格林公式积分与路径无关的条件课件.ppt

1、第三节一、格林公式一、格林公式 二、积分与路径无关的条件二、积分与路径无关的条件格林公式及其应用 第十一章 三、原函数三、原函数四、全微分方程四、全微分方程LD区域区域 D 分类分类单单连通区域连通区域 ( 无无“洞洞”区区域域 )多多连通区域连通区域 ( 有有“洞洞”区区域域 )定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑曲线是由分段光滑曲线 L 围成围成,则有则有, ),(yxP),(yxQDLQPxyPxQyxydddd ( Green公式公式 )函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,DLxyxyPxQyPQdddd 或或一、一、 格林公式格林公式证明证明: 1)

2、凸的单连通域凸的单连通域bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21则则yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD即即yxxQDdd同理可证同理可证yxyPDdd、两式相加得、两式相加得:LQ x yy( , )d LP x yx( , )d DLQPxyPxQyxydddd xyoDxyoD2) 若若D不满足以上条件不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域为有限个上述形式的区域

3、 , 如图如图L1L2复连通区域复连通区域: DQPxyPxQyPxQyxyLL21dddddd 外边界取逆时针方向外边界取逆时针方向, 内边界取顺时针方向内边界取顺时针方向.建立了平面域建立了平面域D上的二重积分与上的二重积分与D的边界线上的边界线上第二类曲线积分之间的联系第二类曲线积分之间的联系格林公式格林公式 注意三点：注意三点： (1) 封闭的边界曲线封闭的边界曲线 (2) 方向方向 (3) 有连续偏导数有连续偏导数 DQPxyPxQyPxQyxyLL21dddddd 推论推论: 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面积的面积LxyyxAdd21格林公式格林公式例如例如,

4、 椭圆椭圆20,sincos:byaxL所围面积所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab DLQPxyPxQyxydddd Lxy dyxy dx1(3)(), 例例计计算算其其中中逆逆时时针针方方向向为为圆圆周周,9)4()1(22 yxL解一解一的的参参数数方方程程为为L 20,sin34,cos31 ttytx Ldxyxdyyx)()3(ttttsincos18cos27cos21(220 dttt)sin9sin92 202218)sin9cos27(dtttP x yyx( , ), Q x yxy( , )3 Ldxyxdyyx)()3( Ddxdy

5、xyyyxx)()3( Ddxdy2 18 解二解二Lxy dyxy dx1(3)(), 例例计计算算其其中中逆逆时时针针方方向向为为圆圆周周,9)4()1(22 yxLP、Q在在L所围区域所围区域D内有连续的一阶偏导数内有连续的一阶偏导数,由由Green公式得公式得例例2. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx从从 z 轴正向看去为顺时针方向轴正向看去为顺时针方向.ozyx解二解二: 记记 在在xoy面的投影曲线面的投影曲线L,Dxyxy dxdyxy(322)(22) 2其包围区域为其包围区域为D.x dxxydy(2)(22)由由z=2+y- -x,得得LI

6、 xy dydx()()L xy dxxydy(22)(322)Ddxdy2 LyxOA3sin(0 0)(,0) 例例设设 为为曲曲线线由由点点， 到到点点 Lxxdyxyedxxyye)cos()2sin(xyoALD解解xxLeyxy dxeyx dy(sin2)(cos) 不封闭不封闭加辅助线加辅助线OA. Ddxdyx)21( xdyxdxsin00)21( Dxxyex)cos(dxdyxyyeyx)2sin( 的一段的一段, 求求L AOOA +0 0sin)21(xdxx 0sin)21(xdxx 00cos2cos)21(xdxxx)1(2 Lxy dxxy dyIxy22(

7、)() 其中其中L为为不包围也不通过原点的任意闭曲线不包围也不通过原点的任意闭曲线以原点为中心的正向单位圆周以原点为中心的正向单位圆周包围原点的任意正向闭曲线包围原点的任意正向闭曲线例例4 4 计算计算Lxy dxxy dyIxy22()() 其中其中L为为 不包围不通过原点不包围不通过原点以原点为中心的正向单位圆周以原点为中心的正向单位圆周解解 22222)(2yxxyyxyPxQ L包围的区域不含原点包围的区域不含原点, ,满足满足Green公式的条件公式的条件.除原点外除原点外, 有有 由由Green公式得公式得LPdxQdy0 ,sin,costytx 20 tLIxy dxxy dy

8、()() 圆的参数方程为圆的参数方程为tttttt dt20(cossin )( sin )(sincos )(cos ) 2 LlD DQPPdxQdyPdxQdydxdyxy1()lIPdxQdy 2 在所为区域在所为区域D内作小圆内作小圆,:222ryxl取逆时针方向取逆时针方向, 对区域对区域应用格林公式应用格林公式 , 得得记记 l 所围的区域为所围的区域为1DD D1=0lxy dxxy dyr12()() Dyxxy dxdyrxy112()() Ddxdyr122 Lxy dxxy dyIxy22()() 包围原点的任意正向闭曲线包围原点的任意正向闭曲线Lrlyxo1DLLPx

9、QyPxQy12dddd以及在以及在D 内内任意任意两条从两条从A 到到B 的有向分段的有向分段21, LL光滑曲线光滑曲线 , 都有都有设设P(x,y)和和Q(x,y)定义在区域定义在区域D上上, ,如果对于如果对于D内任意给定内任意给定的两点的两点A和和B, ,D A B1L2L二、积分与路径无关的条件二、积分与路径无关的条件LPdxQdy 则称曲线积分则称曲线积分在区域在区域D内内与路径无关与路径无关.定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,),(),(yxQyxP在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有.0d

10、dLyQxP(2)(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyPLyQxPdd在在D内内与路径无关与路径无关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设设21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxPLPxQy2dd 21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段

11、光滑曲线线, 则则(根据条件根据条件(1)BAyQxPddAByQxPdd证明证明 (2) (3)在在D内取定点内取定点),(00yxA因曲线积分因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证同理可证yu),(yxQ因此有因此有yQxPuddd和任一点和任一点B( x, y ),与路径无关与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数有函数 证明证明 (3) (4)设存在函数设存在函数 u (

12、x , y ) 使得使得yQxPuddd则则),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在在 D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,xyuyxu22所以从而在从而在D内每一点都有内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,证明证明 (4) (1)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,DD (如图如图) ,上因此在DxQyP利用利用格林公式格林公式 , 得得DDL0所围区域为所围区域为证毕证毕DLQPPxQydxyxydd()d 定理的说明：定理的说明：两条件缺一不可两条件缺一不可当积分与路径无关时当积分与路径无关时, 积分路径积分路径可以自由选择可以自由选择.一般取由起点到

13、终点的一般取由起点到终点的折线折线: 线段分别平行于线段分别平行于 x,y 轴轴.例例 计算计算 Ldyyxdxxyx)()2(422. 其中其中 L 为由点为由点)0, 0(O到点到点)1, 1(B的曲线弧的曲线弧2sinxy . 解解xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 .1523 1 AB(1,1)oxyOAAB原式原式 101042)1(dyydxxLydxxdyILxy22, 例例 计计算算其其中中 如如图图xyLBA解解QxyPxxyy2222 2() LydxxdyIxy122 tt dt2222(cossin ) 2L1L11除原点外除原点外,有有如图所示如图所示,

14、 取圆弧取圆弧L1:曲线积分在不包含原点的单连通区域内与路径无关曲线积分在不包含原点的单连通区域内与路径无关xt ytcos ,sint22 32 注意注意:LydxxdyIxy222 例例 设曲线积分设曲线积分 Ldyxydxxy)(2与路径无关与路径无关, 其中其中 具有连续的导数具有连续的导数, 且且0)0( , 计算计算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy. 解解即即.21 xxc2( ) PQyx xx2( ) 故故xx( )2 xy dxyx dy(1,1)22(0,0) ydy10 (沿折线沿折线)三三 原函数原函数yPxQ若在区域若在区域 D 内满足内满足则存在函数

15、则存在函数u x y( , ),yQxPyxudd),(d其全微分为其全微分为称这一判别法则为全微分准则称这一判别法则为全微分准则.称函数称函数u x y( , )PxQydd 为为的一个原函数的一个原函数.),(0yxB),(0yxAxyo),(000yxM),(yxMx yxyu x yPdxQdy00(,)(,)( ,) xyxyP x y dxQ x y dy000( ,)( , )yxyxQ xy dyP x y dx000(, )( , )PxQydd 的全体原函数为的全体原函数为u x yC( , ) C为任意常数为任意常数.xyxyPdxQdy1100(,)(,) PxQydd

16、 的任一个原函数的任一个原函数v x y( , )是是v xyv xy1100(,)(,)xyxyv x y(,)11(,)00( , ) xyxydv1100(,)(,) xPQxy eyyx4sin, 解解 由由dyyeyxdxxyyexx)sin2()2cos(22 例例9 验证验证是全微分是全微分,并求出原函数并求出原函数知为全微分知为全微分. ),()0,0(2)2cos(),(yxxdxxyyeyxudyyeyxx)sin2(2 xxdxe0 yxdyyeyx02)sin2(yxxxyeyxe0220)cos( 1cos22 yeyxx全体原函数为全体原函数为xx yeyC22co

17、sxueyxyx2cos2 xu x yeyx yy22( , )cos( ) xux yeyy22sin y( )0 xu x yeyx yC22( , )cos xux yeyyy2(2sin )( ) 解法解法2 不定积分法不定积分法由由而由题设而由题设故得故得yC( ) dyyeyxdxxyyexx)sin2()2cos(22 dyyeyxdxxyyexx)sin2()2cos(22 )22()sincos(22ydyxdxxyydyeydxexx )()cos(22yxdyedx )cos(22yxyedx xu x yeyx yC22( , )cos 解法解法3 凑全微分法凑全微分

18、法知知dyyeyxdxxyyexx)sin2()2cos(22 xAxy xyixxyju x yu x y4224202()()( ,)( ,). 确确定定常常数数 ，使使在在右右半半平平面面上上的的向向量量 为为某某二二元元函函数数的的梯梯度度，并并求求 )(,)(224224yxxQyxxyP 解解：uuuxygrad, QP， yPxQ 1 x yxydxx dyu x yCxy2( , )42(1,0)2( , ) xyxdxx dyCxxy24421020 例例10得得x xy424 () (1)0 ( x0 )即即yCx2arctan. 判别判别: P, Q 在某单连通域在某单连

19、通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,xQyPDyx),( 为全微分方程为全微分方程 则则求解步骤求解步骤:1. 求原函数求原函数 u (x, y)2. 由由 d u = 0 知通解为知通解为 u (x, y) = C .四、全微分方程四、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称则称0d),(d),(yyxQxyxP为为全微分方程全微分方程 ( 又叫做又叫做恰当方程恰当方程 ) .),(yxyxo例例11. 求解求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因为因为yP236yyx ,xQ故这是全微分方程故这是全微分方程. ,

20、 0, 000yx取则有则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解为因此方程的通解为Cyyxyxx332253123)0 ,(x内容小结内容小结1. 格林公式格林公式2. 积分与路径无关的等价条件积分与路径无关的等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.yPxQ在在 D 内有内有yQxPudddLyQxPdd对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有0ddLyQxP在在 D 内有内有设设 P, Q 在在 单连通域单连通域D 内具有连续偏导数内具有连续偏导数, 则有则有(存在原函数存在原函数)PxQydd0是全微分方程是全微分方程平面上第二类曲线积分的计算方法平面上第二类曲线积分的计算方法(1) 参数式计算参数式计算(2) 格林公式法格林公式法 (加减弧段加减弧段, 挖洞挖洞)(3) 路径无关换路法路径无关换路法 (折线折线)(4) 原函数法原函数法第二类曲线积分第二类曲线积分慎用慎用对称性对称性.原函数的求法原函数的求法, 全微分方程的求解全微分方程的求解