1、2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）数 学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 若集合，则A. B. C. D. 2. 若，则A. B. C. D. 3. 在中，点在边上，记，则A. B. C. D. 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库. 已知该水库水位韦海拔148.5时，相应水面的面积为140.0；水位为海拔157.5时，相应水面的面积为180. 将该水库在两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5上升到157.5时，增加的水量约为（）A. B. C. D
2、. 5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互为质数的概率为A. B. C. D. 6. 记函数的最小正周期为. 若，且的图象关于点中心对称，则A. B. C. D. 7. 设，则A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥的侧棱长为，其各点都在同一球面上. 若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9. 已知正方体，则A. 直线与所成的角为B. 直线与所成的角为C. 直线与平面所成的角为D. 直线与平面所成的
3、角为10. 已知函数，则A. 有两个极值点B. 有三个零点C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线11. 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则A. 的准线为B. 直线与相切C. D. 12. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 的展开式中的系数为_（用数字作答）.14. 写出与圆和都相切的一条直线的方程_.15. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是_.16. 已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为. 过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长是_.四、解答题：本题
4、共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. （10分）记为数列是前项和，已知，是公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）证明： .18. （12分）记的内角，的对边分别为，已知. （1）若，求；（2）求的最小值 .19. （12分）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.（1）求到平面的距离；（2）设为的中点，平面平面，求二面角的正弦值. 20. （12分）一医疗队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组）. 得到如
5、下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中人选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 .（i）证明：；0.0500.0100.0013.8416.63510.828（ii）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（i）的结果给出的估计值.附：，21. （12分）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0 .（1）求的斜率；（2）若，求的面积 .22. （12分）已知函数和有相同的最小值.（1）求；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.数学试题第4页 （共4页）
