差分方程离散系统的z域分析法稳定性课件.ppt

1、1第九章线性离散控制系统自动控制原理自动控制原理2本章主要内容本章主要内容1.1. 离散控制系统的基本概念离散控制系统的基本概念2.2. 信号的采样与保持信号的采样与保持 采样过程与采样定理，零阶保持器采样过程与采样定理，零阶保持器3.3. 离散系统的数学描述离散系统的数学描述 z z变换，脉冲传递函数（开环、闭环），差分方程变换，脉冲传递函数（开环、闭环），差分方程4.4. 离散系统的离散系统的z z域分析法域分析法稳定性，极点分布与暂态性能，稳态误差，稳定性，极点分布与暂态性能，稳态误差，根轨迹法（自学）根轨迹法（自学）5.5. 离散系统的频域分析法离散系统的频域分析法（自学）（自学）6.

2、6. 离散系统的状态空间分析法离散系统的状态空间分析法（自学）（自学）7.7. 离散系统的综合离散系统的综合（自学）（自学）3典型的离散控制系统如图：典型的离散控制系统如图：脉冲脉冲控制器控制器保持器保持器y- -reT受控对受控对象象u u e9.1 离散控制系统的基本概念离散控制系统的基本概念 是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列 ，脉冲控制器对脉冲控制器对 进行某种运算，产生控制信号脉冲序列进行某种运算，产生控制信号脉冲序列 ，保持器将采样信号保持器将采样信号 变成连续信号变成连续信号 ，作用于受控对象，作用于受控对象 e u

3、e uue4最常见的离散控制系统：计算机控制系统最常见的离散控制系统：计算机控制系统A/DA/D：模拟信号：模拟信号数字信号，图中还包括数字信号，图中还包括 连续信号连续信号离散信号的采样过程离散信号的采样过程D/AD/A：数字信号：数字信号模拟信号，图中还包括模拟信号，图中还包括 离散信号离散信号连续信号的保持过程连续信号的保持过程A/DD/A数字数字控制器控制器受控受控对象对象测量测量计算机计算机reu(t) y(t)计算机控制系统原理图计算机控制系统原理图执行执行机构机构5计算机控制系统的主要特点计算机控制系统的主要特点修改控制器结构及参数很方便（改变控制程序）；修改控制器结构及参数很方

4、便（改变控制程序）；便于实现各种先进控制，能完成复杂的控制任务；便于实现各种先进控制，能完成复杂的控制任务；控制精度高，抗干扰能力强，能有效抑制噪声；控制精度高，抗干扰能力强，能有效抑制噪声；有显示、报警等多种功能。有显示、报警等多种功能。有利于实现有利于实现“智能化智能化”、“网络化网络化”、“管控一体管控一体化化”、多级分布式控制等；、多级分布式控制等；分析离散系统的常用方法：分析离散系统的常用方法：Z域法，状态空间法。域法，状态空间法。6)t (f连续信号连续信号0tT离散化信号（采样）离散化信号（采样）)t (f 0t复现信号（保持）复现信号（保持）)t (fht9.2 信号的采样与保

5、持信号的采样与保持T T：采样周期，一般是等周期采样，也可变周期或随机采样。：采样周期，一般是等周期采样，也可变周期或随机采样。 （ T 00时时, ,极点幅值极点幅值1 1 信号收敛信号收敛01 1 信号发散信号发散azzza11)z(F,a)nT(f1n- - - - - -则则特例：若特例：若|a|1|a|1时时, ,信号发散；信号发散；|a|1|a|00时时, ,极点幅值极点幅值1 1 信号收敛信号收敛01 1 信号发散信号发散=0=0时时, ,相异极点的幅值相异极点的幅值=1 =1 等幅振荡等幅振荡T 1p2p0j极点在极点在Z平面的位置平面的位置1 0 T 1p2p0j极点在极点在

6、Z平面的位置平面的位置1 0 24a1a1时时, ,极点幅值极点幅值1 1a1时时, ,极点幅值极点幅值1 1 信号发散信号发散a=1a=1时时, ,互异极点幅值互异极点幅值=1 =1 等幅振荡等幅振荡)sinj(cosapacosza2zsinza)z(F2 ,122 - - 极点为极点为， 1p2p0j极点在极点在Z平面的位置平面的位置1a）（为正实数为正实数的特殊情况：的特殊情况：例例T,eaa),nsin(a)nT(fTn - - 4252. 部分分式法部分分式法例例5 5：已知连续函数的拉氏变换为：已知连续函数的拉氏变换为解：解：)ez)(1z(z )e1()ze1)(z1(z )e

7、1(ze11z11)t (fZ)z(FaTaT1aT11aT1aT1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ate1)t (f- - - as1s1)s(F - - )as( sa)s(F 求求Z Z变换变换注意极点的对应关系注意极点的对应关系26的的Z Z变变换换例例6 6：求求tcos)t(f 解：解：1Tjtj22ze11ejs1js1js121ss)sF()s(F- - - - - 变换为变换为，其，其的原函数为的原函数为而而Z1Tcosz2zT)cosz(z-zT)zcos2(1Tzcos-1ze11ze1121)z(F22111Tj1

8、Tj - - - - - - - - - - - - - - - 27变换的基本性质变换的基本性质)z(Fa)z(Fa)t (fa)t (faZ22112211 . 线性定理线性定理则有则有，时，时，设设)z(F)t (fZ0)t (f0t )z(Fz)kTt (fZk- - - -)z(Fzz )nT(fzz )T(fz )0(f0z )kTT(fz )kT(fz )kTnT(f)kTt (fZkn0nk)1k(k10n0n- - - - - - - - - - - - - - - - - - 2. 延迟定理延迟定理式中式中k、T均为常量均为常量.证：证：为常数为常数21a,a28注：连续系

9、统的迟后环节注：连续系统的迟后环节 e e-kTs-kTs 在离散系统中只在离散系统中只是是 z z-k-k，属于有理式，便于分析。因此，对于有，属于有理式，便于分析。因此，对于有迟后环节的系统，按离散时间系统进行分析和设迟后环节的系统，按离散时间系统进行分析和设计通常较连续时间系统更方便。计通常较连续时间系统更方便。tkT0f(t)f(t-kT) 延迟定理的直观表示延迟定理的直观表示29 - - - - - 1k0nnkkz )nT(fz)z(Fz)kTt (fZ3. 超前定理超前定理)z(Fz)kTt ( fZk 0T)1k(f)T( f)0( f - - 如果如果，则有，则有第一个表达式

10、对应蓝色实线第一个表达式对应蓝色实线的的Z Z变换；变换；z zk kF(zF(z) )对应全部蓝对应全部蓝色线的色线的Z Z变换，所以只有当虚变换，所以只有当虚线部分线部分=0=0时才有第二个表达时才有第二个表达式式tkT0f(t)f(t+kT)超前定理的直观解释超前定理的直观解释-kT30)z(F)1z(lim)z(F)z1(lim)nT(flim)t (flim1z11znt- - - - - - 4. 终值定理终值定理设设 f(t) 的的Z变换为变换为F(z)，且，且F(z) 在在z平面平面不含有单位圆上不含有单位圆上及圆外的的极点（除及圆外的的极点（除 z外），则外），则 f(t)

11、的终值为的终值为1zzz11)z(FZ1- - - - - - 变变换换为为例例：单单位位阶阶跃跃信信号号的的1)z(F)z1(lim)t (flim11zt - - - - 0jZ平面平面1F(zF(z) )允许的极点分布区域允许的极点分布区域注：终值定理主要用于注：终值定理主要用于F(zF(z) )有极点有极点1 1这种情况，其他情这种情况，其他情况直接就可判断。况直接就可判断。31aT1aTatezzze11)z(FZe)t (f- - - - - - - - 变换为变换为的的例：例：0)z(F)z1(lim)t (flim11zt - - - - ，可以应用终值定理。，可以应用终值定理

12、。时极点时极点1e0aaT - -的的前前提提条条件件。，不不符符合合应应用用终终值值定定理理时时注注意意：1e0aaT - -1Tcosz2zTsinz)z(FZtsin2 - - 变变换换为为的的例例：TsinjTcosp2 ,1 极极点点，错错误误则则不不能能应应用用终终值值定定理理，否否0)z(F)z1(lim)t (flim11zt - - - - 极点在极点在Z平面平面单位圆上单位圆上T 1p2p0j1不求也可判断不求也可判断!32)z(Flim)0(fz 4. 初值定理初值定理设设f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则，则 f(t) 的初值为的初值为aT1aTatezzze11)

13、z(FZe)t (f- - - - - - - - 变换为变换为的的例：例：1)z(Flim)0(fz - - 0nnz)nT(f)z(F33)ze(Fe )t (fZaTat .位移定理位移定理例：用位移定理求例：用位移定理求 f(t) = e-at sin(t)的的 Z 变换变换1Tcosz2zTsinz)z(FZtsin2 - - 变变换换为为的的1Tcosze2zTsinze1Tcosze2ezTsinze)z(FZtsineaT2aTaTaT22aTat - - - - - - - - 变换为变换为的的设设f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有，则有346. Z域微分定理域微分定理

14、设设f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有，则有 )t(ftTzz)nT(fnz)nz)(nT(fzd)z(dFZ110nn10n1n- - - - - - - - - - - - - - - - 0nnz)nT(f)z(F zd)z(dFzT)t(ftZ- - zd)z(dFzT)t(ftZ- - 即即证：证：35 211)1z(1zd)z(dF)z(F1zz)t (1Z),t (1t)t (f- - - - - 而而例：用微分定理求例：用微分定理求 f(t) = t，t0 的的 Z 变换变换 21)1z(zTzd)z(dFzT)t(1tZ)z(F- - - - 例：用微分定理求例：用微分

15、定理求 f(t) = t2，t0 的的 Z 变换变换 3211211)1z()1z(zTzd)z(dFzT)t(ftZ)z(F)1z(zT)z(F, t)t(f- - - - - - 则则设设单位幅值的重极点单位幅值的重极点 发散发散36 极点位置与收敛性的关系：极点位置与收敛性的关系：a0a0时时, ,极点幅值极点幅值1 1 信号收敛信号收敛a0a1 1 信号发散信号发散（即重极点与前面单极点的结论相同）（即重极点与前面单极点的结论相同）例：用微分定理求例：用微分定理求 f(t) = te-at，t0 的的 Z 变换变换 2aTaT11aT1at1)ez(zTezd)z(dFzT)t(ftZ

16、)z(Fezz)z(F,e)t(f- - - - - - - - - - 则则设设37Z 反变换反变换 - - - - - - - - - - )T4t (9)T3t (7)T2t (5)Tt (3)t ()z(FZ)t (f1 1. 长除法长除法 - - - - - - - - - - - -432121122z9z7z5z31zz21z11z2zzz)z(F1z2zzz)z(F22 - - )nT(f)t (f或或 例例1：求：求 的反变换的反变换,2,1,0n,1n2)nT(f 长除法主要用于求出信号的前面有限个采样时刻值，长除法主要用于求出信号的前面有限个采样时刻值，一般难以找到一般难

17、以找到 f(nT) 的一般规律，即闭式表达形式。的一般规律，即闭式表达形式。38例例1 的长除法过程：的长除法过程： 11z2zzz1z2z222 - - - - 1z3 - -1z3- - 11z35z36z3- - - - - - 2z5- - 2121z5z7z5z105- - - - - - - - 1z2zzz)z(F22 - - （z的多项式除法）的多项式除法）39例例1 的长除法过程：的长除法过程： 1zz21z1zz2121121- - - - - - - - - - 21zz3- - - -1z3- - 32321z3z5z3z6z3- - - - - - - - - 2z5

18、- - 43432z5z7z5z10z5- - - - - - - - - 211zz21z1)z(F- - - - - - （z-1的多项式除法）的多项式除法）402. 部分分式法部分分式法步骤步骤: :把把 F(z)/zF(z)/z 展开为部分分式展开为部分分式求各个部分分式项的求各个部分分式项的Z Z反变换之和反变换之和)ez)(1z()e1( z)z(FaTaT- - - - - - 例：已知例：已知)t (f ，求，求aTaTaTez11z1)ez)(1z(e1z)z(F- - - - - - - - - - - aTezz1zz)z(F- - - - - ,2, 1,0n,e1)n

19、T(fanT - - - - - - - - - 0nanT)nTt ()e1()t (f 或或解：解：使分解后的分子都含有使分解后的分子都含有z41 练习练习 B9.1,(6),(7); B9.1,(6),(7); B9.4,(2),(3); B9.4,(2),(3); B9.5,(1),(3); B9.5,(1),(3);42三、脉冲传递函数三、脉冲传递函数1、 基本概念基本概念定义：定义：对于线性离散定常系统，在零初始条件下，对于线性离散定常系统，在零初始条件下，系统输出采样信号的系统输出采样信号的Z Z变换与输入采样信号变换与输入采样信号Z Z变换之变换之比，称为系统的比，称为系统的脉

20、冲传递函数脉冲传递函数。)s(GZ)z(U)z(Y)z(G u(t)TG (s)u*(t)Ty*(t)z(Gy(t)U(z)G (z)Y(z)43)kT(ggk 图图中中单位脉冲响应的输入信号可看作单位脉冲响应的输入信号可看作单位幅值脉冲经理想脉冲调制而单位幅值脉冲经理想脉冲调制而产生的，产生的，对于有保持器的离散时对于有保持器的离散时间系统，间系统，单位脉冲响应的实际输单位脉冲响应的实际输入是入是单位幅值脉冲单位幅值脉冲，即，即 0t,00t, 1)t (u1z0z01z )nT(u)z(U210nn - - - - - 脉冲传递函数的物理意义脉冲传递函数的物理意义脉冲传递函数是单位脉冲响应

21、脉冲传递函数是单位脉冲响应g(tg(t) )经采样后的离散经采样后的离散信号信号g g*(t)(t)的的Z Z变换。变换。 - - 0kkz )kT(g)t(gZ)z(Ggkg2g1t/T系统的单位脉冲响应序列系统的单位脉冲响应序列g*(t)g30 1 2g03k44uku2u1t/T系统的的输入脉冲序列系统的的输入脉冲序列u*(t)u30 1 2u03k任意输入时系统输出与单位任意输入时系统输出与单位脉冲响应的关系脉冲响应的关系t/Ty*(t)0 1 2 3k根据叠加原理可知：根据叠加原理可知：对于由对于由多个脉冲构成的输入脉冲序多个脉冲构成的输入脉冲序列，系统输出为各个脉冲响列，系统输出为

22、各个脉冲响应的叠加；应的叠加；gkg2g1t/T系统的单位脉冲响应序列系统的单位脉冲响应序列g*(t)g30 1 2g03k任意输入时的响应任意输入时的响应 y(k) 与单位脉冲响应序列的关系：与单位脉冲响应序列的关系： 对于一个任意对于一个任意幅值的脉冲输入，系统输出幅值的脉冲输入，系统输出为单位幅值脉冲响应为单位幅值脉冲响应该脉该脉冲输入的幅值。冲输入的幅值。45，则则有有设设)kT(y)k(y),kT(u)k(u),kT(ggk gkg2g1t/T系统的单位脉冲响应序列系统的单位脉冲响应序列g*(t)g30 1 2g03k - - - - - k0iik011kk012010)i(ug)

23、k(ug)1k(ug)1(ug)0(ug)k(y),2(ug)1(ug)0(ug)2(y),1(ug)0(ug)1(y),0(ug)0(y uku2u1t/T系统的的输入脉冲序列系统的的输入脉冲序列u*(t)u30 1 2u03k)k(uuk 图图中中46 - - - - - - - - - - - - - - - - kk0iik201210100kk0kkk0kk0kk0kkkz)k( y)i (ugz)2( y)2(ug)1(ug)0(ugz)1( y)1(ug)0(ug)0( y)0(ugz )k(uzg)z(U)z(G)z(Yz )k(u)z(U,z )k( y)z(Y,zg)z(G

24、与前面的结果完全一致！与前面的结果完全一致！根据脉冲传递函数的定义求输出根据脉冲传递函数的定义求输出y(k)：U(z)G (z)Y(z)472、采样系统的开环脉冲传递函数、采样系统的开环脉冲传递函数（1 1）两个串联环节之间有采样开关隔开）两个串联环节之间有采样开关隔开)z(G)z(G)z(V)z(Y)z(U)z(V)z(U)z(Y21 该结论可推广到该结论可推广到n n个环节串联，各相邻环个环节串联，各相邻环节之间都有采样开关隔开的情况。节之间都有采样开关隔开的情况。u(t)TG1(s)u*(t)Tv*(t)z(G1G2(s)Ty*(t)z(G248T2121ezz)z(V)z(Y)z(G,

25、1zz)z(U)z(V)z(G1s1)s(G,s1)s(G- - - - - 则有则有，例：已知例：已知T21ezz1zz)z(G)z(G)z(U)z(Y- - - - - u(t)TG1(s)u*(t)Tv*(t)z(G1G2(s)Ty*(t)z(G249（2 2）两个串联环节之间无采样开关隔开）两个串联环节之间无采样开关隔开)z(GG)z(U)z(Y21 该结论可推广到该结论可推广到n n个环节直接串联的情况。个环节直接串联的情况。u(t)TG1(s)u*(t)G2(s)Ty*(t) )s(G)s(G)z(GG2121Z 式中式中501s1s1)1s( s1)s(G)s(G1s1)s(G,

26、s1)s(G2121 - - 则有则有，例：已知例：已知)ez)(1z()e1( zezz1zz)z(GG)z(U)z(YTTT21- - - - - - - - - - - u(t)TG1(s)u*(t)G2(s)Ty*(t)ez)(1z(z)z(G)z(G)z(GGT22121- - - - 显然显然51有零阶保持器的开环脉冲传递函数有零阶保持器的开环脉冲传递函数se1)s(GTsh- - - - - - - - - -)s(Gs1)z1()s(Gse1)z(GG)z(G010Ts0hZZ u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)零阶保持器零阶保持器)z(G很有用！很有用！52

27、1s1)s(G0 例：已知例：已知TT01eze1)s(Gs1)z1()z(GZ- - - - - - - - u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)零阶保持器零阶保持器)z(G)ez)(1z()e1( z)1s( s1)s(Gs1TT0ZZ- - - - - - 则则53附：有无保持器的区别（可不讲）附：有无保持器的区别（可不讲）（1）没有保持器的情况）没有保持器的情况为为单单位位幅幅值值脉脉冲冲信信号号例例：已已知知)t (u,1s1)s(G ,2, 1,0k,e)k( yezz)z(GkTT - - - - -则则与与上上面面结结果果一一致致。时时，非非单单位位幅幅值值脉脉

28、冲冲得得到到的的、而而该该结结论论实实际际上上是是针针对对,e)t (y)t ()t (u)t ()t (ut- - u(t)Tu*(t)G(s)Ty*(t)z(Gy(t) - - 0stdte )t (u)s(U0)t (u 其其拉拉氏氏变变换换为为时时，为为单单位位幅幅值值脉脉冲冲信信号号且且10t )t (u 这这才才是是实实际际情情况况。kTte)k(y,e)t (y- - - 54（2）有零阶保持器的情况）有零阶保持器的情况u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)z(Guh(t)y(t)由于零阶保持器实际的传递函数为由于零阶保持器实际的传递函数为se1)s(U)s(U)s

29、(GTshh - - - - 其分母中含有的其分母中含有的与与U U*(s)(s)的的抵消后等价于理想脉冲通抵消后等价于理想脉冲通过没有过没有的零阶保持器，所以符合实际情况，在分析中的零阶保持器，所以符合实际情况，在分析中不必再考虑不必再考虑的影响。的影响。0 01 1T T)t (uh0 01 1)t (u 该结论可以推广到采用其他保持器、以及有保持器该结论可以推广到采用其他保持器、以及有保持器的反馈控制系统的反馈控制系统55为为单单位位幅幅值值脉脉冲冲信信号号例例：已已知知)t (u,1s1)s(G0 )1k(1e1)e1()k(y)Tt (1e1)e1()t (y)T)1k(kT)Tt(

30、t- - - - - - - - - - - - - - - - -,2, 1k,e )e1()k( y,0)0( yT)1k(T - - - - - - 0 01 1T T)t (uh等价于等价于G0的的输入如右图输入如右图se11s1)s(YT- - - 换换进进行行计计算算实实际际响响应应可可根根据据拉拉氏氏变变u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)z(Guh(t)y(t)560)0(y0k,2,1k)1k(1e )e1()k(yezz )e1(zeze1)z(GT)1k(TTT1TT - - - - - - - - - - - - - - - - - -，有有上上式式对对

31、于于，变变换换求求则则有有另另一一方方面面，直直接接根根据据 Z与前面实际情况的结果一致！与前面实际情况的结果一致！u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)z(Guh(t)y(t)“附附”结束结束57s2 . 0T,1s1)s(G0 取取已知已知例：例：11TTz8187. 01z1813. 0eze1)z(G- - - - - - - - - 则则u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)零阶保持器零阶保持器)z(G脉冲传递函数与差分方程脉冲传递函数与差分方程)z(Uz1813. 0)z(Y)z8187. 01(11- - - - -)1k(u1813. 0)1k(y8

32、187. 0)k(y)1k(u1813. 0)1k(y8187. 0)k(y- - - - - - - - -或或差差分分方方程程为为 U(z)G (z)Y(z)58差分的定义及差分方程的阶次差分的定义及差分方程的阶次 )3k(y)2k(y4)1k(y3)k(y)1k(y)k(y)k(y)2k(y)1k(y2)k(y)2k(y)1k(y)1k(y)k(y)1k(y)k(y)k(y)1k(y)k(y)k(y2232- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 二二阶阶差差分分：二二阶阶差差分分：一一阶阶差差分分：包含相邻包

33、含相邻2个采样时刻值个采样时刻值包含相邻包含相邻3个采样时刻值个采样时刻值包含相邻包含相邻4个采样时刻值个采样时刻值若输入输出方程的输出信号包含相邻若输入输出方程的输出信号包含相邻n+1个采样个采样时刻值，则称该方程为时刻值，则称该方程为n阶差分方程。阶差分方程。59差分方程的计算：差分方程的计算：？根根据据差差分分方方程程计计算算输输出出系系统统初初始始值值为为零零，如如何何，设设)k(y)kT(1)k(u)k(ub)1k(ya)k(y - - b)1a()1(ub)0(ya)1(yb)0(ub)1(ya)0(y - - ba1a1b)1aaa()k(yb)1aaaa()4(ub)3(ya)

34、4(yb)1aaa()3(ub)2(ya)3(yb)1aa()2(ub)1(ya)2(y1k1kk234232- - - - - 迭代法迭代法计算机作为控制计算机作为控制器，执行时按差器，执行时按差分方程进行迭代分方程进行迭代计算。计算。迭代法一般难以确定通项表达式迭代法一般难以确定通项表达式60 Z变换法变换法)z(bU)az1)(z(Y)kT(1)k(u)k(ub)1k(ya)k(y1 - - - - - -，2,1,0k)a1(a1b)k(y1k - - - )azaz1zz(a1b1zzazbz)z(Uaz1b)z(Y1- - - - - - - - - - - - - Z变换法只能用

35、于变换法只能用于U(z)确定时，确定时，迭代法则适用于任意的迭代法则适用于任意的u(k)61零初始值的含义及差分方程的零初始值的含义及差分方程的Z变换：变换：,2,1,0k)k(ub)k(ya)1k(ya)2k(ya)3k(y)3k(ub)3k(ya)2k(ya)1k(ya)k(y012012 - - - - - - - - - - - - - - 也也可可写写为为）（有有惯惯性性和和时时滞滞的的系系统统例例如如对对于于三三阶阶差差分分方方程程差差分分均均为为零零。输输入入和和输输出出相相应应的的各各阶阶态态，用用前前，系系统统处处于于静静止止状状初初始始值值为为零零指指输输入入起起作作0)2

36、(y)1(y)0(y 差差分分方方程程直直接接得得到到实实际际上上也也可可根根据据第第一一个个对上述两个差分方程进行对上述两个差分方程进行Z变换的效果是一样的变换的效果是一样的（后向差分，（后向差分，Z变换利用延迟定理）变换利用延迟定理）（前向差分，（前向差分，Z变换利用变换利用超前超前定理）定理）3,2,1i),z(Yzz )n(yz)z(Yz)ik(yZi1i0nnii - - - - - -62U(z)G (z)Y(z)3z2z5z3z21z5)z(U)z(Y)z(G2212 - - - - - - - -)z(Uz5)z(Yz3)z(Yz2)z(YZ221- - - - - - 变变换

37、换有有行行解解：对对差差分分方方程程两两端端进进。求求系系统统的的脉脉冲冲传传递递函函数数差差分分方方程程为为出出例例：已已知知系系统统的的输输入入输输 )2k(u5)2k(y3)1k(y2)k(y- - - - - - -)k(u5)k(y3)1k(y2)2k(y - - 差差分分方方程程改改写写为为或或：将将输输入入输输出出)z(U5)z(Y3)z(zY2)z(YzZ2 - - 变变换换有有进进行行同上同上)z(Gu(k)系统系统y(k)（利用延迟定理）（利用延迟定理）（利用（利用超前超前定理）定理）63零初始值的含义及差分方程的零初始值的含义及差分方程的Z变换（续）：变换（续）：,2,1

38、,0k)1k(u3)k(u2)2k(y5)1k(y4)k(y - - - - - - 二二阶阶系系统统例例：没没有有惯惯性性和和时时滞滞的的（Z变换利用延迟定理）变换利用延迟定理）)z(Uz3)z(U2)z(Yz5)z(Yz4)z(YZ121- - - - 变变换换可可得得对对差差分分方方程程两两端端进进行行5z4z)3z2( zz5z41z32)z(U)z(Y2211 - - - -64)1k(u3)2k(u2)k(y5)1k(y4)2k(y 写写为为前前向向差差分分形形式式上上述述后后向向差差分分方方程程也也可可（Z变换利用变换利用超前超前定理）定理）)0(uz)z(zU3)1(uz)0(

39、uz)z(Uz2)z(Y5)0(yz)z(zY4)1(yz)0(yz)z(YzZ2222- - - - - - - - - - 变变换换有有对对该该差差分分方方程程进进行行不不考考虑虑初初值值。等等价价于于运运用用超超前前定定理理时时)z(zU3)z(Uz2)z(Y5)z(zY4)z(Yz)0(u3)1(u2)0(y4)1(y),0(u2)0(y22 该结论可推广到一般情况该结论可推广到一般情况65由输入输出差分方程求状态空间表达式：由输入输出差分方程求状态空间表达式：)2k(u5)2k(y3)1k(y2)k(y- - - - - - -差差分分方方程程为为出出例例：已已知知系系统统的的输输入

40、入输输)k(u5)k(y3)1k(y2)2k(y - - 将将差差分分方方程程改改写写为为 - - )k(x)k(x01)k(y)k(u50)k(x)k(x2310)1k(x)1k(x212121)k(x)1k(x21 )k(x)k(y1 )k(x1)k(x2)1k(x2 )k(Cx)k(y)k(Bu)k(Ax)1k(x 即即有高阶差分有高阶差分 项时如何求？项时如何求？不唯一不唯一u(k)系统系统y(k)66由由 脉冲传递函数求状态空间表达式：脉冲传递函数求状态空间表达式：)z(a)z(b6z5z2z4z3z2)z(U)z(Y)z(G232 - - 例例：)z(H)z(b)z(U)z(a)z

41、(b)z(Y1 - - 则则)z(U)z(H)z(a )k(u)k(h6)1k(h5)2k(h2)3k(h - - )k(x2)1k(x3 )k(x1)k(x3引入中间引入中间变量变量 h(k)k(h4)1k(h3)2k(h2)k(y )k(x)1k(x21 )k(x)1k(x32 初值为零初值为零)k(x4)k(x3)k(x2123 不唯一不唯一67可控规范形，可直接可控规范形，可直接由传递函数或差分方由传递函数或差分方程写出程写出 - - - )k(x)k(x)k(x234)k(y)k(u100)k(x)k(x)k(x256100010)1k(x)1k(x)1k(x321321321所以状

42、态空间模型为所以状态空间模型为6s5z2z4z3z2)z(U)z(Y)z(G232 - - )k(Cx)k(y )k(Bu)k(Ax)1k(x )k(u4)1k(u3)2k(u2)k(y6)1k(y5)2k(y2)3k(y - - 68）（前馈矩阵前馈矩阵）（输出矩阵输出矩阵）（控制矩阵控制矩阵）（系统（状态）矩阵系统（状态）矩阵个状态变量，则有个状态变量，则有个输出，个输出，个输入，个输入，设系统有设系统有pq nq pn nn D:C:B:A:)k(Du)k(Cx)k(y)k(Bu)k(Ax)1k(xnqp线性离散系统状态空间表达式的一般形式线性离散系统状态空间表达式的一般形式u(k)系统

43、系统y(k)69由状态空间表达式求脉冲传递函数：由状态空间表达式求脉冲传递函数：唯一唯一u(k)系统系统y(k)z(G)z(U)z(YDB)AzI(C)z(G1 - - - -变换可得变换可得进行进行对状态空间表达式对状态空间表达式Z)k(Du)k(Cx)k(y)k(Bu)k(Ax)1k(x 70（1 1）有一个采样开关的闭环系统）有一个采样开关的闭环系统)z(GH1)z(G)z(R)z(Y TG(s)H(s)s(R)s(E)s(E )s(Y3、闭环脉冲传递函数、闭环脉冲传递函数0)z(GH1)z(GH1 特特征征方方程程为为特特征征式式为为为为开开环环传传递递函函数数；)z(GH?)z(E

44、71附：闭环脉冲传递函数的推导附：闭环脉冲传递函数的推导TG(s)H(s)s(R)s(E)s(E )s(Y)z(E)z(G)z(Y)z(E)z(GH)z(R)z(E - - )z(R)z(GH1)z(G)z(E)z(G)z(Y)z(GH1)z(R)z(E 721s1)s(H,s1)s(G 例：已知例：已知)ez)(1z()e1( z)z(GH1zz)z(GTT- - - - - - - - ，则有则有TT2TTeze2zz)e1( z)ez)(1z(z)z(GH1)z(G)z(R)z(Y- - - - - - - - - - - - TG(s)H(s)s(R)s(E)s(E )s(Y73（2

45、2）有数字控制装置的采样系统）有数字控制装置的采样系统)z(D)z(GH1)z(D)z(G)z(R)z(Y D*(s)TG(s)TH(s)s(R)s(E)s(E )s(Y)s(U )s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G0h0h 构成，即构成，即和受控对象和受控对象一般由零阶保持器一般由零阶保持器：特特征征方方程程：特特征征式式：开开环环传传递递函函数数；0)z(D)z(GH1)z(D)z(GH)z(D1)z(D)z(GH 思考：计算过程有何规律？思考：计算过程有何规律？74附：闭环脉冲传递函数的推导附：闭环脉冲传递函数的推导)z(E)z(D)z(G)z(Y)z(E)z(D)z(GH)

46、z(R)z(E - - )z(R)z(D)z(GH1)z(D)z(G)z(E)z(D)z(G)z(Y)z(D)z(GH1)z(R)z(E D*(s)TG(s)TH(s)s(R)s(E)s(E )s(Y)s(U 75（3 3）有扰动作用的采样控制系统）有扰动作用的采样控制系统D*(s)TG1(s)TH(s)s(R)s(E)s(E )s(N)s(U G2(s)s(Y)z(D)z(HGG1)z(NHG)z(D)z(GG)z(NG)z(D)z(HGG)z(NG)z(R)z(D)z(HGG1)z(D)z(GG)z(Y2122122122121 - - )z(D)z(HGG1)z(NHG)z(R)z(D)

47、z(HGG11)z(E21221 - - )z(E1)z(Y176附：扰动作用部分附：扰动作用部分 E1(z) 和和 Y1(z) 的推导的推导)z(E)z(D)z(GG)z(NG)z(Y)z(E)z(D)z(GHG)z(NHG)z(E1212112121 - - - )z(D)z(GHG1)z(NHG)z(D)z(GG)z(D)z(GHG1)z(NG)z(Y)z(D)z(GHG1)z(NHG)z(E2122121212121 - - - - D*(s)TG1(s)TH(s)s(R)s(E)s(E )s(N)s(U G2(s)s(Y)z(NGH2分分子子简简化化为为为为比比例例环环节节时时，77

48、)z(D)z(GGK1)z(NG)z(D)z(GGK1)z(NG)z(D)z(GG)z(NG)z(D)z(GGK)z(NG)z(D)z(GHG1)z(NHG)z(D)z(GG)z(D)z(GHG1)z(NG)z(YKH21f221f221221f2212212121f - - - - ，则则有有设设常见情况：反馈环节为比例环节常见情况：反馈环节为比例环节D*(s)TG1(s)TH(s)s(R)s(E)s(E )s(N)s(U G2(s)s(Y78D*(s)TGh(s)TH(s)s(R)s(E)s(E )s(N)s(U G2(s)s(Y。求求对对应应的的输输入入作作用用下下的的，并并或或取取何何

49、值值时时，闭闭环环极极点点为为）采采样样周周期期同同上上，（；下下的的作作用用，分分别别求求输输入入和和扰扰动动，）设设采采样样周周期期（；）求求（例例：已已知知)k(y11K)k(y1K2 . 0T)z(Y,s5 . 0)s(N,s1)s(R,K)z(D,1)s(H,1s1)s(G,se1)s(G2Th 3 21 - - - - - -791zz)e1(Kez)e1)(5 . 0K()e1(Kez)1z/()e1( z5 . 01zz)e1(Kez)e1(K)z(HGG)z(D1)z(NG)z(R)z(HGG)z(D1)z(GG)z(D)z(YTTTTTTTTT2h22h2h- - - -

50、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - )ez)(1z()e1( z5 . 0)z(NG,eze1)z(HGG)z(GGTT2TT2h2h- - - - - - - - - - - 1）（解：解：D*(s)TGh(s)TH(s)s(R)s(E)s(E )s(N)s(U G2(s)s(Y)z(Y求求806374. 0zz5 . 01zz5 . 01zz6374. 0z1813. 01zz)e1(Kez)e1(K)z(Y1K,2 . 0TTTT- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2时，输入响应为