第十章输出反馈及状态反馈课件.ppt

1、1Ch.10 线性反馈系统的线性反馈系统的 时间域综合时间域综合目目 录录q 概述概述q 10.1 输出反馈与状态反馈输出反馈与状态反馈q 10.2 极点配置问题极点配置问题q 10.3 状态重构与状态观测器设计状态重构与状态观测器设计q 10.4 最优控制问题概论最优控制问题概论*q 10.5 系统解耦系统解耦*q 10.6 跟踪问题跟踪问题*3概概 述述q 系统综合系统综合(system synthesis)是系统分析是系统分析(analysis)的逆问题。的逆问题。 系统分析是对已知系统结构和参数系统分析是对已知系统结构和参数, 以及确定好系统的以及确定好系统的外部输入外部输入(系统激励

2、系统激励)下下, 对系统运动进行对系统运动进行定性定性分析分析 如可控性、可观性、稳定性等如可控性、可观性、稳定性等和和定量定量运动规律分析的探讨运动规律分析的探讨 如系统运动轨迹、系统的性能品质指标等。如系统运动轨迹、系统的性能品质指标等。 而系统综合问题为已知系统系统结构和参数，以及所期而系统综合问题为已知系统系统结构和参数，以及所期望的系统运动形式或关于系统运动动态过程和目标的某望的系统运动形式或关于系统运动动态过程和目标的某些特征，所需要确定的则是需要施加于系统的外部输入些特征，所需要确定的则是需要施加于系统的外部输入的大小或规律。的大小或规律。4 一般情况下，控制理论发展与控制系统设

3、计的追求目标一般情况下，控制理论发展与控制系统设计的追求目标为解析的反馈控制作用规律为解析的反馈控制作用规律(反馈控制律反馈控制律)。q 系统综合首先需要确定关于系统运动形式，或关于系统运系统综合首先需要确定关于系统运动形式，或关于系统运动动态过程和目标的某些特征的性能指标函数，动动态过程和目标的某些特征的性能指标函数， 然后据此然后据此确定控制规律。确定控制规律。 综合问题的性能指标函数可分为优化型和非优化型性能综合问题的性能指标函数可分为优化型和非优化型性能指标指标5 优化型和非优化型性能指标的差别在于优化型和非优化型性能指标的差别在于:v 优化性能指标是一类极值型指标，综合的目的优化性能

4、指标是一类极值型指标，综合的目的是使该性能指标函数取极小是使该性能指标函数取极小(极大极大)；v 而非优化型性能指标是一类由不等式及等式约而非优化型性能指标是一类由不等式及等式约束的性能指标束的性能指标凸凸空间，一般只要求解的控制规空间，一般只要求解的控制规律对应的性能指标到达该凸空间即可。律对应的性能指标到达该凸空间即可。 对优化型性能指标，需要函数优化理论和泛函理论求解对优化型性能指标，需要函数优化理论和泛函理论求解控制规律；控制规律； 而对非优化型性能指标一般存在解析方法求解控制而对非优化型性能指标一般存在解析方法求解控制规律，如规律，如极点配置极点配置(Pole assignment)

5、方法。方法。6q 对于非优化型性能指标，按照对闭环系统期望的运动形式对于非优化型性能指标，按照对闭环系统期望的运动形式从不同的角度去规定性能，可以有多种提法和形式。从不同的角度去规定性能，可以有多种提法和形式。 常用的非优化型性能指标提法有以下几种常用的非优化型性能指标提法有以下几种 以系统渐近稳定作为性能指标，相应的综合问题称以系统渐近稳定作为性能指标，相应的综合问题称为为镇定镇定(Stabilization)问题。问题。 以一组期望的闭环系统极点位置或极点凸约束区域以一组期望的闭环系统极点位置或极点凸约束区域(空间空间)为性能指标，相应的综合问题为为性能指标，相应的综合问题为极点配置极点配

6、置。v 对线性定常系统，系统的稳定性和各种性能的对线性定常系统，系统的稳定性和各种性能的品质指标品质指标(如过渡过程的快速性、超调量、周期如过渡过程的快速性、超调量、周期性等性等)，在很大程度上是由闭环系统的极点位置，在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。所决定的。7v 因此，在进行系统设计时，设法使闭环系统的因此，在进行系统设计时，设法使闭环系统的极点位于极点位于 s 平面上的一组合理的、具有所期望平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的期望极点上，可以有效地改的性能品质指标的期望极点上，可以有效地改善系统的性能品质指标。善系统的性能品质指标。 将一个将一个 MIMO 系统通过反

7、馈控制实现一个输入只系统通过反馈控制实现一个输入只控制一个输出的系统综合问题称为控制一个输出的系统综合问题称为系统解耦系统解耦(System decoupling)问题。问题。v 系统解耦对于高维复杂系统尤为重要。系统解耦对于高维复杂系统尤为重要。 使系统的输出使系统的输出 y(t) 无静差地跟踪一个外部信号无静差地跟踪一个外部信号 y0(t) 作为性能指标，相应的综合问题称为作为性能指标，相应的综合问题称为跟踪跟踪(Tracking)问题。问题。8q 优化型性能指标一般定义为关于状态优化型性能指标一般定义为关于状态 x(t) 和输入和输入 u(t) 的积分的积分型性能指标函数或关于末态型性能

8、指标函数或关于末态 x(tf) 的末值型性能指标函数。的末值型性能指标函数。 而综合的任务，就是要确定使性能指标函数取极值的控而综合的任务，就是要确定使性能指标函数取极值的控制规律，即制规律，即最优控制最优控制(Optimal control)问题。问题。 相应地性能指标函数值则称为最优性能。相应地性能指标函数值则称为最优性能。9q 系统综合问题，无论是对优化型还是非优化型性能指标函数系统综合问题，无论是对优化型还是非优化型性能指标函数,首先存在首先存在 2 个主要问题。个主要问题。 一个是控制的存在性问题，即所谓一个是控制的存在性问题，即所谓可综合条件、控制规可综合条件、控制规律存在条件律存

9、在条件。 显然显然, 只有对可综合的问题，控制命题才成立，才只有对可综合的问题，控制命题才成立，才有必要去求解控制规律。有必要去求解控制规律。 对不可综合的问题，可以考虑修正性能指标函数，对不可综合的问题，可以考虑修正性能指标函数，或改变被控系统的机理、结构或参数，以使系统可或改变被控系统的机理、结构或参数，以使系统可综合条件成立。综合条件成立。10 另一个是如何求解控制规律另一个是如何求解控制规律, 即构造求解控制律的解析即构造求解控制律的解析求解方法或计算机数值算法。求解方法或计算机数值算法。 利用这些算法，对满足可综合条件的系统，可确定利用这些算法，对满足可综合条件的系统，可确定控制规律

10、控制规律, 如确定相应的状态反馈或输出反馈矩阵。如确定相应的状态反馈或输出反馈矩阵。 以现代技术的观点，这些方法应方便地使用计算机以现代技术的观点，这些方法应方便地使用计算机实现，其相应的数值计算方法具有较好的数值稳定实现，其相应的数值计算方法具有较好的数值稳定性，即在计算过程中可能出现的计算误差是否被不性，即在计算过程中可能出现的计算误差是否被不断放大、传播，还是被抑制在一个小的范围，其影断放大、传播，还是被抑制在一个小的范围，其影响逐渐减弱。响逐渐减弱。11q 在综合问题中，不仅存在可综合问题和算法求解问题，还存在综合问题中，不仅存在可综合问题和算法求解问题，还存在控制系统在工程实现上所涌

11、现的一些理论问题。如在控制系统在工程实现上所涌现的一些理论问题。如:1. 状态获取问题状态获取问题 对状态反馈控制系统，要实现已求解的状态反馈规律，对状态反馈控制系统，要实现已求解的状态反馈规律，需要获取被控系统的状态信息，以构成反馈。需要获取被控系统的状态信息，以构成反馈。 但对许多实际系统，所考虑的状态变量是描述系统内部但对许多实际系统，所考虑的状态变量是描述系统内部信息的一组变量，可能并不完全能直接测量或以经济的信息的一组变量，可能并不完全能直接测量或以经济的方式测量。方式测量。 这就需要基于状态观测理论，根据系统模型，利用直接这就需要基于状态观测理论，根据系统模型，利用直接测量到的输入

12、输出信息来构造或重构状态变量信息。测量到的输入输出信息来构造或重构状态变量信息。 相应的理论问题称为相应的理论问题称为状态重构状态重构(state-reconstruction)问题问题, 即即基于观测器的设计基于观测器的设计(observer based design)问题。问题。122. 建模误差和参数摄动问题建模误差和参数摄动问题 对系统综合问题，首先需建立一个描述系统动力学特性对系统综合问题，首先需建立一个描述系统动力学特性的数学模型。的数学模型。 并且，系统分析与综合都是建立在模型基础上的。并且，系统分析与综合都是建立在模型基础上的。 正如在第正如在第 2 章所述，系统模型是理想与现

13、实，精确描述章所述，系统模型是理想与现实，精确描述与简化描述的折中，任何模型都会有建模误差。与简化描述的折中，任何模型都会有建模误差。 此外，由于系统本身的复杂性及其所处环境的复杂性，此外，由于系统本身的复杂性及其所处环境的复杂性，系统的动力学特性会产生缓慢变化。系统的动力学特性会产生缓慢变化。 这种变化在一定程度上可视为系统模型的这种变化在一定程度上可视为系统模型的参数摄动参数摄动（parametric perturbations）。）。13 这样，基于理想模型综合得到的控制器，运用于实这样，基于理想模型综合得到的控制器，运用于实际系统中所构成的闭环控制系统，对这些建模误差际系统中所构成的闭

14、环控制系统，对这些建模误差和参数摄动是否具有良好的抗干扰性和参数摄动是否具有良好的抗干扰性(不敏感性不敏感性)，是，是否使系统保持稳定，是否使系统达到或接近预期的否使系统保持稳定，是否使系统达到或接近预期的性能指标成为控制系统实现的关键问题。性能指标成为控制系统实现的关键问题。v 该问题称为系统该问题称为系统鲁棒性鲁棒性(robustness)问题。问题。v 基于提高系统鲁棒性的控制综合方法也称为基于提高系统鲁棒性的控制综合方法也称为鲁鲁棒控制棒控制(robust control)方法。方法。14q下面，本章将就这些系统综合的主要问题，下面，本章将就这些系统综合的主要问题， 如如状态反馈与输出

15、反馈状态反馈与输出反馈 （10.1节）节）极点配置（极点配置（10.2节）节）基于观测器的设计（基于观测器的设计（10.3节）节）最优控制最优控制* （10.4节）节）系统解耦系统解耦* （10.5节）节）跟踪问题跟踪问题* （10.6节）节）进行细致讨论。进行细致讨论。1510.1 输出反馈与状态反馈输出反馈与状态反馈16状态反馈与输出反馈状态反馈与输出反馈 State feedback and output feedbackq 控制理论最基本的任务是，对给定的被控系统设计能满足所控制理论最基本的任务是，对给定的被控系统设计能满足所期望的性能指标的闭环控制系统，即期望的性能指标的闭环控制系统

16、，即寻找反馈控制律寻找反馈控制律。 状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈策略，其意义分别为将观测到的状态和输出取作反馈量策略，其意义分别为将观测到的状态和输出取作反馈量以构成反馈律，实现对系统的闭环控制，以达到期望的以构成反馈律，实现对系统的闭环控制，以达到期望的对系统的性能指标要求。对系统的性能指标要求。 在经典控制理论中用传递函数描述系统，只能在经典控制理论中用传递函数描述系统，只能由系统的由系统的输出变量来构成反馈律输出变量来构成反馈律，即，即输出反馈输出反馈。 在现代控制理论的状态空间分析方法中，多考虑在现代控制理论的状态空间

17、分析方法中，多考虑采用状采用状态变量来构成反馈律态变量来构成反馈律，即，即状态反馈状态反馈。17 之所以采用状态变量来构成反馈律，是因为状态空间分之所以采用状态变量来构成反馈律，是因为状态空间分析中所采用的模型为状态空间模型，其状态变量可完全析中所采用的模型为状态空间模型，其状态变量可完全描述系统内部动态特性。描述系统内部动态特性。 由于由状态变量所得到的关于系统动静态的信息比输出由于由状态变量所得到的关于系统动静态的信息比输出变量提供的信息更丰富、更全面。变量提供的信息更丰富、更全面。 因此，若用状态来构成反馈控制律，与用输出反馈因此，若用状态来构成反馈控制律，与用输出反馈构成的反馈控制律相

18、比，则设计反馈律有更大的可构成的反馈控制律相比，则设计反馈律有更大的可选择的范围，而闭环系统能达到选择的范围，而闭环系统能达到更佳的性能更佳的性能。 另一方面，从状态空间模型的输出方程可以看出，另一方面，从状态空间模型的输出方程可以看出，输出输出反馈可视为状态反馈的一个特例反馈可视为状态反馈的一个特例。 因此，因此，采用状态反馈应能达到更高的性能采用状态反馈应能达到更高的性能。q 本节讨论的主要问题：本节讨论的主要问题： 基本概念基本概念: 状态反馈、输出反馈状态反馈、输出反馈 基本性质基本性质: 反馈闭环系统的可控性和可观性反馈闭环系统的可控性和可观性q 本节的讲授顺序为本节的讲授顺序为:

19、状态反馈的描述式状态反馈的描述式 输出反馈的描述式输出反馈的描述式 闭环系统的状态可控性和可观性闭环系统的状态可控性和可观性 状态反馈镇定状态反馈镇定q 由于线性定常离散系统状态空间模型以及可控性判据的类同由于线性定常离散系统状态空间模型以及可控性判据的类同性，因此本节讨论的概念和方法也可推广到线性定常离散系性，因此本节讨论的概念和方法也可推广到线性定常离散系统的状态反馈和输出反馈系统的分析和设计问题。统的状态反馈和输出反馈系统的分析和设计问题。重点！重点！1910.1.1 状态反馈的描述式状态反馈的描述式q 对线性定常连续系统对线性定常连续系统 (A, B, C)，若取系统的状态变量来构，若

20、取系统的状态变量来构成反馈，则所得到的闭环控制系统称为状态反馈系统。成反馈，则所得到的闭环控制系统称为状态反馈系统。 状态反馈闭环系统的系统结构可如图状态反馈闭环系统的系统结构可如图10-1所示所示 B A C K u y + v x + - + x 开环系统开环系统 图图10-1 状态反馈系统的结构图状态反馈系统的结构图其中其中 K 为为 r n 维的实矩阵维的实矩阵, 称为状态反馈矩阵称为状态反馈矩阵; v 为为 r 维输入维输入向量，也称为向量，也称为伺服输入伺服输入。q 状态反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下状态反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: 设开环系统状态空间模型和状态反馈

21、律分别记为设开环系统状态空间模型和状态反馈律分别记为KABC xxuyxuxv 状态反馈闭环系统可以简记为状态反馈闭环系统可以简记为 K(A- - BK, B, C), 其传递其传递函数阵为函数阵为:GK(s) = C(sI- -A+BK)-1B 将状态反馈律代入开环系统方程将状态反馈律代入开环系统方程, 可得如下状态反馈可得如下状态反馈 闭环控制系统的状态空间模型闭环控制系统的状态空间模型:()ABKBC xxvyx2210.1.2 输出反馈的描述式输出反馈的描述式q 对线性定常连续系统对线性定常连续系统 (A,B,C), 若取系统的输出变量来构成若取系统的输出变量来构成反馈，则所得到的闭环

22、控制系统称为输出反馈控制系统。反馈，则所得到的闭环控制系统称为输出反馈控制系统。 输出反馈控制系统的结构图如图输出反馈控制系统的结构图如图10-2所示。所示。 B A C H y - x u v + + + x 开环系统开环系统 与状态反馈与状态反馈有何不同有何不同?图图10-2 输出反馈系统的结构图输出反馈系统的结构图q 输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: 开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为HABC xxuyxuyv其中其中 H 为为 r m 维的实矩阵，称为维的实矩阵，称为输出反馈矩阵输出反馈矩阵。

23、将输出反馈律代入开环系统方程，则可得如下输出反馈将输出反馈律代入开环系统方程，则可得如下输出反馈闭环控制系统的状态空间模型闭环控制系统的状态空间模型:()ABHCBC xxvyx 输出反馈闭环系统可简记为输出反馈闭环系统可简记为 H(A-BHC,B,C)，其传递函数，其传递函数阵为阵为:GH(s)=C(sI- -A+BHC)-1Bq 由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型可知，由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型可知，输出反馈其实可以视为当输出反馈其实可以视为当 K = HC 时的状态反馈时的状态反馈。 因此，在进行系统分析时，因此，在进行系统分析时，输出反馈可以看作状态反馈

24、输出反馈可以看作状态反馈的一种特例的一种特例。 反之，则不然。反之，则不然。 由此也可知，状态反馈可以达到比输出反馈更好的控由此也可知，状态反馈可以达到比输出反馈更好的控制品质，更佳的性能。制品质，更佳的性能。10.1.3 闭环系统的状态可控性和可观性闭环系统的状态可控性和可观性q对于由状态反馈和输出反馈构成的闭环系统，其状对于由状态反馈和输出反馈构成的闭环系统，其状态可控态可控/可观性是进行反馈律设计和闭环系统分析时可观性是进行反馈律设计和闭环系统分析时所关注的问题。所关注的问题。 下面分别讨论两种闭环系统的下面分别讨论两种闭环系统的 状态可控性状态可控性 state controllabi

25、lity 状态可观性状态可观性 state observability1. 闭环系统的状态可控性闭环系统的状态可控性q 由由状态可控性模态判据状态可控性模态判据(定理定理6-2)，被控系统，被控系统 (A, B, C) 采用采用状态反馈后的闭环系统状态反馈后的闭环系统 K(A-BK, B, C) 的可控性可由条件的可控性可由条件rank I-A+BK B=n 来判定，而来判定，而rank-rank -rank-0IKII ABK BI A BI A B 上式即表明上式即表明状态反馈不改变系统的状态可控性状态反馈不改变系统的状态可控性。q 由于输出反馈可视为状态反馈在由于输出反馈可视为状态反馈在

26、 K=HC 时的特例，故时的特例，故输出反输出反馈也不改变系统的状态可控性馈也不改变系统的状态可控性。2. 闭环系统的状态可观性闭环系统的状态可观性q 对被控系统对被控系统 (A, B, C) 有如下结论有如下结论: 采用输出反馈构成的闭环系统采用输出反馈构成的闭环系统 H (A-BHC, B, C) 后状态后状态可观性不变，即可观性不变，即 输出反馈不改变状态可观性输出反馈不改变状态可观性。q 根据根据对偶性原理和输出反馈不改变状态可控性对偶性原理和输出反馈不改变状态可控性的结论，可对的结论，可对上述结论证明如下上述结论证明如下:证明过程图解证明过程图解输出反馈闭环系统输出反馈闭环系统 H(

27、A-BHC,B,C)的状态可观性的状态可观性对偶原理对偶原理经输出反馈经输出反馈HT (AT,CT,BT)的状态可控性的状态可控性对偶原理对偶原理 (A,B,C)的状态可观性的状态可观性对偶系统对偶系统 的状态可控性的状态可控性TTTTT,)C H BCBTT(HA需证明需证明的结论的结论?证明过程证明过程: 输出反馈闭环系统输出反馈闭环系统 H(A-BHC,B,C)的状态可观性等价于的状态可观性等价于其对偶系统其对偶系统 (AT-CTHTBT,CT,BT)的状态可控性的状态可控性;TH 而该对偶系统可以视为是系统而该对偶系统可以视为是系统 (AT, CT, BT)经输出反馈阵经输出反馈阵为为

28、HT构成的闭环反馈系统构成的闭环反馈系统; 由于输出反馈不改变系统的可控性，由于输出反馈不改变系统的可控性， 因此闭环系统因此闭环系统 H(A-BHC, B, C)的状态可观性等价于其对偶系统的状态可观性等价于其对偶系统 (AT, CT, BT)的状态可控性的状态可控性; 又由对偶性原理有，系统又由对偶性原理有，系统 (AT, CT, BT)的状态可控性等的状态可控性等价于其对偶系统价于其对偶系统 (A, B, C)的状态可观性。的状态可观性。 因此。证明得闭环系统因此。证明得闭环系统 H(A-BHC, B, C)的状态可观的状态可观性等价于系统性等价于系统 (A, B, C)的状态可观性。的

29、状态可观性。 故故输出反馈不改变状态可观性输出反馈不改变状态可观性。q 对于采用状态反馈构成的闭环控制系统对于采用状态反馈构成的闭环控制系统 K(A-BK, B, C), 状态状态反馈可能改变状态可观性反馈可能改变状态可观性。 该结论可先由下面的例子来说明，在后述的该结论可先由下面的例子来说明，在后述的极点配置极点配置部部分再详细讨论。分再详细讨论。q 例例10-1 设线性定常系统的状态空间模型为设线性定常系统的状态空间模型为12031112 xxuyx 并设状态反馈阵并设状态反馈阵 K = 3 1 和输出反馈和输出反馈 H=2。试分析该系统的状态反馈闭环系统和输出反馈闭环系统试分析该系统的状

30、态反馈闭环系统和输出反馈闭环系统的状态可控的状态可控/可观性。可观性。q 解解 ： 1. 因为开环系统的可控性和可观性矩阵的秩分别为因为开环系统的可控性和可观性矩阵的秩分别为nCACnABB24721rankrank21120rankrank 所以开环系统为状态可控又可观的。所以开环系统为状态可控又可观的。 所以状态反馈闭环系统为状态可控但不可观的所以状态反馈闭环系统为状态可控但不可观的, 即即状态反馈状态反馈可能改变系统的状态可观性可能改变系统的状态可观性。02rank() rank21012rankrank1()12BABK BnCnC ABK 2. 经状态反馈经状态反馈 u = -Kx+

31、v 后的闭环系统的状态方程为后的闭环系统的状态方程为120()001ABKB xxvxv其可控性矩阵和可观性矩阵的秩分别为其可控性矩阵和可观性矩阵的秩分别为所以输出反馈闭环系统为状态可控又可观的。所以输出反馈闭环系统为状态可控又可观的。02rank()rank21-312rankrank2()3-4BABHC BnCnC ABHC 3. 经输出反馈经输出反馈 u = - -Hy+v 后的闭环系统的状态方程为后的闭环系统的状态方程为120()131ABHCB xxvxv其可控性矩阵和可观性矩阵的秩分别为其可控性矩阵和可观性矩阵的秩分别为3410.1.4 系统镇定系统镇定 system stabi

32、lizationq 受控系统通过状态反馈受控系统通过状态反馈(或者输出反馈或者输出反馈)，使得闭环系统渐近使得闭环系统渐近稳定稳定，这样的问题称为这样的问题称为镇定镇定问题。问题。 能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定的可镇定的。 镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内。镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内。 镇定问题的重要性主要体现在镇定问题的重要性主要体现在 3 个方面个方面: 首先，稳定性往往是控制系统能够正常工作的必要首先，稳定性往往是控制系统能够正常工作的必要条件，是对控制系统最基本的要求条件，是对控制系统最基本的要求; 其次，

33、许多实际的控制系统是以渐近稳定作为最终其次，许多实际的控制系统是以渐近稳定作为最终设计目标设计目标;35 最后，稳定性往往还能确保控制系统具有其它性能最后，稳定性往往还能确保控制系统具有其它性能和条件，如渐近跟踪控制问题等。和条件，如渐近跟踪控制问题等。q 镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况，它只要求它只要求把闭环极点配置在把闭环极点配置在 s 平面的左侧平面的左侧，而并不要求将极点严格配而并不要求将极点严格配置在期望的极点上。置在期望的极点上。 为了使系统稳定为了使系统稳定, ,只需将那些不稳定因子只需将那些不稳定因子，即具有非负即具有非负实部的

34、极点实部的极点，配置到配置到 s 平面的左半开平面即可。平面的左半开平面即可。 因此，通过状态因此，通过状态( (输出输出) )反馈矩阵使系统的特征值得到相反馈矩阵使系统的特征值得到相应配置应配置，把系统的特征值把系统的特征值( (即的特征值即的特征值) )配置在平面的左配置在平面的左半开平面就可以实现系统镇定。半开平面就可以实现系统镇定。36q下面分别介绍基于下面分别介绍基于 状态反馈镇定状态反馈镇定 state-feedback stabilization 输出反馈镇定输出反馈镇定* output-feedback stabilization 两种镇定方法。两种镇定方法。3710.1.4.

35、1 状态反馈镇定状态反馈镇定 State feedback stabilizationq 线性定常连续系统状态反馈镇定问题可以描述为线性定常连续系统状态反馈镇定问题可以描述为: : 对于给定的线性定常连续系统对于给定的线性定常连续系统 (A,B,C), ,找到一个状态找到一个状态反馈控制律反馈控制律: :vxu K()ABKBvxx 使得闭环系统状态方程使得闭环系统状态方程是稳定的是稳定的, ,其中其中K 为状态反馈矩阵为状态反馈矩阵, ,v为参考输入。为参考输入。38q 对是否可经状态反馈进行系统镇定问题，有如下对是否可经状态反馈进行系统镇定问题，有如下2个定理。个定理。q 定理定理1-1

36、状态状态完全可控完全可控系统系统 (A, B, C) 可经状态反馈镇定。可经状态反馈镇定。q 证明证明根据状态反馈极点配置根据状态反馈极点配置定理定理2-1（见第（见第2节）节）, 对状态对状态完全可控的系统完全可控的系统, 可以进行任意极点配置。可以进行任意极点配置。 因此，也就肯定可以通过状态反馈矩阵因此，也就肯定可以通过状态反馈矩阵 K 将系统的闭将系统的闭环极点配置在环极点配置在 s 平面的左半开平面之内，即闭环系统是平面的左半开平面之内，即闭环系统是可镇定的。可镇定的。 故证明了故证明了, 完全可控的系统，必定是可镇定的完全可控的系统，必定是可镇定的。39q 定理定理1-2 若系统若

37、系统 (A, B, C)不完全可控不完全可控, 则线性状态反馈使系则线性状态反馈使系统镇定的统镇定的充要条件充要条件是系统的是系统的完全不可控部分是渐近稳定的完全不可控部分是渐近稳定的，即系统即系统 (A, B, C)不稳定的极点只分布在系统的可控部分。不稳定的极点只分布在系统的可控部分。q 证明证明 (1) 若系统若系统 (A, B, C) 不完全可控不完全可控, 可以通过线性变换将可以通过线性变换将其按可控性分解为其按可控性分解为: 22121110AAAAPPAcc011BBPBc21CCCPCc其中其中, , 为完全可控子系统；为完全可控子系统； 为完为完全不可控子系统。全不可控子系统

38、。1111(,)cAB C 222(,0,)ncAC40(2) 由于线性变换不改变系统的特征值由于线性变换不改变系统的特征值, 故有故有:11112111222222| | |0sIAAsIAsIAsIAsIAsIA(3) 由于原系统由于原系统 (A, B, C)与结构分解后的系统与结构分解后的系统 在在稳定稳定性和可控性上等价性和可控性上等价, 假设假设K为系统为系统 的任意状态反馈矩阵的任意状态反馈矩阵, 对对 引入状态反馈阵引入状态反馈阵 , 可得闭环系统的系统矩阵可得闭环系统的系统矩阵为为( ,) A B C21KKKPKc1112111112121122222000AAAB KAB

39、KBABKKKAA 41 进而可得闭环系统特征多项式为进而可得闭环系统特征多项式为: : 11111222|()| |()| |(2)sIABKsIAB KsIA 比较式比较式 (1) 与式与式 (2), 可以发现可以发现: 引入状态反馈阵引入状态反馈阵 后后, 只能通过选择只能通过选择 来来使得使得 的特征值具有负实部的特征值具有负实部, 从而使可控子从而使可控子系统系统 渐近稳定。渐近稳定。 但但 的选择并不能影响不可控子系统的选择并不能影响不可控子系统 的特征值的特征值分布。分布。 因此因此, 当且仅当渐近稳定（其特征值均具有负实部）当且仅当渐近稳定（其特征值均具有负实部）时时, 整个系

40、统才是状态反馈可镇定的。整个系统才是状态反馈可镇定的。 从而定理得证。从而定理得证。 12KKK1K1111()AB K cKnc111222| | |(1)sIAsIAsIA42q 基于线性系统可控结构分解方法和状态反馈极点配置方法，基于线性系统可控结构分解方法和状态反馈极点配置方法，可得到如下状态反馈镇定算法。可得到如下状态反馈镇定算法。 状态反馈镇定算法状态反馈镇定算法: 第第1步步: 将可镇定的系统将可镇定的系统 (A, B, C) 进行进行可控性分解可控性分解，获得，获得变换矩阵变换矩阵Pc ，并可得到，并可得到111211122,00cccAABAP APBP BA其中其中, 为完

41、全可控部分为完全可控部分, 为完全不可控部分但为完全不可控部分但渐近稳定。渐近稳定。),(111BA22(,0)A43第第2步步: 利用利用极点配置算法极点配置算法求取状态反馈矩阵求取状态反馈矩阵 , 使得使得 系统具有一组稳定的特征值。系统具有一组稳定的特征值。第第3步步: 计算原系统计算原系统 (A, B, C) 可镇定的状态反馈矩阵可镇定的状态反馈矩阵110cKKP1K4410.1.4.2 输出反馈镇定输出反馈镇定* Output feedback stabilizationq 线性定常连续系统书出反馈镇定问题可以描述为线性定常连续系统书出反馈镇定问题可以描述为: 对于给定的线性定常连续

42、系统对于给定的线性定常连续系统(A,B,C，寻找一个输出，寻找一个输出反馈控制律反馈控制律:u=- -Hy+v式中，式中，H为输出反馈矩阵，为输出反馈矩阵，v为参考输入。为参考输入。 引入输出反馈矩阵引入输出反馈矩阵H后，闭环系统状态方程为后，闭环系统状态方程为: 对是否可经输出反馈进行系统镇定问题，有如下定理。对是否可经输出反馈进行系统镇定问题，有如下定理。() xABHC xBv45q 定理定理1-3 系统系统(A ,B, C) 通过输出反馈能镇定的通过输出反馈能镇定的充要条件充要条件是是结构分解中的可控且可观部分是能输出反馈极点配置的，其结构分解中的可控且可观部分是能输出反馈极点配置的，

43、其余部分是渐近稳定的。余部分是渐近稳定的。 证明证明 对对系统系统进行可控可观性结构分解，可得进行可控可观性结构分解，可得111213141222423334442400000000000AAAABAABABAAACCC46 由于输出反馈可以视为状态反馈由于输出反馈可以视为状态反馈K=HC 的一种时的特例的一种时的特例,且原系统且原系统(A,B,C)与结构分解后的系统与结构分解后的系统 在可观在可观性和可控性上等价性和可控性上等价, 同定理同定理1-2证明过程证明过程, 对系统对系统 引入输出反馈矩阵引入输出反馈矩阵 , 可得闭环系统的系统矩阵可得闭环系统的系统矩阵 ( ,)A B C( ,)

44、A B CH111213141222422433344411121213141422222424333444000000000000000000AAAABAABABHCHCCAAAAAB HCAAB HCAB HCAB HCAAA 47 相应的闭环系统特征多项式为相应的闭环系统特征多项式为: 由可控可观性分解知由可控可观性分解知, 当且仅当当且仅当 的特征值均具有负实部时的特征值均具有负实部时, 闭环系统才能获得渐近稳定。闭环系统才能获得渐近稳定。 因此因此, 系统系统(A,B,C)通过输出反馈能镇定的充要条件通过输出反馈能镇定的充要条件是是结构分解中的可控且可观部分结构分解中的可控且可观部分

45、 是能是能输出反馈极点配置的输出反馈极点配置的, 其余部分是渐近稳定的。其余部分是渐近稳定的。 q 由定理由定理1-3可知可知, 能输出反馈镇定能输出反馈镇定, , 一定可以状态反馈镇定一定可以状态反馈镇定。 但反之则不尽然，能状态反馈能镇定的，并不一定能输但反之则不尽然，能状态反馈能镇定的，并不一定能输出反馈镇定。出反馈镇定。 1122223344|()| | |()| | |sIABHCsIAsIAB HCsIAsIA 1122223344()AAB HCAA 、2222(,)AB C48q 例例1-2 考虑线性定常系统考虑线性定常系统 (A, B, C)，其中，其中 分析通过输出反馈的系

46、统可镇定性。分析通过输出反馈的系统可镇定性。q 解解 由系统的可控可观判据知，该系统是可控且可观的。由系统的可控可观判据知，该系统是可控且可观的。 因此，系统通过输出反馈能镇定的条件是整个系统都应因此，系统通过输出反馈能镇定的条件是整个系统都应是能镇定的。是能镇定的。 首先求系统的特征多项式为首先求系统的特征多项式为:由由劳斯判据劳斯判据，开环系统不稳定。，开环系统不稳定。 005201011200101301ABC，32( ) |35f ssIAsss49 设输出反馈矩阵为设输出反馈矩阵为H=h1 h2T, ,则闭环系统的系统矩阵为则闭环系统的系统矩阵为: : 相应的闭环系统特征多项式为相应

47、的闭环系统特征多项式为:11122200520005210112001102101301013hhhhhhABHC322121( ) |()|(3)(12 )( 25)HfssIsh shh sh A BHC50 由劳斯判据，可以得出特征方程根均具有负实部由劳斯判据，可以得出特征方程根均具有负实部(能够镇能够镇定定)的的h1及及h2取值范围为取值范围为: 本例中，若取本例中，若取h1=-3, h2=-2，则闭环系统特征多项式化为，则闭环系统特征多项式化为:其特征根为其特征根为s1=-0.57, s2=-0.22+1.3j。 因此，原系统经过输出反馈因此，原系统经过输出反馈H=-3 -2T 能够镇定。能够镇定。12)(23ssssfH12, 3, 2/52121hhhh