江苏专版2019版高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.3不等式选讲讲.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 22.3 不等式选讲 五年高考 考点 不等式的解法与证明 1.(2017课标全国 理 ,23,10 分 )选修 4 5:不等式选讲 已知 a0,b0,a3+b3=2.证明 : (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2. 证明 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)24. (2)因为 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b)2+ (a+b) =2+ , 所以 (a+b)38, 因此 a+b2. 2.(2017课标全国 理 ,23

2、,10 分 )选修 4 5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式 f(x)1 的解集 ; (2)若不等式 f(x)x 2-x+m 的解集非空 ,求 m的取值范围 . 解析 (1)f(x)= 当 x2时 ,由 f(x)1 解得 x2. 所以 f(x)1 的解集为 x|x1. (2)由 f(x)x 2-x+m得 m|x+1| -|x-2|-x2+x. 而 |x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x| -2-x2+|x| =- + , 且当 x= 时 ,|x+1|-|x-2|-x2+x= . 故 m的取值范围为 . 3.(2017课标全国 理 ,23,10

3、分 )选修 4 5:不等式选讲 已知函数 f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当 a=1时 ,求不等式 f(x)g(x) 的解集 ; (2)若不等式 f(x)g(x) 的解集包含 -1,1,求 a的取值范围 . 解析 (1)当 a=1时 ,不等式 f(x)g(x) 等价于 x2-x+|x+1|+|x-1|-40. 当 x1时 , 式化为 x2+x-40, 从而 10,|x-1|-1;(3分 ) 当 - 1的解集 . 解析 (1)f(x)= (4分 ) y=f(x)的图象如图所示 . (6分 ) (2)由 f(x)的表达式及图象知 ,当 f(x)=1时 ,可得

4、x=1或 x=3; 当 f(x)=-1时 ,可得 x= 或 x=5,(8分 ) 故 f(x)1的解集为 x|11的解集为 .(10 分 ) 8.(2016课标全国 理 ,24,10 分 )选修 4 5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)当 a=2时 ,求不等式 f(x)6 的解集 ; (2)设函数 g(x)=|2x-1|.当 xR 时 , f(x)+g(x)3, 求 a的取值范围 . 解析 (1)当 a=2时 , f(x)=|2x-2|+2. 解不等式 |2x-2|+26 得 -1x3. 因此 f(x)6 的解集为 x|-1x3.(5 分 ) (2)当 xR 时 , f

5、(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x -a+1-2x|+a=|1-a|+a, 当 x= 时等号成立 ,所以当 xR 时 , f(x)+g(x)3 等价于 |1-a|+a3.(7 分 ) 当 a1 时 , 等价于 1-a+a3, 无解 . 当 a1时 , 等价于 a-1+a3, 解得 a2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 a的取值范围是 2,+).(10 分 ) 9.(2015江苏 ,21D,10分 )解不等式 x+|2x+3|2. 解析 原不等式可化为 或 解得 x -5或 x - . 综上 ,原不等式的解集是 . 10.(2015课标 ,24,10 分 )(选修 4

6、 5:不等式选讲 ) 已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0. (1)当 a=1时 ,求不等式 f(x)1的解集 ; (2)若 f(x)的图象与 x轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围 . 解析 (1)当 a=1时 ,f(x)1 化为 |x+1|-2|x-1|-10. 当 x -1时 ,不等式化为 x-40,无解 ; 当 -10,解得 0,解得 1x1的解集为 .(5分 ) (2)由题设可得 ,f(x)= 所以函数 f(x)的图象与 x轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC 的面积为(a+1)2. 由题设得 (a+1)26,故

7、a2. 所以 a的取值范围为 (2,+).(10 分 ) 11.(2015课标 ,24,10 分 )(选修 4 5:不等式选讲 ) 设 a,b,c,d均为正数 ,且 a+b=c+d,证明 : (1)若 abcd,则 + + ; (2) + + 是 |a-b|cd得 ( + )2( + )2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因此 + + . (2)(i)若 |a-b|cd. 由 (1)得 + + . (ii)若 + + ,则 ( + )2( + )2, 即 a+b+2 c+d+2 . 因为 a+b=c+d,所以 abcd.于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab + 是 |a-b|0,b0,

8、且 a+b= + .证明 : (1)a+b2; (2)a2+a0,b0,得 ab=1. (1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b2 =2,即 a+b2. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)假设 a2+a0 得 00,y0,证明 :(1+x+y2)(1+x2+y)9xy. 证明 因为 x0,y0, 所以 1+x+y23 0, 1+x2+y3 0, 故 (1+x+y2)(1+x2+y)3 3 =9xy. 15.(2014课标 ,24,10 分 )若 a0,b0,且 + = . (1)求 a3+b3的最小值 ; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由 . 解析 (1)由 =

9、 + ,得 ab2, 且当 a=b= 时等号成立 . 故 a3+b32 4 ,且当 a=b= 时等号成立 . 所以 a3+b3的最小值为 4 . (2)由 (1)知 ,2a+3b2 4 . 由于 4 6,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6. 16.(2013江苏 ,21D,10分 )已知 ab0, 求证 :2a3-b32ab 2-a2b. 证明 2a3-b3-(2ab2-a2b) =2a(a2-b2)+b(a2-b2) =(a2-b2)(2a+b) =(a-b)(a+b)(2a+b). 因为 ab0, 所以 a-b0 ,a+b0,2a+b0, 从而 (a-b)(a+b)(2a+b)0,

10、即 2a3-b32ab 2-a2b. 17.(2013辽宁理 ,24,10分 )已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a1. (1)当 a=2时 ,求不等式 f(x)4 -|x-4|的解集 ; (2)已知关于 x的不等式 |f(2x+a)-2f(x)|2 的解集为 x|1x2, 求 a的值 . 解析 (1)当 a=2时 , f(x)+|x-4|= 当 x2 时 ,由 f(x)4 -|x-4|得 -2x+64, 解得 x1; 当 2-1,且当 x 时 , f(x)g(x), 求 a的取值范围 . 解析 (1)当 a=-2时 ,不等式 f(x)y,求证 :2x+ 2y+3. 证明 由题意得 x0,

11、y0,x-y0, 因为 2x+ -2y=2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+ 3 =3,当且仅当 x-y= ,即 x-y=1时取等号 , 所以 2x+ 2y+3. B组 2016 2018 年模拟 提升题组 (满分 :40分 时间 :20分钟 ) 解答题 (共 40分 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 1.(2018江苏淮安、宿迁高三期中 )已知正数 x,y,z满足 x+y+z=4,求 + +z2的最小值 . 解析 由柯西不等式可知 :(x+y+z)2 (4+9+1), 故 + +z2 = , 当且仅当 = =z,即 x= ,y= ,z= 时 , + +z2取得最小值 . 2.(20

12、17江苏南京、盐城一模 )若实数 x,y,z满足 x+2y+z=1,求 x2+y2+z2的最小值 . 解析 由柯西不等式 ,得 (x+2y+z)2(1 2+22+12)(x 2+y2+z2), 又因为 x+2y+z=1,所以 x2+y2+z2 , 当且仅当 = = ,即 x=z= ,y= 时取等号 . 综上 ,(x2+y2+z2)min= . 3.(2017江苏徐州期末调研 )已知 a,b,c均为正实数 , + + +27abc的最小值为 m,解关于 x的不等式 |x+1|-2x0, 所以 + + +27abc3 +27abc= +27abc2 =18, 当且仅当 a=b=c= 时 ,取 “=”, 所以 m=18. 所以不等式 |x+1|-2x- , 所以原不等式的解集为 . 4.(2017江苏苏州期中 )已知 a,b,c,d都是正实数 ,且 a+b+c+d=1,求证 : + + + . 证明 (1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d) + + + 2=(a+b+c+d)2=1, 又 (1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=5,