从该校随机抽2727名名1010岁女童，测得平均身高岁女童，测得平均身高为为134.2134.2厘米，试估计该校厘米，试估计该校1010岁全体女童平均身高的岁全体女童平均身高的95

13、95和和9999置信区间。置信区间。二、总体正态，已知（不管样本容量大小）1.总体正态，已知（不管样本容量大小） 或总体非正态，已知，大样本解：解：1010岁女童的身高假定是从正态总体中抽出的岁女童的身高假定是从正态总体中抽出的随机样本，并已知总体标准差为随机样本，并已知总体标准差为 =6.25=6.25。无论样本容量。无论样本容量大小，一切样本平均数的标准分数呈正态分布。于是可大小，一切样本平均数的标准分数呈正态分布。于是可用正态分布来估计该校用正态分布来估计该校1010岁女童身高总体平均数岁女童身高总体平均数9595和和9999的置信区间。的置信区间。其标准误为其标准误为2028. 127

14、25. 6nX当当0.950.95时，时，1.961.96因此，该校因此，该校1010岁女童平均身高岁女童平均身高9595的置信区间为：的置信区间为：nZXnZX205. 0205. 02725.696.12 .1342725.696.12 .134558.136842.131当当0.990.99时，时，2.582.58因此，该校因此，该校1010岁女童平均身高岁女童平均身高9999的置信区间为：的置信区间为：nZXnZX201. 0201. 02725.658.22 .1342725.658.22 .134303.137097.131三、总体正态，三、总体正态， 未知（不管样本容量大小），未

15、知（不管样本容量大小）， 或总体非正态，或总体非正态， 未知，大样本未知，大样本平均数的抽样分布为平均数的抽样分布为t t分布，平均数的置信区间为：分布，平均数的置信区间为：例题：从某小学三年级随机抽取例题：从某小学三年级随机抽取1212名学生，名学生，其阅读能力得分为其阅读能力得分为28，32，36，22，34，30，33，25，31，33，29，26。试估计该校三年级试估计该校三年级学生阅读能力总体平均数学生阅读能力总体平均数9595和和9999的置信区的置信区间。间。解：解：1212名学生阅读能力的得分假定是从正态总体名学生阅读能力的得分假定是从正态总体中抽出的随机样本，而总体标准差中抽

16、出的随机样本，而总体标准差 未知，样本的容量未知，样本的容量较小（较小（=1230），），在此条件下，样本平均数与总体在此条件下，样本平均数与总体平均数离差统计量服从呈平均数离差统计量服从呈t t分布。分布。于是需用于是需用t t分布来估计该校三年级学生阅读能力总分布来估计该校三年级学生阅读能力总体平均数体平均数9595和和9999的置信区间。的置信区间。由原始数据计算出样本统计量为由原始数据计算出样本统计量为917.29X当0.95时，11205. 0205. 01111nStXnStX112926.3201.2917.29112926.3201.2917.29522.32312.27926

17、. 3S因此，该校三年级学生阅读能力得分因此，该校三年级学生阅读能力得分9595的置信区间为：的置信区间为：201. 2205. 011t917.29X当0.99时，11201. 0201. 01111nStXnStX112926.3106.3917.29112926.3106.3917.29594.33240.26926. 3S因此，该校三年级学生阅读能力得分因此，该校三年级学生阅读能力得分9999的置信区间为：的置信区间为：106. 3201. 011t第三节第三节 标准差与方差的区间估计标准差与方差的区间估计在一次测试中，得知某校在一次测试中，得知某校150150名学生的成绩名学生的成绩

18、是是 , ,如果证实测验与预试的题目相如果证实测验与预试的题目相同，被估计证实测验的平均成绩是多少同，被估计证实测验的平均成绩是多少? ?1.平均数和标准差2.标准误（ ）3.确定置信区间确定置信区间置信区间置信区间95%和和99%，显著性水平，显著性水平0.05,和和0.014.根据样本平均数的抽样分布，确定查何种统计表根据样本平均数的抽样分布，确定查何种统计表总体方差未知，总体方差未知，n=15030，接近正态分布，为，接近正态分布，为t分布分布5.计算置信区间计算置信区间（1）95%或或0.0578-1.960.734978+1.960.7349 76.56 79.44（2）99%或或0

19、.0178-2.5760.734978+2.5760.7349 78-1.89 78+1.89 76.11 79.896.解释总体平均数的置信区间解释总体平均数的置信区间（1）被估计证实测验的平均成绩在）被估计证实测验的平均成绩在76.56-79.44之间，之间，估计正确的概率为估计正确的概率为0.95（95%），错误的概率），错误的概率0.05（5%）。）。（2）被估计证实测验的平均成绩在）被估计证实测验的平均成绩在76.11-79.89之间，之间，估计正确的概率为估计正确的概率为0.99 （99%），错误的概率），错误的概率0.01（ 1%）。）。一、标准差的区间估计一、标准差的区间估计二

20、、方差的区间估计二、方差的区间估计22221222) 1()(nssnXXn1. 已知时，已知时， 2的置信区间的置信区间)()()()(2)21(22222dfXdfXaa)()1()()1(2)21(2122221dfsndfsnanan2. 未知时，未知时， 2的置信区间的置信区间例：已知某样本的分散程度例：已知某样本的分散程度 ，样本，样本容量容量40，问该样本之总体的分散程度如何。（用，问该样本之总体的分散程度如何。（用标准差与方差分别计算）。标准差与方差分别计算）。解解1（标准差）：（标准差）： ，样本标准差的分布接近正态分布，用，样本标准差的分布接近正态分布，用Z分布。分布。（1

21、） 0.95或或0.05 10-1.961.1210+1.961.12 7.8 12.2（2）0.99或或0.01 10-2.581.1210+2.581.12 7.1112.89（1）样本总体的分散程度，标准差在）样本总体的分散程度，标准差在7.8-12.2之间，估计正确之间，估计正确的概率为的概率为0.95（95%），错误的概率），错误的概率0.05（5%）。）。（2）样本总体的分散程度，标准差在）样本总体的分散程度，标准差在7.11-12.89之间，估计正之间，估计正确的概率为确的概率为0.99 （99%），错误的概率），错误的概率0.01（ 1%）。）。解解1（方差）：卡方分布（方差）

22、：卡方分布0.95或或0.05三、二总体方差之比的区间估计三、二总体方差之比的区间估计第四节第四节 相关系数的区间估计相关系数的区间估计一、积差相关系数的抽样分布一、积差相关系数的抽样分布（一）总体相关系数（一）总体相关系数0，正偏态，正偏态0，负偏态，负偏态 0，且，且n500，接近正态，接近正态（二）（二）=0，样本，样本r分布，服从分布，服从df=n-2的的t分布分布二、积差相关系数的区间估计二、积差相关系数的区间估计（一）（一） =0时，时，df=n-2df=n-2（二）（二） 01.n500500，2.利用费舍尔利用费舍尔Z函数分布计算函数分布计算第五节第五节 比率及比率差异的区间估

23、计比率及比率差异的区间估计影响置信区间的因素，以总体平均数为例。影响置信区间的因素，以总体平均数为例。 Z Z， 和和 n n1.1.置信区间的宽度受标准分置信区间的宽度受标准分Z Z的影响。的影响。（1）Z值由置信水平决定值由置信水平决定95%(1.96),99% (2.58)。置信水平越高，。置信水平越高，Z值越大，置信区间也将值越大，置信区间也将越宽。越宽。 实际上，我们期望置信区间尽可能的窄，以提高精确性。然而，置实际上，我们期望置信区间尽可能的窄，以提高精确性。然而，置信水平越高，置信区间越宽。因而，置信水平与精确性之间是反比例关系。信水平越高，置信区间越宽。因而，置信水平与精确性之间是反比例关系。（2） ，总体标准差，或者总体标准差，或者s（ 未知）未知）标准差越大，置信区间越宽。要提高精确性，尽量减小标准差，进标准差越大，置信区间越宽。要提高精确性，尽量减小标准差，进一步解释就是要降低数据的离散程度。一步解释就是要降低数据的离散程度。（3 3）n，样本数量样本数量样本数量越多，样本数量越多， 标准误越小。因此，通过增大样本量，可以减标准误越小。因此，通过增大样本量，可以减小置信区间的宽度，这是研究常用的提高精确性的最简单的方法。小置信区间的宽度，这是研究常用的提高精确性的最简单的方法。