信号与系统-系统函数课件.ppt

1、16/2/20221 第七章 系统函数7.1系统函数与系统特性7.3 信号流图7.2 系统的稳定性26/2/20222 LTI: 连续系统 离散系统 时域分析: 冲激响应h(t) 单位响应h(k) 复频域分析: H(s) H(z).系统函数 频域分析: H(j) H( )频率响应 =H(s) s=j =H(z) z= TjeTje36/2/20223 1.系统函数-时域响应，频率响应. 2.系统的因果性和稳定性，判据. 3.信号流图. 4.系统的模拟. 46/2/202247.1系统函数与系统特性一.系统函数的极点和零点. 1.连续系统: H(s)=B(s)/A(s)= 极点:A(s)=0的根

2、，p1,p2,pn. H(pi) 零点:B(s)=0的根, z1, z2, zm. H(zi)=001110111.asasasbsbsbsbnnnmmmm56/2/20225 H(s)=B(s)/A(s)= =极点类型: 一阶:实数,虚数,复数. 多阶:实数,虚数,复数. niimjjmpszsb11 nmmpspspszszszsb.2112166/2/20226 2.离散系统: H(z)=B(z)/A(z) =niimjjmpzzzb1176/2/20227极点在左半开平面. 0 在实轴上: 一阶极点:p=- , H(s)=b/(s+),h(t)=be- t(t) 二阶极点:p=- (二

3、阶), H(s)= k/(s+)2, h(t)=kt e- t(t) ,limh(t)=0 t 多阶极点: p=- (高阶), H(s)= k/(s+)r h(t)=k t r-1e- t limh(t)=0 t二、极点零点与时域响应的关系:86/2/20228不在实轴上:一阶共轭复数:p1,2=-j, h(t)=k e- t cos(t+) (t) limh(t)=0 t二阶共轭复数:p1,2=-j(二阶), h(t)=kt e- t cos(t+) (t) limh(t)=0 t 96/2/20229在虚轴上: 一阶极点:p=0, H(s)=k/s,h(t)=k(t), limh(t)=有

4、限值 t 一阶共轭:p=j, h(t)=kcos(t+) (t), limh(t)=有限值 t106/2/202210 虚轴上二阶极点: p=0(二阶), H(s)=k/s2, h(t)=kt(t), limh(t) t p=j(二阶), h(t)=ktcos(t+), limh(t) t 116/2/202211右半开平面 : 实数: p=, h(t)= e t limh(t) t 复数: p=j, h(t)= e t cos(t+) limh(t) t 126/2/202212 jO 0j0j 几种典型情况几种典型情况136/2/202213 Z平面: 单位圆内:p=-1/3,h(k)=

5、(-1/3)k (k) 0 单位圆上:p=1,h(k)= (1)k(k),有限值. 单位圆外:p=2,h(k)= (2)k (k) 2.离散系统:-1/312RezImzZ平面146/2/202214OzRezjIm1 1 极点位置与h(k)形状的关系156/2/202215s平面平面(单极点单极点)z平面平面(单极点单极点)极点位置极点位置h(t)特点特点极点位置极点位置h(k)特点特点虚轴上虚轴上等幅等幅单位圆上单位圆上等幅等幅原点时原点时 左半平面左半平面衰减衰减单位圆内单位圆内减幅减幅右半平面右半平面增幅增幅单位圆外单位圆外增幅增幅 st10 1zzk利用zs平面的映射关系1 z166

6、/2/202216三、极点零点与频域响应的关系:定义 所谓所谓“频响特性频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态是指系统在正弦信号激励下稳态响响应随频率的变化情况。应随频率的变化情况。 176/2/202217前提：稳定的因果系统。前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。 0lim tht时域：时域：频域：频域：H(s)的全部极点落在的全部极点落在s左半平面。左半平面。 其收敛域包括虚轴：其收敛域包括虚轴：拉氏变换拉氏变换 存在存在傅里叶变换傅里叶变换 存在存在 186/2/202218 tEtesH0msin ，激激励励源源设设系

7、系统统函函数数为为 000mmmsin tHEtr 0j000ejj HHssH 其中其中 HHssH jejjj H j 1.H(s)和频响特性的关系频响特性频响特性系统的稳态响应系统的稳态响应幅频特性幅频特性相相频特性（相移特性）频特性（相移特性）196/2/2022192几种常见的滤波器O jH c O jH c O jH 1c 2c O jH 1c 低低通通滤滤波波器器高高通通滤滤波波器器带带通通滤滤波波器器带带阻阻滤滤波波器器通通带带阻阻带带截截止止频频率率2c 206/2/2022203.极点零点与频率响应:1.连续系统: niimjjmpszsbsH11)(niimjjmjspj

8、zjbsHjH11)()(216/2/202221矢量分析法: Ai j pi pi i 0 令j-pi= Ai j-zj=BjijejjeBj|zj|i226/2/202222幅频:相位:()=(1+m)-(1+n) 分析: 从0nmjnjmmeAAAeBBBbjH.21.212121.)(nmmAAABBBbjH.| )(|2121236/2/202223例: R u1(s) + - 1/sc u2(s) H(s)=u2(s)/ u1(s) =scRsc11RcsRc111246/2/202224 极点:p=-1/Rc,左半开平面. 定量: ()=0-arctgRcjRcjH111)(22

9、111| )(|RcRcjHRc1256/2/202225定性: 从0变化.H(j) = ()=0- j A j -1/Rc 0 ARc11266/2/2022261H(j) ()-/2276/2/202227例: 全通函数. H(j) =常数 设二阶系统H(s).左半开平面,有一对极点, p1,2=-j, 右半开平面,有一对零点, z1,2=j2121)(pspszszssH286/2/202228A1=B1, A2 =B2, H(j) =B1 B2/ A1 A2=12121)(pjpjzjzjjH21212121jeAABBp1p2z1z2A1A2B1B2296/2/202229结论:n凡

10、极点位于左半开平面,零点位于右半开平面,且所有的零点与极点对于j轴为一镜像对称的系统函数即为全通函数全通函数.306/2/202230例ORC1 j1M1CR tv1 tv2研究下图所示研究下图所示RCRC低通滤低通滤波网络的频响特性波网络的频响特性。 VVHjjj12 写出网络转移函数表达式写出网络转移函数表达式 RCsRCsVsVsH11112解解: : VVMRC j12j1ee111 316/2/202231频响特性 VVMRCH j12j1ee11j1 ORC1 j1M1ORC112VV121ORC1 45 90 112,11MRCVV式中：式中： 处处于于低通网络，截止频率位低通网

11、络，截止频率位RC1 326/2/202232例 。源，且源，且是受控电压是受控电压注意，图中注意，图中的频响特性的频响特性系统系统研究右图所示二阶研究右图所示二阶2211312,jjjCRCRkvVVHRC 其转移函数为其转移函数为 221111121111CRsskCRsCRsVsVsH 相当于低通与高通级联构成的带通系统。相当于低通与高通级联构成的带通系统。 解：解：低通滤波器低通滤波器高通滤波器高通滤波器 1R1C2C2R3kv tv2 tv1 tv3336/2/202233频响特性Oj1M1 111CR 2M221CR 2 1N1 01 11222111 zCRpCRp零点：零点：，

12、极点：极点：2211CRCR/2-/234最小相移函数)()()(*11*22sssssssssHa)()()(*11*22sssssssssHb零、极点均位于s平面左半开平面极点位于s平面左半开平面，零点位于s平面右半开平面幅频特性一致351s*1s*1sjj1s2s*2s1s2s*2s121b2b1b= - 1 ， 2b= - 2a()= 1 + 2-1 - 2 b()= 1b + 2b-1 - 2b() -a()= 2- 2(1 + 2) 0对于相同的幅频特对于相同的幅频特性的系统函数，零性的系统函数，零点位于左半开平面点位于左半开平面的系统函数，其相的系统函数，其相频特性最小频特性最小

13、36结论n考虑到网络函数的零点可能在虚轴上n定义：n右半开平面上没有零点的系统函数为最小相移函数n相应的网络称为最小相移网络37对于非最小相移函数)()()(*11*22sssssssssHb)()()()(*22*22*11*22ssssssssssssssss)()()()(*22*22*11*22ssssssssssssssss)()(sHsHca可表示为最小相移函数可表示为最小相移函数与全通函数的乘积与全通函数的乘积最小相移函数全通函数386/2/2022382.离散系统:n因果离散系统，若极点均在单位圆内，则在单位圆上(|z|=1)也收敛幅频响应:相频响应:niiTjmjjTjmTj

14、pezebeH11)(nmjnjmmeAAAeBBBb.21.212121.nmmjAAABBBbeH.| )(|2121niimjj11)(Tjjssteez396/2/202239 Z平面 Bj 1 Ai j I 0 1 Tje406/2/202240 nx nyzs zH离离散散系系统统稳稳定定的的因因果果 nxnO 1sinnA 1A nyzsnO 2sinnB 2B正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的统的频率响应频率响应特性。特性。416/2/2

15、02241由系统函数得到频响特性输出对输入序列的相移输出对输入序列的相移 HzzHH jjjjeeee Hej 离散时间系统在单位圆上的离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系变换即为傅氏变换，即系统的频率响应特性统的频率响应特性: :输出与输入序列的幅度之比输出与输入序列的幅度之比：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性 DTFT)(ej的的即即nhH 。为周期函数，其周期为为周期函数，其周期为为周期函数，所以为周期函数，所以2 e ejjH 426/2/202242通过本征函数透视系统的频响特性 nh nx ny 为稳定的因果系统为稳定的因果系统nh mmnmhnxnhnyje n

16、y 为本征函数为本征函数设输入设输入 nxn jen je Hje mmmhjen je 为输入序列的加权，为输入序列的加权，体现了系统对信号的处理功能。体现了系统对信号的处理功能。 是是 在单位圆上的动态，在单位圆上的动态，取决于系统的特性。取决于系统的特性。 Hje zH Hje mzmhzH)( zzHHjeje 单位圆上单位圆上436/2/202243离散系统（数字滤波器）的分类Os Hje带带通通Osc Hje低低通通Os Hje高高通通Os Hje带带阻阻O2ss Hje全全通通2s2s2s2s446/2/202244二频响特性的几何确定法 kNkrMrpzzzzH 11 kNkr

17、MrHpzeH jjj1j1jeeee krkkrrBpAz jjjjee ee 令令 kNkrMrBAH11je 幅频响应幅频响应 NkkMrr11 相位响应相位响应 zRe zImj1 1p2p1z2zO1A2A1B2B1 2 1 2 DjeCE456/2/202245几点说明 。零零点点的的作作用用与与极极点点相相反反趋趋于于无无穷穷大大。，则则频频率率响响应应的的峰峰值值落落在在单单位位圆圆上上，若若极极点点值值附附近近愈愈尖尖锐锐；愈愈短短，则则频频率率响响应应在在峰峰越越靠靠近近单单位位圆圆，若若极极点点点点可可能能出出现现峰峰值值。最最短短，则则频频率率响响应应在在该该度度附附近

18、近时时，如如果果矢矢量量的的长长点点旋旋转转到到某某个个极极点点当当应应。变变化化，但但会会响响应应相相位位响响不不会会使使幅幅度度响响应应发发生生处处加加入入或或去去除除零零极极点点，因因而而在在响响应应不不产产生生作作用用，处处的的零零点点或或极极点点对对幅幅度度位位于于 0 e00jiiiiiiBpBpBpzz466/2/202246 7.2 系统的稳定性一.系统的因果性(物理可实现性) 1.连续系统: 定义:若f(t)=0,t0,则yzs(t)=0, t0 因果系统 时域条件:(充要) 当h(t)=0, t0因果系统 因果系统,(t)=0, t0 yzs(t)= h(t)=0, t0

19、f(t) 因果系统 yzs(t) t0476/2/202247当h(t)=0, t0 ;f(t)=0, t0 yzs(t)=h(t)*f(t)= t0, yzs(t) 存在= = t0 ,yzs(t)=0 理想 H(j) - c 0 - c dtfh dtfht0th t486/2/202248s域充要条件: H(s)的收敛域Res 0 因果性 j 0 其收敛域为收敛坐标0以右的半平面,即H(s)的极点都在收敛轴Res =0 的左边.496/2/2022492.离散系统: 定义:若f(k)=0,k0,则yzs(k)=0,k0时域充要条件:h(k)=0, k0 因果系统z域充要条件:H(z)的收

20、敛域z 0 z平面 因果系统 0 其收敛域为半径等于0的圆外区域,即H(z)的极点都在收敛圆z =0的内部.506/2/202250二.系统的稳定性(可用性) f(t)有界 系统 yzs(t)有界 1.连续系统:定义:若f(t)Mf,则 yzs(t) My 稳定系统时域充要条件: 绝对可积 M稳定系统只能保证衰减函数可积dtth )(516/2/202251 h(t) t因果稳定系统: M稳定系统s域充要条件: H(s)的极点在左半开平面稳定系统 H(s)的极点在虚轴上(一阶) 临界系统 H(s)的极点在虚轴上(二阶以上) H(s)的极点在右半开平面 不稳定系统0)(dtth526/2/202

21、2522.离散系统:时域充要条件:绝对可和: M稳定系统z域充要条件:H(z)的极点在单位圆内稳定系统H(z)的极点在单位圆上(一阶) 临界系统H(z)的极点在单位圆上(二阶)H(z)的极点在单位圆外不稳定系统kkh)(536/2/202253三.连续系统的稳定性准则 罗斯霍尔维兹准则.H(s)=B(s)/A(s),A(s)=H(s)的极点就是A(s)=0的根，因此为判断系统是否稳定,即H(s)的极点是否都在左半开平面,只需判断A(s)=0的根,即特征根是否都在左半开平面,并不须知道各特征根的确切位置.所有的根均在左半开平面的得多项式称为罗斯霍尔维兹多项式.012211asasasasannn

22、nnn546/2/202254罗斯准则:多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充 分和必要条件是罗斯阵列中的第一 列元素均大于零，即如果罗斯阵列 中的第一列元素均为不等于零的正 值,那么A(s)=0的根都在s平面的左 半开平面.如果第一列元素的符号不 完全相同,那么变好的的次数就是在 右半开平面根的数目.556/2/202255罗斯阵列: an an-2 an-4 . 第1,3,5项的系数 an-1 an-3 an-5. 第2,4,6项的系数 cn-1 cn-3 cn-5. dn-1 dn-3 dn-5. 566/2/202256 cn-1= ,cn-3= ,dn-1= , dn-3 = ,充要条件

23、:第一列元素大于零 稳定系统31211nnnnnaaaaa51411nnnnnaaaaa313111nnnnnccaac515111nnnnnccaac576/2/202257例:H(s)= 为使系统稳定, 常数k满足什么条件？ksss133123解：构建罗斯阵列133 1+k an an-2 an-1 an-3 cn-1 cn-338133131131211kkaaaaacnnnnnn 0151413 nnnnnnaaaaac dn-1kkkkccaacdnnnnnn 103813831313111586/2/202258将H(s)的特征多项式A(s)的系数排成罗斯阵列为: 1 3 0 0

24、3 1+k 0 (8-k)/3 0 0 1+k 0 0根据罗斯判据,以上阵列中第一列元素应为正值,即: (8-k)/30 k8; 1+k 0 k -1;-1 k 8时系统是稳定的.596/2/202259例7.2-3:H(s)= 为使系统稳定, 常数k满足什么条件？kss 2312解：构建罗斯阵列12-k3 an an-2 an-1 cn-1kkaaaaacnnnnnn 20321311312110606/2/202260将H(s)的特征多项式A(s)的系数排成罗斯阵列为: 1 2-k 3 0 2-k根据罗斯判据,以上阵列中第一列元素应为正值,即: 2-k0 k2 k2时系统是稳定的.616/

25、2/202261四.离散系统的稳定性准则 朱里准则.H(z)=B(z)/A(z),A(z)=要判别离散系统的稳定性,需要判别H(z)的特征方程A(z)=0所有根的绝对值是否都小于1.朱里提出一种列表的检验方法,称之为朱里准则朱里准则.将A(z)的系数排列如下表:012211azazazazannnnnn626/2/202262 an an-1 an-2 . a2 a1 a0 a0 a1 a2 . an-2 an-1 an cn-1 cn-2 cn-3 . c1 c0 c0 c1 c2 . cn-2 cn-1 dn-2 dn-3 dn-4 . d0 d0 d1 d2 . dn-2 . r2 r1

26、 r0 .第2n-3行012211)(azazazazazAnnnnnn 636/2/202263cn-1= cn-2= cn-3= dn-2= dn-3= 依此类推,一直排到(2n-3)行.nnaaaa00101nnaaaa202nnaaaa1001nncccc2011nncccc646/2/202264A(z)=0的所有根都在单位圆内的充要条件是: A(1) 0 A(-1) 0 第一行:an a0 第三行:cn-1 c0 稳定 第五行:dn-2d0 . r2 r0n1656/2/202265A(z)=0的所有根都在单位圆内的充要条件是: A(1) 0 A(-1) 0 第一行:an a0 第

27、三行:cn-1 c0 第五行:dn-2d0 . r2 r0n1A(z)=z2+z+k (7.2-2)A(1)=1+1+k 0 ,k -2A(-1)=1-1+k 0 ,k 01 k,-1k10 k1时系统是稳定的时系统是稳定的.666/2/202266例:系统的特征多项式A(z)=4z4-4z3+2z-1 该系统是否稳定?解: A(1)=4-4+2-1=1 0 (-1)4A(-1)=4+4-2-1=50列表: 4 -4 0 2 -1 -1 2 0 -4 4 4 0 -14 15第五行 209 -210 56 2n-3=5154114001 nnnaaaac1441241012 nnnaaaac0

28、01042023 nnnaaaac421443034 nnnaaaac第三行15-1404676/2/202267由上表可见: 4 -1 15 4 20956 满足离散系统的稳定性准则,所以该系统 是稳定的.686/2/202268系统框图系统框图 信号流图信号流图7.3 信号流图 利用方框图可以描述系统（连续的或离散的），利用方框图可以描述系统（连续的或离散的），比用微分方程或差分方程更为直观。比用微分方程或差分方程更为直观。线性系统的仿真（模拟）线性系统的仿真（模拟）连续系统连续系统相加、倍乘、积分相加、倍乘、积分 离散系统离散系统相加、倍乘、延时相加、倍乘、延时简化简化由美国麻省理工学院

29、的梅森（由美国麻省理工学院的梅森（Mason）于）于20世纪世纪50年年代首先提出。代首先提出。应用于：应用于：反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统模拟及数字滤波器设计等方面。模拟及数字滤波器设计等方面。 696/2/202269一、信号流图方法的主要优点系统模型的表示简明清楚；系统模型的表示简明清楚； 简化系统函数的计算方程。简化系统函数的计算方程。 706/2/202270二系统的信号流图表示法 sH sX sY sH sX sY实际上是用一些点和支路来描述系统：实际上是用一些点和支路来描述系统：方框图方框图流图流图 sYsX、 称为称为结点结点线段

30、表示信号传输的路径，称为线段表示信号传输的路径，称为支路。支路。信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近，信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近，相当于乘法器。相当于乘法器。716/2/202271三术语定义三术语定义结点：结点：表示系统中变量或信号的点。表示系统中变量或信号的点。转移函数：转移函数：两个结点之间的增益称为转移函数。两个结点之间的增益称为转移函数。支路：支路：连接两个结点之间的定向线段，支路的增连接两个结点之间的定向线段，支路的增益即为转移函数。益即为转移函数。输入结点或源点：输入结点或源点：只有输出支路的结点，它对应只有输出支路的结点，它对应的是自变量（即输入信

31、号）。的是自变量（即输入信号）。输出信号或阱点：输出信号或阱点：只有输入支路的结点，它对应只有输入支路的结点，它对应的是因变量（即输出信号）。的是因变量（即输出信号）。混合结点：混合结点：既有输入支路又有输出支路的结点。既有输入支路又有输出支路的结点。通路：通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许有相反方向支路存在）。有相反方向支路存在）。 726/2/202272开通路：开通路：通路与任一结点相交不多于一次。通路与任一结点相交不多于一次。环路增益：环路增益：环路中各支路转移函数的乘积。环路中各支路转移函数的乘积。闭通路：闭通路：如果通路的终点

32、就是起点，并且与任何如果通路的终点就是起点，并且与任何其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。不接触环路：不接触环路：两环路之间没有任何公共结点。两环路之间没有任何公共结点。前向通路：前向通路：从输入结点（源点）到输出结点（阱点）从输入结点（源点）到输出结点（阱点）方向的通路上，通过任何结点不多于一次的方向的通路上，通过任何结点不多于一次的全部路径。全部路径。前向通路增益：前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积。前向通路中，各支路转移函数的乘积。 736/2/202273四信号流图的性质四信号流图的性质 sH sX sY sH sX sY支路表示

33、了一个信号与另一信号的函数关系，支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，信号只能沿着支路上的箭头方向通过。信号只能沿着支路上的箭头方向通过。（1） sXsHsY （2）结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路。号传送到所有输出支路。 1X2X3X4X5X6X14H34H24H46H45H4X例例如如结结点点746/2/202274（3） 具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具有单传输的支路，可以把它变成输出结点来处理。有单传输的支路，可以把它变成输出结点来处理。4X2Xab1X

34、3X dc3X1。是只有输入的输出结点混合结点；是既有输入又有输出的分成两个结点以后，实际上是一个结点。和3333XXXX 756/2/202275（4）流图转置以后，其转移函数保持不变。所谓转置就流图转置以后，其转移函数保持不变。所谓转置就是把流图中各支路的信号传输方向调转，同时把输是把流图中各支路的信号传输方向调转，同时把输入输出结点对换。入输出结点对换。 给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画出不同的流图。出不同的流图。（5）766/2/202276五

35、信号流图的代数运算五信号流图的代数运算（1）（2）有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。路增益。1xa2x12axx 1xa2x3xb1x3xab 串联支路的合并串联支路的合并总增益等于各支路增益的乘积。总增益等于各支路增益的乘积。776/2/202277（3） 并联支路的合并：并联相加并联支路的合并：并联相加（4） 混合结点的消除混合结点的消除2x1xab1x3xba 1x2x3x4x1x2x4xacbcabc786/2/202278（5） 环路的消除环路的消除 23312bxxcxaxx因为因为313bcxabxx 131xbcabx 总结

36、：总结：可以通过如下步骤简化信号流图，从而求得系可以通过如下步骤简化信号流图，从而求得系 统函数。统函数。 串联支路合并，减少结点；串联支路合并，减少结点； 并联支路合并，减少支路；并联支路合并，减少支路； 消除环路。消除环路。 2xab1x3xabc1x3xbcbcab11x3x796/2/202279（6） 信号流图的梅森增益公式信号流图的梅森增益公式 kkkgH1 fedfedcbcbaaLLLLLL,1 (1增增益益乘乘积积之之和和）（每每三三个个互互不不接接触触环环路路增增益益乘乘积积之之和和）（每每两两个个互互不不接接触触环环路路）所所有有不不同同环环路路增增益益之之和和式中：式中：称为流图的特征行列式。称为流图的特征行列式。 806/2/202280 表示由源点到阱点之间第表示由源点到阱点之间第k条前向通条前向通路的标号。路的标号。 表示由源点到阱点之间的第表示由源点到阱点之间的第 条前条前向通路的增益。向通路的增益。 称为对于第称为对于第 条前向通路特征行条前向通路特征行列式的余因子。它是除去与列式的余因子。它是除去与k条前向通路条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。相接触的环路外，余下的特征行列式。k kkkgk