2022届全国新高考2卷数学试卷真题答案.docx

1、2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考2卷）数学一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A=-1,1,2,4，B=x|x-1|1，则AB=()A. -1,2B. 1,2C. 1,4D. -1,42. (2+2i)(1-2i)=()A. -2+4iB. -2-4iC. 6+2iD. 6-2i3. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，AA，BB，CC，DD是桁，DD1，CC1，BB1，AA1是脊，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的脊步的比分别为DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1B

2、A1=k3，若k1，k2，k3是公差为0.1的等差数列，直线OA的斜率为0.725，则k3=()A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.94. 已知向量a=(3,4)，b=(1,0)，c=a+tb，若=，则实数t=()A. -6B. -5C. 5D. 65. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有()A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种6. 若sin(+)+cos(+)=22cos(+4)sin，则()A. tan(+)=-1B. tan(+)=1C. tan(-)=-1D. tan(-)=17. 已知正三棱台的高为1，上下底面

3、的边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 100B. 128C. 144D. 1928. 若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则k=122f(k)=()A. -3B. -2C. 0D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知函数f(x)=sin(2x+)(00)的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则()A. 直线AB的斜率为26B. |OB|=|OF|C. |AB|4|OF|D. OAM+OBM18011. 如图，四边形ABCD为正方形，ED平

4、面ABCD，FB/ED，AB=ED=2FB，记三棱锥E-ABC，E-ACF，F-ABC的体积分别为V1，V2，V3，则()A. V3=2V2B. V3=2V1C. V3=V1+V2D. 2V3=3V112. 若实数x，y满足x2+y2-xy=1，则()A. x+y1B. x+y-2C. x2+y21D. x2+y22三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 随机变量X服从正态分布N(2,2)，若P(22.5)=14. 曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为，15. 设点A(-2,3)，B(0,a)，直线AB关于直线y=a的对称直线为l，已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)

5、2=1有公共点，则a的取值范围为16. 已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴y轴分别相交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=23，则直线l的方程为四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知an为等差数列，bn为公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4(1)证明：a1=b1;(2)求集合k|bk=am+a1,1m500中元素个数18. 记ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，且S1-S2+S3=32，sinB=13(1)求ABC的面积;(2)

6、若sinAsinC=23，求b19. 在某地区进行某种疾病调查，随机调查了100位这种疾病患者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组数据用该区间的中点值作代表)(2)估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间40,50)的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间40,50)，求此人患这种疾病的概率(精确到0.0001)20. 如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，ABAC，E是PB的中点(1)证明：OE/平面PAC;(2)若AB

7、O=CBO=30，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B正弦值21. 设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=3x.(1)求C的方程;(2)经过F的直线与C的渐近线分别交于A，B两点，点P(x1,y1)，Q(x2,y2)在C上，且x1x20，y10.过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M，从下面三个条件中选择两个条件，证明另一个条件成立：M在AB上;PQ/AB;|AM|=|BM|已知函数f(x)=xeax-ex(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)当x0时，f(x)ln(n+1)答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】 本

8、题主要考查了集合的交集运算【解答】 解： 方法一：通过解不等式可得集合 B=x|0x2 ，则 AB=1,2 ，故 B 正确 法二：代入排除法 .x=-1 代入集合 B=x|x-1|1 ，可得 |x-1|=|-1-1|=21 ， x=-1 ，不满足，排除 A 、 D;x=4 代入集合 B=x|x-1|1 ，可得 |x-1|=|4-1|=31 ， x=4 ，不满足， 排除 C ，故 B 正确 2.【答案】D【解析】【分析】 本题考查复数的四则运算，为基础题【解答】 解： (2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=2-2i+4=6-2i 3.【答案】D【解析】【分析】 本题考查等差数列、直线

9、的斜率与倾斜角的关系，比例的性质，属于中档题【解答】 解： 设 OD1=DC1=CB1=BA1=1 ，则 CC1=k1 ， BB1=k2 ， AA1=k3 由题意得 k3=k1+0.2 ， k3=k2+0.1 ， 且 DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725 ， 解得 k3=0.9 4.【答案】C【解析】【分析】 本题考查了向量的坐标运算和夹角运算，属于基础题。【解答】 解： 由已知有 c=(3+t,4) ， cos=cos ，故 9+3t+16|c|5=3+tc1 ， 解得 t=5 5.【答案】B【解析】【分析】 本题考查排列、组合的运用，属于基础题【解答】

10、解： 先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则有 A22A33C21=24 种 6.【答案】C【解析】【分析】 本题考查三角恒等变换的应用 法一：利用特殊值法，排除错误选项即可 法二，利用三角恒等变换，求出正确选项 【解答】 解： 解法一：设 =0 则 sin+cos=0 ，取 =34 ，排除 B ， D 再取 =0 则 sin+cos=2sin ，取 =4 ，排除 A; 选 C 解法二：由 sin(+)+cos(+)=2sin(+4)=2sin(+4)+ =2sin(+4)cos+2cos(+4)sin ， 故 2sin(+4)cos=2cos(+4)sin 故 sin(+4)c

11、os-cos(+4)sin=0 ，即 sin(+4-)=0 ， 故 sin(-+4)=22sin(-)+22cos(-)=0 ， 故 sin(-)=-cos(-) ，故 tan(-)=-1 7.【答案】A【解析】【分析】 本题主要考查了正三棱台和外接球的关系应用，球体表面积公式的应用【解答】 解： 由题意如图所示，上底面所在平面截球所得圆的半径是 O1A1=3 ， 下底面所在平面截球所得圆的半径是 O2A2=4 ， 则轴截面中由几何知识可得 R2-32+R2-42=1 ，解得 R2=25 ， 因此球的表面积是 S=4R2=425=100 8.【答案】A【解析】【分析】 解： 令 y=1 得 f

12、(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x)f(x+1)=f(x)-f(x-1) 故 f(x+2)=f(x+1)-f(x) ， f(x+3)=f(x+2)-f(x+1) ， 消去 f(x+2) 和 f(x+1) 得到 f(x+3)=-f(x) ，故 f(x) 周期为 6; 令 x=1 ， y=0 得 f(1)+f(1)=f(1)f(0)f(0)=2 ， f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1 ， f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2 ， f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1 ， f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1 ， f(6)=f(5)-f(4)

13、=1-(-1)=2 ， 故 k=122f(k)=3f(1)+f(2)+f(6)+f(19)+f(20)+f(21)+f(22) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3 即 k=122(k)=-3 【解答】 本题考查函数性质的应用，涉及函数的周期与赋值法的应用9.【答案】AD【解析】【分析】 解： 由题意得： f(23)=sin(43+)=0 ， 所以 43+=k ，即 =-43+k ， kZ ， 又 00) ，所以 yA=62p ，故 kAB=62P34P-P2=26 选项 B :1|AF|+1|BF|=2p134p+p2+1|BF|=2p|BF|=5

14、6p=XB+p2XB=p3 所以 yB2=2Pp3=2p23. 所以 |OB|=xB2+yB2=p29+2p23n=7p29p24 选项 C :|AB|=34p+p3+p=2512p2p=4|OF| 选项 D : 由选项 A ， B 知 A(34p,62p) ， B(p3,-63p) ，所以 OAOB=(34p,62p)(p3,-63p)=p24-p2=-34p20 ，所以 AOB 为钝角 ; 又 MAMB=(-p4,62p) (-p3,-63)=-1112p20 ，所以 AMB 为钝角， 所以 OAM+OBM2)=0.5 ，故 P(X2.5)=P(X2)-P(20 时，点 (x1,lnx1)

15、(x10) 上的切线为 y-lnx1=1x1(x-x1). 若该切线经过原点，则 lnx1-1=0 ，解得 x=e ， 此的切线方程为 y=xe 当 x0 时，点 (x2,ln(-x2)(x20) 上的切线为 y-ln-x2=1x2x-x2 若该切线经过原点，则 ln(-x2)-1=0 ，解得 x=-e ， 此时切线方程为 y=-xe 15.【答案】13,32【解析】【分析】 本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题【解答】 解：因为 kAB=a-32 ，所以 AB 关于直线 y=a 的对称直线为 (3-a)x-2y+2a=0 ，所以 3(a-3)+4+2a4+

16、3-a21 ，整理可得 6a2-11a+30, 解得 13a32 16.【答案】x+2y-22=0【解析】【分析】 本题考查了椭圆的中点弦问题，属于偏难题。 【解答】 解：取 AB 的中点为 E ，因为 |MA|=|NB| ，所以 |ME|=|NE| ，设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) 可得 y1+y2x1+x2y1-y2x1-x2=-12 ，即 kOE kAB-12. 设直线 AB:y=kx+m ， k0 ， 令 x=0 ， y=m ，令 y=0 ， x=-mk ，所以 E(-m2k,m2) ，所以 km-mk=-k2=-12 ， k=-22 ， m2+2m2=12 ， m=2 ，

17、所以直线 AB:y=-22x+2 ，即 x+2y-22=0 17.【答案】解：(1)设等差数列an公差为d由a2-b2n=a3-b3，知a1+d-2b1=a1+2d-4b1，故d=2b1曲a2-b2=b4-a4，知a1+d-2b1=8b1-(a1+3d)，故a1+d-2b1=4d-(a1+3d);故a1+d-2b1=d-a1，整理得a1=b1，得证(2)由(1)知d=2b1=2a1，由bk=am+a1知：b12k-1=a1+(m-1)d+a1即b12k-1=b1+(m-1)2b1+b1，即2k-1=2m，因为1m500，故22k-11000，解得2k10，故集合k|bk=am+a1,1m500

18、中元素的个数为9个【解析】本题考查等差、等比数列的通项公式，解指数不等式，集合中元素的个数问题，属于中档题18.【答案】解：(1)边长为a的正三角形的面积为34a2，S1-S2+S3=34(a2-b2+c2)=32，即accosB=1，由sinB=13得：cosB=223，ac=1cosB=324，故SABC=12acsinB=1232413=28(2)由正弦定理得：b2sin2B=asinAcsinC=acsinAsinC=32423=94，故b=32sinB=12【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形(1)利用余弦定理与正三角形的面积求得ac，继而利用面积公式求解(2)利用正弦定理进行变形

19、，即可求解19.【答案】解：(1)平均年龄x=(50.001+150.002+250.012+350.017+450.023+550.020+650.017+750.006+850.002)10=47.9(岁)(2)设A=一人患这种疾病的年龄在区间20,70)，则P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)10=1-0.11=0.89(3)设B=任选一人年龄位于区间40,50)，C=任选一人患这种疾病，则由条件概率公式，得P(C|B)=P(BC)P(B)=0.1%0.0231016%=0.0010.230.16=0.00143750.0014【解析】本题考查了

20、平均数，概率的求法，考查频率分布直方图、条件概率等知识20.【答案】解：(1)法一：连接OA、OB，因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO平面ABC，所以POOA，POOB，所以POA=POB=90，又PA=PB，PO=PO，所以POAPOB，所以OA=OB，作AB中点D，连接OD、DE，则有ODAB，又ABAC，所以OD/AC，又因为OD平面PAC，AC平面PAC，所以OD/平面PAC，又D、E分别为AB、PB的中点，所以，在BPA中，DE/PA又因为平面PAC，PA平面PAC，所以DE/平面PAC，又OD、DE平面ODE，ODDE=D，所以平面ODE/平面PAC，又OE平面ODE，所以O

21、E/平面PAC;法二：(1)连接OA、OB，因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO平面ABC，所以POOA，POOB，所以POA=POB=90，又PA=PB，PO=PO，所以POAPOB，所以OA=OB，又ABAC，在RtABF，O为BF中点，延长BO，交AC于F，连接PF，所以在PBF中，O、E分别为BF、PB的中点，所以EO/PF，因为EO平面PAC，PF平面PAC，所以EO/平面PAC;(2)法一：过点D作DF/OP，以DB为x轴，DO为y轴，DF为z轴建立如图所示的空间直角坐标系因为PO=3，PA=5，由(1)OA=OB=4，又ABO=CBO=30，所以OD=2，DB=23，所以P(

22、0,2,3)，B(23,0,0)，A(-23,0,0)，E(3,1,32)，设AC=a，则C(-23,a,0)，平面AEB的法向量设为n1=(x1,y1,z1)，直线AB的方向向量可设为a=(1,0,0)，直线DP平面AEB，直线DP的方向向量为b=(0,2,3)an1=0bn1=0，所以x1=02y1+3z1=0,所以x1=0，设y1=3，则z1=-2，所以n1=(0,3,-2);平面AEC的法向量设为n2=(x2,y2,z2)，AC=(0,a,0)，AE=(33,1,32)ACn2=0AEn2=0，所以ay2=033x2+y2+32z2=0，所以y2=0，设x2=3，则z2=-6，所以n=

23、(3,0,-6);所以cos=n1n2|n1|n2|=121339=12133=4313，二面角C-AE-B的平面角为，则sin=1-cos2=1113，所以二面角C-AE-B的正弦值为1113法二：(2)过点A作AF/OP，以AB为x轴，AC为y轴，AF为z轴建立所示的空间直角坐标系因为PO=3，PA=5，由(1)OA=OB=4，又ABO=CBO=30，所以，AB=43，所以P(23,2,3)，B(43,0,0)，A(0,0,0)，E(33,1,32)，设AC=a，则C(0,a,0)，平面AEB的法向量设为n1=(x1,y1,z1)，AB=(43,0,0)，AE=(33,1,32)ABn1=

24、0AEn2=0，所以43x1=033x1+y1+32z1=0，所以x1=0设z1=-2，则y1=3，所以n1=(0,3,-2);平面AEC的法向量设为n2=(x,y,z)，AC=(0,a,0)，AE=(33,1,32)ACn2=0AEn2=0，所以ay2=033x2+y2+32z2=0,所以y2=0，设x2=3，则z2=-6，所以n2=(3,0,-6);所以cos=n1n2|n1|n2|=121339=12133=4313二面角C-AE-B的平面角为，则sin=1-cos2=1113，所以二面角C-AE-B的正弦值为1113【解析】本题考查线面平行与二面角的求解，考查学生的空间想象与计算能力，

25、有一定的难度21.【答案】解：(1)由题意可得ba=3，a2+b2=2，故a=1，b=3因此C的方程为x2-y23=1(2)设直线PQ的方程为y=kx+m(k0)，将直线PQ的方程代入C的方程得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0，则x1+x2=2km3-k2，x1x2=-m2+33-k2，x1-x2=(x1+x2)2-4x1x2=23(m2+3-k2)3-k2不段点M的坐标为(xM,yM)，则yM-y1=-3(xM-x1)yM-y2=3(xM-x2)两式相减，得y1-y2=23xM-3(x1+x2)，而y1-y2=(kx1+m)-(kx2+m)=k(x1-x2)，故23xM=k(x1-x

26、2)+3(x1+x2)，解得xM=km2+3-k2+km3-k2两式相加，得2yM-(y1+y2)=3(x1-x2)，而y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m，故2yM=k(x1+x2)+3(x1-x2)+2m，解得yM=3m2+3-k2+3m3-k2=3kxM因此，点M的轨迹为直线y=3kx，其中k为直线PQ的斜率若选择:设直线AB的方程为y=k(x-2)，并设A的坐标为(xA,yA)，B的坐标为(xB,yB).则yA=k(xA-2)yA=3xA，解得xA=2kk-3，yA=23kk-3同理可得xB=2kk+3，yB=-23kk+3此时xA+xB=4k2k2-3，

27、yA+yB=12kk2-3而点M的坐标满足yM=k(xM-2)yM=3kxM，解得xM=2k2k2-3=xA+xB2，yM=6kk2-3=yA+yB2，故M为AB的中点，即|MA|=|MB|若选择:当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，此时M不在直线y=3kx上，矛盾故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=p(x-2)(p0)，并设A的坐标为(xA,yA)，B的坐标为(xB,yB).则yA=p(xA-2)yA=3xA，解得xA=2pp-3，yA=23pp-3同理可得xB=2pp+3，yB=-23pp+3此时xM=xA+xB2=2p2p2-3，yM=yA+yB2=6pp2-3由于

28、点M同时在直线y=3kx上，故6p=3k2p2，解得k=p.因此PQ/AB若选择:设直线AB的方程为y=k(x-2)，并设A的坐标为(xA,yA)，B的坐标为(xB,yB).则yA=k(xA-2)yA=3xA解得xA=2kk-3，yA=23kk-3同理可得xB=2kk+3，yB=-23kk+3，设AB的中点为C(xC,yC)，则xC=xA+xB2=2k2k2-3，yC=yA+yB2=6kk2-3由于|MA|=|MB|，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y-yC=-1k(x-xC)上将该直线与y=3kx联立，解得xM=2k2k2-3=xC，yM=6kk2-3=yC，即点M恰为AB中点，故点而

29、在直线AB上【解析】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查开放探究能力，属于压轴题22.【答案】解：(1)a=1f(x)=xex-ex=(x-1)exf(x)=xex当x(-,0)时，f(x)0，f(x)单调递增(2)令g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1(x0)g(x)g(0)=0对x0恒成立又g(x)=eax+axeax-exg(0)=0令h(x)=g(x)h(x)=aeax+a(eax+axeax)-ex=a(2eax+axeax)-ex，则h(0)=2a-1若h(0)=2a-10，即a12，h(0)=limx0+g(x)-g(0)x-0=limx0+

30、g(x)x0所以x00,使得当x0,x0时，有g(x)x0g(x)0g(x)单调递增g(x0)g(0)=0，矛盾若h(0)=2a-10，即a12时，g(x)=eax+axeax-ex=eax+ln(1+ax)-exe12x+ln(1+12x)-exe12x+12x-ex=0g(x)在0,+)上单调递减，g(x)g(0)=0，符合题意综上所述，实数a的取值范围是a12(3)求导易得t-1t2lnt(t1)令t=1+1n1+1n-11+1n2ln1+1n1n1+1nln(1+1n)1n2+nln(n+1n)k=1n1k2+kk=1nln(k+1k)=ln(2132n+1n)=ln(n+1)即112+1+122+2+1n2+nlnn+1，证毕【解析】本题考查了利用导数判断或证明已知函数的单调性和利用导数解(证明)不等式，属于难题。第17页，共18页