2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）试卷 全国乙卷（含解析）.doc

1、2022年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷 全国乙卷理科学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1.设全集，集合M满足，则( )A.B.C.D.2.已知，且，其中a，b为实数，则( )A.，B.，C.，D.，3.已知向量a，b满足，则( )A.-2B.-1C.1D.24.嫦娥二号卫星在完成揽月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列，依此类推，其中.则( )A.B.C.D.5.设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则( )A.2B.C.3D.6.执行右边的程序框图，输出的( )A.3B.4C.5D.67.在正方

2、体中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )A.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面8.已知等比数列的前3项和为168，则( )A.14B.12C.6D.39.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )A.B.C.D.10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且.记该棋手连胜两盘的概率为p，则( )A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大11.双曲线C的

3、两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为( )A.B.C.D.12.已知函数，的定义域均为R，且，.若的图像关于直线对称，则( )A.-21B.-22C.-23D.-24二、填空题13.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_.14.过四点，中的三点的一个圆的方程为_.15.记函数的最小正周期为T.若，为的零点，则的最小值为_.16.已知，和分别是函数（且）的极小值点和极大值点.若，则a的取值范围是_.三、解答题17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）证明：；（2）若，求的周长.18.如图，四

4、面体ABCD中，E为AC的中点.（1）证明：平面平面；（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得，.（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均

5、一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附：相关系数，.20.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点.（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，证明：直线HN过定点.21.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围.22.在直角坐标

6、系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为.（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围.23.已知a，b，c都是正数，且，证明：（1）；（2）.参考答案1.答案：A解析：由题设，易知，对比选项，选择A.2.答案：A解析：由题设，代入有，故，选择A.3.答案：C解析：由题设，得，代入，有，故.选择C.4.答案：D解析：由已知，故；同理可得，又因为，故；于是得，排除A，故，排除C，而，排除B.故选择D.方法二：（取特殊值）取，于是有，分子分母分别构成斐波那契数列，于是有，.于是得，.对比选项，选D.5

7、.答案：B解析：易知抛物线的焦点为，于是有，故，注意到抛物线通径，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有轴，于是有.6.答案：B解析：第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，故输出，故选B.7.答案：A解析：对于A选项：在正方体中，因为EF分别为AB，BC的中点，易知，从而平面，又因为平面，所以平面平面，所以A选项正确；对于B选项：因为平面平面，由上述过程易知平面平面不成立；对于C选项：由题意知直线与直线必相交，故平面平面有公共点，从而C选项错误；对于D选项：连接AC，易知平面平面，又因为平面与平面有公共点，故平面与平面不平行，所以D选项错误.8.答案：D解析：设等比数列首

8、项，公比q.由题意，即，即解得，所以.故选D.9.答案：C解析：考虑与四棱锥的底面形状尤关，不是一般性，假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则所以该四棱锥的高，所以体积当且仅当，即时，等号成立所以该四棱锥的高故选C10.答案：D解析：设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为，在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为由题意所以，所以最大，故选D.11.答案：C解析：由题意，点N在双曲线右支.记切点为点A，连接OA，则，又，则.过点作交直线MN于点B，连接，则，又点O为中点，则，.由，得，所以，.故，由双曲线定义，则，即，所以.12.答案：D解析：若的图像关

9、于直线对称，则，因为，所以，故，为偶函数.由，得.由，得，代入，得，关于点中心对称，所以.由，得，所以，故，周期为4.由，得，又，所以.13.答案：解析：设“甲、乙都入选”为事件A，则.14.答案：或或或解析：设点，圆过其中三点共有四种情况，解决办法是两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的离为半径.（1）若圆过A、B、C三点，则圆心在直线，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为（2）若圆过A、B、D三点，同（1）设圆心坐标为，则，所以圆的方程为（3）若圆过A、C、D三点，则线段AC的中垂线方程为，线段AD的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为（4）若圆过B、C、D三点，则线段BD的中垂线方程为，线段

10、BC中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为15.答案：3解析：，且，故，又，故的最小值为3.16.答案：解析：至少要有两个零点和，我们对其求导，（1）若，则在R上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数（且）的极小值点和极大值点，则，不符合题意.（2）若，则在R上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减.且.此时若有和分别是函数（且）的极小值点和极大值点，且，则需满足，即，可解得或，由于，取交集即得.17.答案：（1）见解析（2）14解析：（1）已知可化简为，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，即证，（2）由（1）可知，的周长为14.18.答案：（1）见解析（2

11、）解析：（1），且BD为公共边与全等，.又E为AC中点且，同理.又，且均含于平面BED，平面BED.又平面ACD，平面平面ACD.（2）在中，.在中，E为AC中点，.又，即.直线AC、直线ED、直线EB两两互相垂直.由点F在BD上且与全等，由于E为AC中点当的面积最小时在中，如图，以点E为坐标原点，直线AC、EB、ED分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系、设平面ABD的法向量为.可得设设m与所成的角为，CF与平面ABD所成角的为所以CF与平面ABD所成角的正弦值为.19.答案：（1）0.06，0.39（2）0.97（3）1209解析：（1）设这种树木平均一课的根部横截面积为，平均一个的材积量为

12、，则，.（2）（3）设从根部面积总和为X，总材积量为Y，则，故.20.答案：（1）；（2）直线HN过定点解析：（1）设E的方程为，将，两点代入得，解得，故E的方程为.（2）由，可得直线AB：若过的直线的斜率不存在，直线为.代入，可得，将代入AB：，可得，由得.易求得此时直线HN：.过点.若过的直线的斜率存在，设，.联立，得故有，且（*）联立，可得，可求得此时HN：将代入整理得将（*）式代入，得，显然成立.综上，可得直线HN过定点.21.答案：（1）（2）解析：22.答案：（1）（2）解析：（1）由可得，即，故l的方程为：.（2）由，得，联立，即，即，故m的范围是.23.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证明：因为a，b，c为正数，所以，当且仅当时取等号，所以，即，得证.（2）要证成立，只需证，又因为，当且仅当时，同时取等，所以，得证.