1、第八章 立体几何专题训练（五）二面角一解答题1如图，已知直四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值2如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，在直角梯形中，是棱的中点（1）求证：平面；（2）设点在线段上，若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长3已知在四棱锥中，平面，为的中点（1）求证；平面；（2）若，求锐二面角的余弦值4如图，四边形是边长为2的菱形，分别为，的中点，将和沿着和折起，使得平面和平面均垂直于平面（）求证：平面；（）求二面角的余弦值5如图1，由正方形、直角三角形和直角三角形组成的平面图形，其中，将图形沿、折起使得、重合于，如图2（1）判断图2
2、中平面和平面的交线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角大小的余弦值6如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点是的中点（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值第八章 立体几何专题训练（五）二面角答案1解：（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以，又，所以，所以（2分）在直四棱柱中，易得，又，所以平面，所以连接，因为，所以，则，（4分）又，所以，所以，由直四棱柱的特征易知，所以又，所以平面（6分）（2）由（1）可知，以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，2，所以，（8分）设平面的法向量为，则，令，则，即（10分）由（1）可知平面的一个法向量为，所以，由图知
3、二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为（12分）2（1）证明：如图，作交于点，连接，又，且，即有四边形是平行四边形，得，平面平面，平面平面，平面，平面，而平面，则平面平面，为等边三角形，为的中点，则，平面，平面平面，平面平面，平面，又，平面；（2）解：如图，设是的中点，在正中，作，由平面平面，可得平面，则平面，再以，方向为，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，0，0，0，设平面的法向量为，由，取，得，1，；点在线段上，设其坐标为，0，其中，0，设平面的法向量为，由，取，得，由题意，设平面与平面所成的锐二面角为，则，整理得或，0，3（1）证明：取的中点为，分别连接，又因为为的中点，所
4、以，且又因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以又平面，平面，所以平面（5分）（2）解：由，三条直线两两相互垂直以，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，因为在四边形中，所以点在线段的垂直平分线上又因为，所以所以有点，0，1，2，所以设平面的一个法向量，则，令，得，易知平面的一个法向量为，（9分）因为，所以，（11分）所以锐二面角的余弦值为（12分）4（）证明：在菱形中，且，分别为，的中点，由已知平面平面，平面平面，又，平面平面，平面平面，平面，平面，同理平面，则，又，四边形为平行四边形，而平面，平面，平面；（）解：以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，则，0，0，设平面的
5、一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得，由平面法向量坐标可知，与二面角的平面角互补，二面角的余弦值为5解：（1）平面和平面的交线平面理由如下：，平面，平面，平面，平面，平面平面，而平面，平面，平面；（2）由图1可知，则图2中，平面，而平面，平面平面，取中点，中点，以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，则，1，1，0，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得由图可知，二面角为钝角，二面角的余弦值为6解：（1）证明：在中，是的中点，在中，得，得，在中，满足，而，平面，平面，平面平面；（2）由（1）知，平面，以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，0，0，求解三角形可得，0，则，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得由图可知，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为
