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1、1第第10章章 气体分子运动论气体分子运动论 (Kinetic theory of gases)1 平衡态与理想气体状态方程平衡态与理想气体状态方程2 理想气体压强和温度的统计意义理想气体压强和温度的统计意义3 能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理 理想气体内能理想气体内能 4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律5 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律6 气体分子的平均碰撞频率气体分子的平均碰撞频率 平均自由程平均自由程7 输运过程输运过程8 真实气体的范德瓦耳斯方程真实气体的范德瓦耳斯方程作业：作业：练习册练习册选择题选择题填空题填空题计算题计算题2宏观法与微观法相辅相成。宏观法与微观法相辅相

2、成。热学（热学（Heat） 热学热学是研究与热现象有关的规律的科学。是研究与热现象有关的规律的科学。 热现象热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。是物质中大量分子无规则运动的集体表现。 大量分子的无规则运动称为大量分子的无规则运动称为热运动热运动。1.1.热学的研究方法：热学的研究方法：宏观法宏观法最基本的实验规律最基本的实验规律逻辑推理逻辑推理( (运用数学运用数学) ) 称为称为热力学。热力学。优点：可靠、普遍。优点：可靠、普遍。 缺点：未揭示微观本质缺点：未揭示微观本质微观法微观法物质的微观结构物质的微观结构 + + 统计方法统计方法 称为统计称为统计其初级理论称为气体分子运动论其

3、初级理论称为气体分子运动论( (气体动理论气体动理论) )优点：揭示了热现象的微观本质。优点：揭示了热现象的微观本质。缺点：可靠性、普遍性差。缺点：可靠性、普遍性差。32. 两种研究方法涉及的物理量：两种研究方法涉及的物理量：宏观量宏观量 从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。如如 M、V、E 等等可以累加，称为广延量。可以累加，称为广延量。 P、T 等等不可累加，称为强度量。不可累加，称为强度量。微观量微观量描述系统内微观粒子的物理量。描述系统内微观粒子的物理量。 如分子的质量如分子的质量m、直径直径 d 、速度速度v、动量动量 p、能量能量

4、 等等。宏观量与微观量有一定的内在联系宏观量与微观量有一定的内在联系例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果，例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果，它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。43 3 分子热运动和统计规律分子热运动和统计规律分子热运动：分子热运动：大量分子做永不停息的无规则运动大量分子做永不停息的无规则运动. .基本特征：基本特征：(1)(1)无序性无序性 某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；各个分子之某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正是热运动与机械运动的间的运动也不相同，即无序性；这

5、正是热运动与机械运动的本质区别。本质区别。(2)(2)统计性统计性但从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规律，但从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规律，即统计性。即统计性。分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本质的分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本质的区别，故不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。必区别，故不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。必须兼顾两种特征，应用统计力学方法。须兼顾两种特征，应用统计力学方法。5定义定义: : 某一事件某一事件i 发生的概率为发生的概率为 wi Ni 事件事件 i 发生的次数发生的次数N 各种事件发生的总次数各种事件发生的总

6、次数 统计规律有以下几个特点统计规律有以下几个特点: :(1)(1)只对大量偶然的事件才有意义只对大量偶然的事件才有意义. .(2)(2)它是不同于个体规律的整体规律它是不同于个体规律的整体规律( (量变到质变量变到质变).).表演实验：伽耳顿板表演实验：伽耳顿板例例. . 扔硬币扔硬币什么是统计规律性什么是统计规律性 大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。NNwiNilim6在描写大量分子状态时往往使用在描写大量分子状态时往往使用统计平均值统计平均值。 我们描述的是大量分子的运动。一摩尔气体就有我们描述的是大量分子的运动。一摩尔气体就有6.022

7、 1023个分子。一个个地说明其速度、位置等既无个分子。一个个地说明其速度、位置等既无必要又无可能，必要又无可能，因而实际上常用它们的平均值。因而实际上常用它们的平均值。怎样求平均值呢？以求分子速率的平均值为例：怎样求平均值呢？以求分子速率的平均值为例：设有一个系统有设有一个系统有N个分子且：个分子且：具有速率具有速率 v1 分子数为分子数为 n1, 出现出现 v1 值的概率为值的概率为 n1/N；具有速率具有速率 v2 分子数为分子数为 n2, 出现出现 v2 值的概率为值的概率为 n2/N；具有速率具有速率 vi 分子数为分子数为 ni, 出现出现 vi 值的概率为值的概率为 ni/N；具

8、有速率具有速率 vm分子数为分子数为 nm, 出现出现 vm 值的概率为值的概率为 nm/N。故平均值故平均值: :NnnnnNmmiiivvvvvv2211_7mmiiwwwwvvvv2211miiiw1v如果速率看作连续分布如果速率看作连续分布, ,设取设取v 值的概率为值的概率为dw，则：，则：wd_vv事实上对任一随机量事实上对任一随机量 x 的平均值可表示为的平均值可表示为wxxddw为出现为出现 x 值的几率值的几率这种利用几率的办法求得的平这种利用几率的办法求得的平均值称为统计平均值均值称为统计平均值. .NnnnnNmmiiivvvvvv2211_8微观模型微观模型与统计方法与

9、统计方法理想气体分子的微观假设理想气体分子的微观假设2 2 理想气体压强和温度的统计意义理想气体压强和温度的统计意义1.1.理想气体微观模型理想气体微观模型(1)(1)气体分子当作质点，不占体气体分子当作质点，不占体积，体现气态的特性。积，体现气态的特性。(2)(2)气体分子的运动遵从牛顿力气体分子的运动遵从牛顿力学的规律；学的规律；(3)(3)分子之间除碰撞的瞬间外，分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力无相互作用力，碰撞为弹性碰，碰撞为弹性碰撞；一般情况下，忽略重力。撞；一般情况下，忽略重力。气体分子之间的距离气体分子之间的距离08rr 引力可认为是引力可认为是零零, ,看做理想气体。看做理

10、想气体。范德瓦耳斯力范德瓦耳斯力无相互作用的弹性质点！无相互作用的弹性质点！92.2. 对大量分子组成的气体系统的对大量分子组成的气体系统的统计假设统计假设：分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着；分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着；(2) (2) 分子沿任一方向的运动不比其它方向的运动占有优势分子沿任一方向的运动不比其它方向的运动占有优势, ,即分子速度在各方向上的分量的各种平均值相等即分子速度在各方向上的分量的各种平均值相等0zyxvvv32222vvvvzyxiiiixixnnvviiiixxnn22vv鉴于气体在平衡状态中，分子的空间分布到处均匀的事实，鉴于气体在平衡状态中

11、，分子的空间分布到处均匀的事实，作如下假设：作如下假设：(1) (1) 容器中任一位置处单位体积内的分子数不比其它位置容器中任一位置处单位体积内的分子数不比其它位置占有优势占有优势10 设在体积为设在体积为V的容器的容器中储有中储有N个质量为个质量为m的分子组成的理的分子组成的理想气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子在容器中按位想气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子在容器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为置的分布是均匀的。分子数密度为 n=N/V.AtIPddddI为大量分子在为大量分子在dt 时间内施加在器壁时间内施加在器壁dA面上的面上的平均冲量平均冲量。3. 3. 压强公式的简单推

12、导压强公式的简单推导 从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量。有加在单位面积器壁上的平均冲量。有 为讨论方便，将为讨论方便，将分子按速度分组分子按速度分组，第，第i 组分子的速度为组分子的速度为vi（严格说在（严格说在vi 附近）分子数为附近）分子数为Ni ,分子数密度为分子数密度为 ni=Ni/V, 并有并有 n = n1+n2+ni+.= ni11xdAvixdtiv平衡态下，器壁各处压强相等，平衡态下，器壁各处压强相等，取直角坐标系，在垂直于取直角坐标系，在垂直于x轴的器轴的器壁上任取一小面积壁上任取一

13、小面积dA,计算其所受计算其所受的压强（如右图）的压强（如右图）单个分子在对单个分子在对dA的一次碰撞中的一次碰撞中施于施于dA的的冲量为冲量为2mvix. dt 时间内，碰到时间内，碰到dA面的第面的第i组分子施于组分子施于dA的冲量为的冲量为 2mni vix2dtdA关键在于：关键在于：在全部速度为在全部速度为vi的的分子中，在分子中，在dt时间内，能与时间内，能与dA相碰的只是那些位于以相碰的只是那些位于以dA为底，以为底，以 vixdt 为高，以为高，以 vi为为轴线的圆柱体内的分子。分子数为轴线的圆柱体内的分子。分子数为 nivixdtdA 。12dt 时间内，与时间内，与dA相碰

14、撞的所有分子施与相碰撞的所有分子施与dA的冲量为的冲量为AtmnIixiixidd2d2)0(vviixiiixiAtmnAtmnIdddd221d22vv注意：注意：vix0 0 的分子数的分子数等于等于 vix0 0 的分子数。的分子数。iixinmtAIP2dddvnniixix22vv定义：2xmnPv则：xdAvixdtiv13平衡态下，分子速度按方向的分布是均匀的，有平衡态下，分子速度按方向的分布是均匀的，有222zyxvvv22222222zyxzyxvvvvvvvv222231vvvvzyx所以所以231vmnP 或者或者nmnP32)21(322v221vm显示宏观量与微观量

15、的关系。是力学原理与统计方法显示宏观量与微观量的关系。是力学原理与统计方法相结合得出的统计规律相结合得出的统计规律。2xmnPv压强的微观意义：压强是大量分子碰撞器壁的压强的微观意义：压强是大量分子碰撞器壁的平均作用力平均作用力 ( (单位面积上单位面积上) )的的统计平均值统计平均值。 分子的平均平动动能分子的平均平动动能14温度的微观意义温度的微观意义比较比较 P=nkT 和和 ，有，有nP32理想气体状态方程的分子形式理想气体状态方程的分子形式 由：由：PV= RT 若分子总数若分子总数N，则有，则有 PV=NRT/NA 定义玻尔兹曼常数定义玻尔兹曼常数: : k =R/NA =1.38

16、 10-23J K-1 则则 PV=NkT 或或 P=nkTkT234 4 理想气体的温度公式理想气体的温度公式 : :分子的平均平动动能分子的平均平动动能是分子无规则运动激烈程度的定量表示是分子无规则运动激烈程度的定量表示. .温度温度T 标志着物体内部分子无规则运动的激烈程度标志着物体内部分子无规则运动的激烈程度. .15方均根速率方均根速率2vkTm23212vmkT /32vRTmkT332v在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。5.5.方均根速率方均根速率 ( (气体分子速率气体分子速率平方平方的的平均值平均值的的平方根平方根) )平均平

17、动动能只与温度有关平均平动动能只与温度有关kT23 温度是统计概念，只能用于大量分子，温度标志温度是统计概念，只能用于大量分子，温度标志物体内部分子无规则运动的剧烈程度。物体内部分子无规则运动的剧烈程度。16 1. 1.一定质量的气体一定质量的气体, ,当温度不变时当温度不变时, ,压强随体积减小而增大压强随体积减小而增大; ; 当体积不当体积不变时变时, , 压强随温度升高而增大，从宏观上说压强随温度升高而增大，从宏观上说, ,这两种变化都使压强增大这两种变化都使压强增大; ;从微观上说从微观上说, ,它们是否有区别它们是否有区别? ? 2. 2.两种不同种类的理想气体两种不同种类的理想气体

18、, ,压强相同压强相同, ,温度相同温度相同, ,体积不同体积不同, , 试问单试问单位体积内的分子数是否相同位体积内的分子数是否相同? ? 3. 3.两瓶不同种类的气体两瓶不同种类的气体, ,分子平均平动动能相同分子平均平动动能相同, ,但气体的分子数密度但气体的分子数密度不同不同, ,试问他们的压强是否相同试问他们的压强是否相同? ? 4. 4.两瓶不同种类的气体两瓶不同种类的气体, ,体积不同体积不同, ,但温度和压强相同但温度和压强相同, ,问气体分子的平问气体分子的平均平动动能是否相同均平动动能是否相同? ? 单位体积中的分子的总平均平动动能是否相同单位体积中的分子的总平均平动动能是

19、否相同? ?问题：问题：（答案：前者是由于分子碰撞次数增加导致（答案：前者是由于分子碰撞次数增加导致, ,后者是由于运动加剧导致）后者是由于运动加剧导致）（答案（答案: :相同）相同）（答案（答案: :不同）不同） （答案（答案: :相同相同, ,相同）相同）nkTP kT23kT23nkTP 17 前面我们研究气体动能时把分子看作无相互作用前面我们研究气体动能时把分子看作无相互作用弹性质点的集合，我们发现当用这一模型去研究单原弹性质点的集合，我们发现当用这一模型去研究单原子气体的比热时，理论与实际吻合得很好。子气体的比热时，理论与实际吻合得很好。 但当我们用这一模型去研究多原子分子时，理论但

20、当我们用这一模型去研究多原子分子时，理论值与实验值相差甚远。值与实验值相差甚远。 1857 1857年克劳修斯提出：年克劳修斯提出：要修改模型。而不能将所有要修改模型。而不能将所有分子都看成质点，对结构复分子都看成质点，对结构复杂的分子，我们不但要考察杂的分子，我们不但要考察其平动，而且还要考虑分子其平动，而且还要考虑分子的转动、振动等。的转动、振动等。理想气体模型必须修改理想气体模型必须修改18 将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分子气体，将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。双原子分子气体，多原子分子气体。这样，气体分子除平动外，还有转

21、动和分子内原子之间的振动。这样，气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振动。 作为统计理论初步，可不考虑分子内部的振动，而认为分作为统计理论初步，可不考虑分子内部的振动，而认为分子是刚性的。为用统计方法计算分子动能，首先介绍自由度的子是刚性的。为用统计方法计算分子动能，首先介绍自由度的概念概念3 3 能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理 理想气体内能理想气体内能 1.1.自由度自由度自由度：在力学中，自由度是指决定一个物体的空间位置所自由度：在力学中，自由度是指决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数需要的独立坐标数. . t : 平动自由度平动自由度, , r : 转动自由度转动自

22、由度19刚性双原子分子刚性双原子分子 t =3 r =2（两个被看作质点的原子被一条几何线连接）（两个被看作质点的原子被一条几何线连接）刚性多原子分子刚性多原子分子 t =3 r =31coscoscos222质心：质心：3x，y，zc方位：方位：2 ， 转动转动：1 xOyz),(zyx)He(xOyz),(zyx单原子分子单原子分子(自由运动质点自由运动质点) t = 3202. 2. 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理kTm23212v222231vvvvzyx且222212121zyxmmmvvv平方项的平均值平方项的平均值平动自由度平动自由度kT21一个分子的平均平动动能为：一

23、个分子的平均平动动能为：可得平衡态下可得平衡态下分子的每一个平动自由度的平均动能都等于分子的每一个平动自由度的平均动能都等于推广到转动等其它运动形式，得推广到转动等其它运动形式，得能量均分定理能量均分定理。kTm21)21(312v21在温度为在温度为T 的平衡态下，气体分子每个自由度的的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于平均动能都相等，都等于 。kT21是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。 是气体分是气体分子无规则碰撞的结果。经典统计物理可给出严格证明。子无规则碰撞的结果。经典统计物理可给出严格证明。非刚性双原子分子非刚性双原子分

24、子除平动能、转动能，除平动能、转动能，还有振动能：还有振动能：每个振动自由度每个振动自由度s 分配平均能量分配平均能量1 1个振动自由度还有个振动自由度还有kTkT 2122221dd21krtrE振动221kr势能：kTsrtkTs)2(212122此结论在与室温相差不大此结论在与室温相差不大的温度范围内与实验近似的温度范围内与实验近似相符。相符。i 表示一个分子的总自由度表示一个分子的总自由度N 表示气体分子的总数表示气体分子的总数 表示气体总摩尔数表示气体总摩尔数分子的平均动能分子的平均动能kTi2NU 3. 3. 理想气体理想气体的内能的内能内能：热力学系统的全部微观粒子具有的总能量，

25、内能：热力学系统的全部微观粒子具有的总能量， 包括包括分子热运动的动能、分子间的势能分子热运动的动能、分子间的势能、原子原子 内及核内的能量。这里特指前两种，用内及核内的能量。这里特指前两种，用E 表示。表示。 对于刚性分子，不计分子间势能，内能仅包括对于刚性分子，不计分子间势能，内能仅包括 所有分子的平均动能之和。所有分子的平均动能之和。理想气体的内能只是温度理想气体的内能只是温度的函数而且与热力学温度的函数而且与热力学温度成正比成正比理想气体的内能理想气体的内能NkTi2RTi223例例1 1：在标准状态下，若氧气和氦气的体：在标准状态下，若氧气和氦气的体积比为积比为1/2，求其内能之比。

26、，求其内能之比。解：解：氧气氧气 i1=5 和氦气和氦气 i2=3RTiRTiEE22112122RTiE22121653521例例2：设氦气和氮气的质量相等，方均根速率相等。则：设氦气和氮气的质量相等，方均根速率相等。则氦气和氮气的内能之比为多少？氦气和氮气的内能之比为多少？解：解：RT32v2211TTRTiME22121iiEE53氦气氦气i1=3和氮气和氮气i2=5244 4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力组成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动

27、力学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性。总体上却存在着确定的规律性。 对具有统计性的系统来讲，总存在着确定的分布函对具有统计性的系统来讲，总存在着确定的分布函数，因此，写出分布函数是研究一个系统的关键之处，数，因此，写出分布函数是研究一个系统的关键之处，具有普遍的意义。具有普遍的意义。 N个分子组成的理想气体到达平衡态时，分子的速个分子组成的理想气体到达平衡态时，分子的速度分布是什么？这是一个非常有实际意义的问题，也是度分布是什么？这是一个非常有实际意义的问题，也是统计物理研究的主要问题之一。统计物理研究的主

28、要问题之一。25速率分布函数速率分布函数dNv 表示速率分布在某区间表示速率分布在某区间 v v + dv内的分子数，内的分子数，dNv /N表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率（百分比（百分比）。）。 dNv /N还应与还应与区间大小成正比区间大小成正比。因此有因此有 vvvddfNN 或或 vvddNNf 1dd00vvvfNNN归一化条件归一化条件物理意义：速率在物理意义：速率在 v 附近，单位速附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。率区间的分子数占总分子数的比率。一定量的气体分子总数为一定量的气体分子总数为NdNv /N 是是v 的

29、函数的函数，在不同速率附近取相等的区间，在不同速率附近取相等的区间，此比率一般不相等。此比率一般不相等。26兰媚尔实验兰媚尔实验原理：速率筛每旋转一周，原理：速率筛每旋转一周，分子通过筛，到达屏上，但分子通过筛，到达屏上，但不是所有速率的分子都能通不是所有速率的分子都能通过分子速率筛的。只有满足过分子速率筛的。只有满足关系：关系：vLLv即只有速率为：即只有速率为：的分子才能通过的分子才能通过。改变改变 ， 等可让不同速率的分子通过等可让不同速率的分子通过,（装置置于真空之中）（装置置于真空之中）1. 1. 分子速率的实验测定分子速率的实验测定通过光度法测量沉积层的厚度通过光度法测量沉积层的厚

30、度,可得可得不同速率的分子数占总分子的百分比。不同速率的分子数占总分子的百分比。 vvvddfNN27下面列出了下面列出了Hg分子在某温度时不同分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比。速率的分子数占总分子的百分比。 v (m/s) N/N% 90以下以下 6.2 90 140 10.32 140 190 18.93 190 240 22.70 240 290 18.30 290 340 12.80 340 390 6.2 390以上以上 4.0粒子速率分布实验粒子速率分布实验曲线如下所示曲线如下所示Ov相对粒子数相对粒子数光度法测量沉积层的厚度光度法测量沉积层的厚度)(vfvv v+d

31、v vvvddfNN vvvfNNm/s50v282. 2. 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律vvvd24d22322kTmekTmNN2232224)(vvvkTmekTmf麦克斯韦的主要科学贡献在电磁学麦克斯韦的主要科学贡献在电磁学方面，同时在天体物理学、气体分方面，同时在天体物理学、气体分子运动论、热力学、统计物理学等子运动论、热力学、统计物理学等方面，都作出了卓越的成绩。方面，都作出了卓越的成绩。 （18581858年从理论上推导年从理论上推导）O)(vfvpvv)(vf)(vfvv v+dv29vvvvd24d22232kTmekTmNN 2223224vvvkTmekTmf麦克

32、斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间分布在任一速率区间 v v + dv 的分子数占总分子数的分子数占总分子数的比率为的比率为麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律（一定条件下，速率分布函数的具体形式）（一定条件下，速率分布函数的具体形式）30曲线下面宽度为曲线下面宽度为 dv 的的小窄条小窄条面积面积等于分布在此速率区间内的分子数等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率占总分子数的比率dN/N 。麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线vv d)(dfNNvpv v+dvf(v)

33、vf(vp) 0ddvvfRTmkTp22v1218)(ekTmfpv最概然速率最概然速率与与 f(v) 极大值对极大值对应的速率。应的速率。物理意义物理意义：若把整：若把整个速率范围划分为许多相等的个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在小区间，则分布在vP 所在所在区间区间的分子数比率最大。的分子数比率最大。1d)(0vvf归一化条件归一化条件当当 v = vp时时31温度越高，温度越高，速率大的分子数越多速率大的分子数越多RTmkTp22v 1218ekTmfpvvp 随随 T 升高而增大，升高而增大，随随 m 增大而减小。增大而减小。可讨论可讨论 T 和和 m 对对速率分布的影响。速

34、率分布的影响。同一气体不同温度下速率分布比较同一气体不同温度下速率分布比较)()()(321PPPfffvvv123TTT32 vvvd0fRTmkT88v vvvd02fmkT32vRTmkT332vvvvvd)()()(0fggNNN022dvvNNN0dvv2vvvp三者和三者和T、m(或或 )的关系相同的关系相同;三种速率使用于不同的场合。三种速率使用于不同的场合。mT2vv 和方均根速率平均速率RTmkTp22v一般与速率有关物理量一般与速率有关物理量g g( (v) )的平均值，可由下式决定的平均值，可由下式决定33试用气体的分子热运动说明为什么大气中氢的含量极少？试用气体的分子热

35、运动说明为什么大气中氢的含量极少？ 在空气中有在空气中有O2，N2，Ar，H2，C02等分子，其中以等分子，其中以H2的摩的摩尔质量最小。尔质量最小。 从上式可知，在同一温度下从上式可知，在同一温度下H2的的的的平均速率较大平均速率较大，而在大，而在大气中分子速度大于第二宇宙速度气中分子速度大于第二宇宙速度11.2公里公里/ /秒时，分子就有可能秒时，分子就有可能摆脱地球的引力作用离开大气层摆脱地球的引力作用离开大气层。 H2摩尔质量最小摩尔质量最小，其速度达到，其速度达到11.2公里公里/ /秒的分子数就比秒的分子数就比O2、Ar、C02达到这一速度的分子数多。达到这一速度的分子数多。H2逃

36、逸地球引力作用逃逸地球引力作用的几率最大，离开大气层的氢气最多所以的几率最大，离开大气层的氢气最多所以H2在大气中的含量在大气中的含量最少。最少。RTmkT88v34速度空间的概念速度空间的概念 表示分子的速度表示分子的速度以其分量以其分量vx、vy、vz为轴可构成一直角坐标系，为轴可构成一直角坐标系， 由此坐标系所确定的空间为速度空间。由此坐标系所确定的空间为速度空间。v0vvv d4d2VzyxVvvvdddd速率空间体积元速率空间体积元速度空间体积元速度空间体积元麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律vzvyvx035 在平衡态下，当气体分子之间的相互作用可忽略时，速度分在平衡态下，当气体

37、分子之间的相互作用可忽略时，速度分量量vx在区间在区间vxvx+dvx，vy 在区间在区间vyvy+dvy，vz在区间在区间vzvz+dvz内内的分子数占总分子数的比率为的分子数占总分子数的比率为zyxkTmzyxzyxekTmNNvvvvvvvvvddd2d223222kTmzyxzyxekTmf2232222,vvvvvv麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律vvvvd42d22232kTmekTmNN麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数 2223224vvvkTmekTmf麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律365 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律麦

38、氏速度分布律为麦氏速度分布律为zyxkTzyxzyxmekTmNNvvvvvvvvvddd2d222223kzyxmm22222121vvvv其指数仅包含其指数仅包含分子运动动能分子运动动能设气体分子处于某一保守力场中，分子势能为设气体分子处于某一保守力场中，分子势能为 p ，kPk代替用分子受力场的影响，按空间位分子受力场的影响，按空间位置的分布却是置的分布却是不均匀不均匀的，依赖的，依赖于分子所在力场的性质。于分子所在力场的性质。用用x, y, z和和vx, vy, vz 为轴构成的为轴构成的六维空间中的体积元六维空间中的体积元dxdydzdvxdvydvz 代替速度空间代替速度空间的体积

39、元的体积元dvxdvydvz zyxkTzyxekTmnNpkvvvdddddd2d23037玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律（分子按能量分布定律）（分子按能量分布定律） 当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间xx+dx、yy+dy、zz+dz内，同时速度介于内，同时速度介于vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz内的分子数为内的分子数为zyxkTzyxenNpkkTmvvvddddddd2302n0为在为在 p=0=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。处，单位体积内具有各种速度的分子总数。将玻尔兹曼分布率对速度空间积分将玻尔兹曼分

40、布率对速度空间积分, ,有有zyxkTkTkPekTmzyxenNvvvddd2dddd230 归一化条件归一化条件zyxenkTPddd 0kTPenzyxNn0dddd38kTPenzyxNn0ddddmghPRTghkTmghenenn00重力场中粒子按高度的分布（重力场中粒子按高度的分布（ ）等温大气压强公式（高度计原理）等温大气压强公式（高度计原理）假设：大气为理想气体，不同高度处温度相等。假设：大气为理想气体，不同高度处温度相等。利用：利用：P = nkTRTghenn0可得可得: :RTghePP0每升高每升高1010米，大气压强降低米，大气压强降低133133Pa。近似符合实际

41、，近似符合实际，可粗略估计高度变化。可粗略估计高度变化。391. 1. 分子碰撞分子碰撞 分子间的无规则碰撞在气体由非平衡态过渡到平衡态分子间的无规则碰撞在气体由非平衡态过渡到平衡态的过程中起着关键作用。的过程中起着关键作用。在在研究分子碰撞规律时，可把研究分子碰撞规律时，可把气体分子看作无吸引力的有气体分子看作无吸引力的有效直径为效直径为d 的刚球。的刚球。6 6 分子平均碰撞次数分子平均碰撞次数 平均自由程平均自由程 分子碰撞也是分子碰撞也是“无规则无规则”的的, ,相隔多长时间碰撞一次相隔多长时间碰撞一次, ,每次飞翔多远才碰撞，也都每次飞翔多远才碰撞，也都有是随机的、偶然的，因此有是随

42、机的、偶然的，因此也只能引出一些也只能引出一些平均值来描平均值来描写写。气体分子自由程气体分子自由程线度线度 10-8m40一个分子连续两次碰撞之一个分子连续两次碰撞之间经历的平均路程叫平均间经历的平均路程叫平均自由程自由程 。一一个分子单位时间里个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫受到平均碰撞次数叫平均碰撞频率平均碰撞频率 z 。zv单位时间内分子经历单位时间内分子经历的平均距离的平均距离 v ，平均平均碰撞碰撞 z 次次。气体分子自由程气体分子自由程线度线度 10-8m2.2.平均自由程平均自由程 平均碰撞频率平均碰撞频率41u假设：假设：其他分子静止不动，只有分子其他分子静止不动，只有分子

43、A在它们之在它们之间以平均相对速率间以平均相对速率 运动。运动。 平均自由程平均自由程 和和平均碰撞频率平均碰撞频率 的计算的计算zv2uA分子分子A的运动轨迹为一折线的运动轨迹为一折线以以A的中心运动轨迹（图中的中心运动轨迹（图中虚线）为轴线，以分子有虚线）为轴线，以分子有效直径效直径d为半径，作一曲折为半径，作一曲折圆柱体。凡中心在此圆柱圆柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与体内的分子都会与A相碰。相碰。跟踪分子跟踪分子A，看其在一段时间，看其在一段时间 t 内与多少分子相碰。内与多少分子相碰。42unttunZv2undnzvv222圆柱体的截面积为圆柱体的截面积为 ，叫做分子的碰撞截面

44、。，叫做分子的碰撞截面。 = d 2在在 t 内，内，A所走过的路程为所走过的路程为 ， 相应圆柱体的体相应圆柱体的体积为积为 ， 设气体分子数密度为设气体分子数密度为n。则中心在此。则中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在圆柱体内的分子总数，亦即在 t 时间内与时间内与A相碰的相碰的分子数为分子数为n 。tututu平均碰撞频率为平均碰撞频率为43平均自由程为平均自由程为ndn22121PdkT22nkTP Z在标准状态下，多数气体平均自由程在标准状态下，多数气体平均自由程 10-8m，只有氢，只有氢气约为气约为10-7m。一般。一般d10-10m，故，故 d。可求得。可求得 109/秒。秒。

45、每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！说明：平均自由说明：平均自由程与分子有效直程与分子有效直径的平方及单位径的平方及单位体积内的分子数体积内的分子数成反比，与平均成反比，与平均速率无关。速率无关。44 比较在推导理想气体压强公式、内能公式、平均碰比较在推导理想气体压强公式、内能公式、平均碰撞频率公式时所使用的理想气体分子模型有何不同？撞频率公式时所使用的理想气体分子模型有何不同？答：答：推导压强公式时，用的是理想气体分子模型，将理推导压强公式时，用的是理想气体分子模型，将理想气体分子看作弹性自由质点；想气体分子看作弹性自由质点； 在推导内能公式时，计算每个分子所

46、具有的平均能在推导内能公式时，计算每个分子所具有的平均能量，考虑了分子的自由度，除了单原子分子仍看作质点量，考虑了分子的自由度，除了单原子分子仍看作质点外，其他分子都看成了质点的组合；外，其他分子都看成了质点的组合； 推导平均碰撞频率公式时，将气体分子看成有一定推导平均碰撞频率公式时，将气体分子看成有一定大小、有效直径为大小、有效直径为d 的弹性小球。的弹性小球。45讨论题讨论题 已知已知 f (v) 为麦克斯韦分布函数，为麦克斯韦分布函数，N为总分子数，为总分子数，m为分子质量，为分子质量，vp分子的最可几速率，问下列各式的物理意义：分子的最可几速率，问下列各式的物理意义：pfmvvvvd)

47、(21) 3(2( (vp- - ) )速率区间速率区间分子的平均平动动能？分子的平均平动动能？pfvvv d)(1 ）（pNfvvv d)(2 ）（ppNNfNNpvvvvv d)(d(vp- ) 速率区间的分子占总分速率区间的分子占总分子数的百分比（几率）。子数的百分比（几率）。pppNNNfvvvvvdd)( (vp p- - ) )速率区间的分子数速率区间的分子数vv d)(dfNN讨论讨论46( (vp- - ) )速率区间速率区间分子的平均平动动能：分子的平均平动动能：ppppNNfmNNmvvvvvvvvd)(21d2122pfmvvvvd)(212202d)(vvvvf022d)(2121vvvvfmmppfmfmvvvvvvvvd)(21d)(21202( 0 vp)( vp )(vp ) 速率区间的分子对分子平均平动动能的贡献。速率区间的分子对分子平均平动动能的贡献。pfmvvvvd)(21) 3(2