2022年新高考1卷数学试题及答案(定稿).doc

1、按秘密级事项管理2022年普通高等学校招生全国统一考试数 学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合Mx|4，Nx|3x1，则MNAx|0x2Bx|x2Cx|3x16Dx|x162若i(1z)1，则zA2B1C1D23在ABC中，点D在边AB上，BD2D

2、A，记m，n，则A3m2nB2m3nC3m2nD2m3n4南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0k：水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0k将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(2.65)A1.0B1.2C1.4D1.65从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为ABCD6记函数f (x)sin(x)b(0)的最小正周期为T若T，且yf (x)的图像关于点(，2)中心对称，则f ()A1BCD37设

3、a0.1，b，cln0.9，则AabcBcbaCcabDacb8已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上若该球的体积为36，且3l3，则该正四棱锥体积的取值范围是A18，B，C，D18，27二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知正方体ABCD，则A直线B与D所成的角为90B直线B与C所成的角为90C直线B与平面BD所成的角为45D直线B与平与ABCD所成的角为10已知函数f (x)x1，则Af (x)有两个极值点Bf (x)有三个零点C点(0，1)是曲线yf (x)的对称中心D直

4、线y2x是曲线yf (x)的切线11已知O为坐标原点，点A(1，1)任抛物线C：2py(p0)上，过点A(0，1)的直线交C于P，Q两点，则AC的准线为y1B直线AB与C柤切C|OP|OQ|D|BP|BQ|12已知函数f (x)及其导函数f (x)的定义域均为R，记g (x)f (x)若f (2x)，g (2x)均为偶函数，则Af (0)0Bg ()0Cf (1)f (4)Dg (1)g (2)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13(1)的展开式中的系数为_（用数字作答）14写出与圆1和16都相切的一条直线的方程_15若曲线y(xa)有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_16

5、已知椭圆C：1(ab0)，C的上顶点为A，两个焦点为，离心率为过且垂直于A的直线与C交于D，E两点，|DE|6，则ADE的周长是_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）记为数列的前n项和，已知1，是公差为的等差数列（1）求的通项公式：（2）证明：218（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若C，求B；（2）求的最小值19（12分）如图，直三梭柱ABC，的体积为4，BC的面积为2（1）求A到平面BC的距离；（2）设D为C的中点，AAB，平面BC平面AB，求二面角ABDC的正弦值20（12分）一医疗团队为研究某地的一

6、种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）,同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组）得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与该疾病群体的卫生习惯有差异?（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习楐不为良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为（i）证明：；（ii）利用该调下数据，给出，的估计值，并利用（i）的结果给出的估计值P(K2k)0.0500.0100.

7、001k3.8416.63510.828附：K2，21（12分）已知点A(2，1)在双曲线圆C：1(a1)，上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0（1）求l的斜率；（2）若tanPAQ2，求PAQ的面积22（12分）已知函数f (x)ax和g (x)axlnx有相同的最小值（1）求a；（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线yf (x)和yg (x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列参考答案：1D【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：D2D【解析】【分析】利用复数的除法可求，从而可求.【详解】由题设有，故，故，故选：D3B【解析】【分析】

8、根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出【详解】因为点D在边AB上，所以，即，所以故选：B4C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积棱台上底面积，下底面积，故选：C5D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：，共7种，故所求概率.故选：D.6A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于

9、点对称，所以，且，所以，所以，所以.故选：A7C【解析】【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】设，因为，当时，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，又，所以当时，所以当时，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.8C【解析】【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】 球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，当时，所以当时，正四棱锥的体积取

10、最大值，最大值为，又时，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.9ABD【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则，因为，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD10AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A，结

11、合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，令得或，令得，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以是极值点，故A正确；因，所以，函数在上有一个零点，当时，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.11BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点的代入抛物线方程

12、得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，联立，得，所以，所以或，又，所以，故C正确；因为，所以，而，故D正确.故选：BCD12BC【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为，均为偶函数，所以即，所以，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故

13、A错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.13-28【解析】【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-2814或或【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，由题意，解得，当切线为n时

14、，易知切线方程为，故答案为：或或.15【解析】【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,切线过原点，,整理得：,切线有两条，,解得或,的取值范围是,故答案为：1613【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【详解】椭圆的离心率为，椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右

15、焦点为，如图所示，为正三角形，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式， ， 得， 为线段的垂直平分线，根据对称性，的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.17(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.(1)，,又是公差为的等差数列，,当时，,整理得：,即,，显然对于也成立，的通项公式；(2) 18(1)；(2)【

16、解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；（2）由（1）知，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出(1)因为，即，而，所以；(2)由（1）知，所以，而，所以，即有所以当且仅当时取等号，所以的最小值为19(1)(2)【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.(1)在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；(2)取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平

17、面可得，又平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得，所以，所以，则,所以的中点，则，,设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，所以二面角的正弦值为.20(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；(ii)；【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.(1)由已知，又，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)(i

18、)因为，所以所以，(ii) 由已知，又，所以21(1)；(2)【解析】【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，再根据，即可解出l的斜率；（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可得出的面积(1)因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线易知直线l的斜率存在，设，联立可得，所以，所以由可得，即，即，所以，化简得，即，所以或，当时，直线过点，与题意不符，舍去，故(2)不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，因为，所以，即，即，解得，于是，直线

19、，直线，联立可得，因为方程有一个根为，所以，同理可得，所以，点到直线的距离，故的面积为22(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当时， 的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)的定义域为，而，若，则，此时无最小值，故.的定义域为，而.当时，故在上为减函数，当时，故在上为增函数，故.当时，故在上为减函数，当时，故在上为增函数，故.因为和有相同的

20、最小值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为.综上，.(2)由（1）可得和的最小值为.当时，考虑的解的个数、的解的个数.设，当时，当时，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，设，其中，则，故在上为增函数，故，故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.设，当时，当时，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，有两个不同的零点即的解的个数为2.当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，当时，由（1）讨论可得、均无零点，故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则.设，其中，故，设，则，故在上为增函数，故即，所以，所以在上为增函数，而，故在上有且只有一个零点，且：当时，即即，当时，即即，因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，故，此时有两个不同的零点，此时有两个不同的零点，故，所以即即，故为方程的解，同理也为方程的解又可化为即即，故为方程的解，同理也为方程的解，所以，而，故即.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.数学试题第 28 页 （共 28 页）