江苏版高考数学一轮复习专题11.4数学归纳法练（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 11.4 数学归纳法 1. 已知 n是正偶数 ,用数学归纳法证明时 ,若已假设 n=k(k2 且为偶数 )时命题为真 ,则还需证明 _ 【答案】 n=k+2时命题成立 【解析】因 n是正偶数 ,故只需证等式对所有偶数都成立 ,因 k的下一个偶数是 k+2 2. 用数学归纳法证明 1 12 14 ? 112n?12764 (n N*)成立，其初始值至少应取 _ 【答案】 8 【解析】左边 1 12 14 ? 112n?11211 2n? 2112n?，代入验证可知 n的最小值是 8. 3. 用数学归纳法证明“ ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 2 1

2、2 3 2 1nn n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?”，从“ k 到 1k? ”左边 需增乘的代数式 _ 【答案】 ? ?2 2 1k? 4. 若 *1 1 1( ) 1 ( )2 3 3 1f n nn? ? ? ? ? ? N，则对于 *k?N ， ( 1) ( )f k f k? ? ? 【答案】 13k + 131k? + 132k? 【解析】由题知 ()fk= *1 1 11 ( )2 3 3 1 kNk? ? ? ? ?， ( 1)fk? = 1 1 11 2 3 3 1k? ? ? ? ? +13 + 131k? + 13( 1) 1k? *()k

3、N?= 1 1 11 2 3 3 1k? ? ? ? ? +13 + 131k? + 132k? *()kN? ，所以 ( 1)fk? = ()fk+ 13k + 131k? + 132k? . 5. 用数学归纳法证明 “ 当 n为正奇数时， xn yn能被 x y整除 ” 的第二步是 _ 【答案】假设 n 2k 1(kN *)时正确，再推 n 2k 1(kN *)正确 【解析】因为 n为正奇数， 根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第 k个正奇数也成立，本题先假设 n 2k 1(kN *)正确，再推第 k 1个正奇数，即 n 2k 1(kN *)正确 =【 ;精品教育资源文库 】 = 6

4、. 已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1 1 1 1 1 1 1122 3 4 1 2 4 2n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?时，若已知假设 ? ?2n k k?为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证 _ 【答案】 2nk?时等式成立 【解析】由于 n 为正偶数，已知假设 ? ?2n k k?为偶数，则下一个偶数为 2nk?. 7. 若 f(x) f1(x) x1 x， fn(x) fn 1f(x)(n2 ， n N*)，则 f(1) f(2) ? f(n) f1(1) f2(1) ? fn(1) _ 【答案】 1 8. 已知 f(n) 1 12 13 ? 1n

5、 (n N*)，用数学归纳法证明 f(2n)112 时， f(2k 1) f(2k)等于 _ 【答案】 121k? 122k? ? 112k?【解析】 f(2k 1) 1 12 13 14 ? 1k 11k? ? 12k 121k? 122k? ? 112k?， f(2k) 1 12 13 14 ? 1k 11k? ? 12k， f(2k 1) f(2k) 121k? 122k? ? 112k?. 9. 【江苏省苏锡常镇四市 2016 届高三教学情况调研（二）数学试题】（本小题满分 10分） 设实数 12 na a a， ， ， 满 足 12 0na a a? ? ? ?，且 12| | |

6、| | | 1na a a? ? ? (*n?N 且 2)n ，令( *)nn abnn?N 求证： 12 11|22nb b b n? ? ? ?( *)n?N 【答案】详见解析 =【 ;精品教育资源文库 】 = 10. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市） 2016 届高三最后一次模拟考试】（本小题满分 10 分） 在集合 1, 2, 3, 4, , 2 An? 中，任取 ( , , *)m m n m n N?个元素构成集合 mA . 若 mA 的所有元素之和为偶数，则称 mA 为 A 的偶子集，其个数记为 ()fm； mA 的所有元素之和为奇数，则称 mA 为 A 的奇子集，其

7、个数记为 ()gm. 令 ( ) ( ) ( )F m f m g m?. （ 1）当 2n? 时，求 (1), (2), (3)F F F 的值； =【 ;精品教育资源文库 】 = （ 2）求 ()Fm. 【答案】（ 1） (1) 0F ? ， (2) 2F ? ， (3) 0F ? ，（ 2） 22( 1 ) C , ()0,mmn mFm m? ? ?为 偶 数 ，为 奇 数 0 1 1 2 2 3 3 1 1 0C C C C C C C C C C C Cm m m m m mn n n n n n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?； ? 8分 另一方面， 2

8、(1 ) (1 ) (1 )n n nx x x? ? ? ?， 2(1 )nx? 中 mx 的系数为 22( 1) Cmmn?， 故 ()Fm? 22( 1) Cmmn? 综上， 22( 1 ) C , ()0,mmn mFm m? ? ?为 偶 数 ，为 奇 数 ? ? 10 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 11. 【盐城市 2016届高三年级第三次模拟考试】 （本小题满分 10 分） 记 2 2 2 2 *2 3 4( ) ( 3 2 ) ) ( 2 , )nf n n C C C C n n N? ? ? ? ? ? ? ?（ . （ 1）求 (2), (3), (4)f f f

9、 的值； （ 2）当 *2,n n N?时，试猜想所有 ()fn的最大公约数，并证明 . 【答案】（ 1） ( 2 ) 8 , ( 3 ) 4 4 , ( 4 ) 1 4 0f f f? ? ?（ 2） 4 . 12. 【江苏省扬州中学 2015 2016学年第二学期质量检测】 设 数列 ?na （ nN? ）为正实数数列，且满足20n in i n i ni C a a a? ?. （ 1）若 2 4a? ，写出 10,aa ； （ 2）判断 ?na 是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 【答案】 （ 1） 2,1 10 ? aa （ 2）

10、是 等比数列 【解析】 （ 1） 当 1n? 时， 0 1 21 0 1 1 0 1 1 1 02C a a C a a a a a? ? ? ? 13. 各项均为正数的数列 nx 对一切 *n?N 均 满 足11 2nnx x ?证明 ： （ 1） 1nnxx? ； （ 2） 111nxn? ? ? 【解析】（ 1）因为 0nx? ，11 2nnx x ?，与题设11 2kkx x ?矛盾，所以， 1nx 若 1kx? ，则 1 1kkxx? ?，根据上述证明可知存在矛盾 所以1102nn xx ? ? ?， 所以1 12n nx x? ? ?，且 20nx? 因为 222 1 ( 1 )1

11、2 2 2n n nnn n nx x xxx x x? ? ? ? ? ? ? 0 所以 12 nn xx? ，所以12nnnxxx ? 1，即 1nnxx? （注：用反证法证明参照给分） （ 2）下面用数学归纳法证明： 11nx n? 当 1n? 时，由题设 1 0x? 可知结论成立； 假设 nk? 时， 11kx k?， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 1nk?时，由 （ 1） 得，11 1 1112 1 121k kkxx k kk? ? ? ? ? ? ? ? 由 ， 可得， 11nx n? 下面先证明 1nx 假设存在自然数 k ，使得 1kx? ，则一定存在自然数 m ，使

12、得 11kx m? 14. 已知数列 bn是等差数列 ， b1 1， b1 b2 ? b10 145. (1)求数列 bn的通项公式 bn； (2)设数列 an的通项 an loga 11nb?(其中 a 0且 a1) 记 Sn是数列 an的前 n项和 ， 试比较 Sn与 13 logabn 1的大小 ， 并证明你的结论 . 【解析】 (1)设数列 bn的公差为 d， 由题意得 1111 0 1 0 11 0 1 4 52bbd? ，（ ） 1 13bd? ， ， bn 3n 2. (2)由 bn 3n 2，知 Sn loga(1 1) loga 114? ? loga 1132n?=【 ;精

13、品教育资源文库 】 = loga 111 1 1 14 3 2n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 而 13 logabn 1 loga 331n? ，于是，比较 Sn与 13 logabn 1的大小 比较 (1 1) 11114 3 2n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 与 331n? 的大小 . 取 n 1， 有 1 1 38 34 33 1 1? ， 取 n 2，有 (1 1) 114?38 37 3 3 2 1? . （ ）若函数 ()fx在其定义域上为单调函数 ,求 a 的取值范围； （ ）若函数 ()fx的图像在 1x? 处的切线的斜率为 0， 21 1( ) 11

14、n na f nan? ? ? ?，已知 1 4,a? 求证：22nan? （ ）在（ 2）的条件下，试比较1 2 31 1 1 11 1 1 1na a a a? ? ? ? ? ? ?与 25 的大小，并说明理由 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 ( ) f(1)=a-b=0 a=b ( ) 2 lnaf x ax xx? ? ? 22222() a a x x af x a x x x? ? ? ? ?要使函数 ()fx在其定义域上为单调函数，则在定义域（ 0， +）内 ()fx? 恒大于等于 0或恒小于 等于 0， 当 a=0时， 2( ) 0fx x? ? ? 在（ 0

15、， +）内恒成立； 当 n=k+1时， 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 ) 2 1 4 5 2 ( 1 ) 2k k ka a a k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以当 n=k+1时不等式成立， 综上得对所有 nN? 时，都有 22nan? 10分 （）由（ 2）得 2 1 1 1 12 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1n n n n na a n a a a n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?112 ( 1 ) 2 2 2 1 2 1nna n n a? ? ? ? ? ? ? ? =【 ;精品教育资源文库 】 = 于是 11 2 ( 1)( 2 )na a n? ? ? ? 所以 211 2( 1),aa? ? ? 321 2( 1),aa? ? ? ， 11 2( 1),nnaa? ? ? 累称得： 1 11 2 ( 1),nnaa? ? ?则1 11 1 1 ( 2 )1 2 1nn naa? ? ?所以211 2 11 1 1 1 1 1 1( 1 )1 1 1 1 2 2 2 nna a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2(1 )5 2 5n? ? ?.